同济大学 第六版 高数练习册答案 上册

1、高等数学习题解答第一章（7-11）第六节 极限存在准则 两个重要极限1. 0；1；1；0；2；2/3 2. ;3. 证明：显然单调递增，若，则3单调有界，收敛，不妨设=a , 则有 a = ,解得，a=(1+)/2, 4. 解：第七节 无穷小的比较1.（B） 2. （A）3. 证明： 令 ， 当时，。4. 解：（1）=（2）=（3）=（4）（5）=1/2（6）=（7）第八节 函数的连续性与间断点1. 0 ； 2. 充要；3. 2；4. D 5. B 6. C7. 解： 在x=0 不连续，且x=0 为函数的第一类间断点。第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性1. B 2. 解：（1） 原式=

2、（2）原式=-1 （3）原式=（4）原式=3. 解：由初等函数的连续性可知在连续， 在x=0处间断。 在处连续总上可得的连续区间为（。第十节 闭区间上连续函数的性质1.证明：令，则在连续，且，由连续函数的零点定理可知，至少存在一，使，即方程至少有一个界于1与2之间的实根。2. 证明：令在联系，且，由连续函数的零点定理可知，至少存在一，使，即方程至少有一个界于0与2之间的实根，所以原命题成立。3. 证明：令，则在上连续，并且，由连续函数的零点定理可知，至少存在一点，使得，即至少存在一点，使。第一章测试题一选择题1D 2.C 3.C 4.A 5.B二.填空题1. 2 2. 2 3. 4. 5. 2

3、三.计算题1. 原式2.原式3.原式4.原式5.原式6.原式四 五.处连续 为无穷间断点 为可去间断点处连续六.设存在一点,使 使又无零点, 矛盾 七.设则 由零点定理至少存在一点, 使得, 即第二章 导数与微分第一节 导数概念1、(1) (2) 2、k3、(1) (2)4、 ； 5、（，），（，）6、解：因为 所以在处连续。 因为 所以在处可导。第二节 函数的求导法则1、2、3、或4、求下列函数的导数（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 5、解： 当时而当时，因为所以不可导（也可由函数在处不连续得它在处不可导）综合练习题1、证：2、证明： （1）设是奇函数，且可导 即 。 （2

4、）设是偶函数，且可导即 。另：也可用复合函数求导法 （1） （2）3、解：由于在处不连续，因此在处不可导 4、（1）（2）（3）（4）5、解：当时，所以在处连续当时，即在处可导，且但其导函数为当时，在处不连续 当及时 有 从而在处连续。6、（1）（2）（3）7、解： 第三节 高阶导数1、解： 2、解：3、解： 综合练习题1、（1）（2） 2、 代入方程即得证。3、 4、第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率1、2、3、4、5、解：两边分别对x求导得 移项整理得： 6、解：两边取自然对数得 两边分别对x求导得 移项整理得： 7、解：8、解： 当时，由得，于是 从而综合练习题1、

5、解：当时，两边取对数得两边对x求导得 移项整理得 2、解： 第五节 函数的微分1、 （1） （2） （3）（4） （5）2、（1）（2）（3）注：也可按微分的定义式先求然后写出微分。第二章测验题1、（1） （2） （3） （4） 或 2、（1） D （2） D （3） C3、计算题（1）解：两边对x求导得 于是 （2）解： （3）解：由于 所以（4）解：设第三章3.11.否， 2.是，3.证明：设,由于，所以又由于 ，所以，即。4.设，显然，在上连续，在内可导，由罗尔定理知，至少存在一点，使，即方程必有一个小于的正根。5.要证，只要证即可设，两函数在满足柯西定理，则至少有一点使得，即可得到，得

6、证。3.21.-1，-4 2.1，13.(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=(5)设= =所以，原式=(6)原式=3.31.解 所以2.原式= = =3.利用的麦克劳林展式得 综合练习题1.略2.解：分别给出在时的泰勒展式 （1） （2） （3）(3)-(2)得： 3.原式= =-3.41. 错误2. 解 令，解得在区间，函数单调增加在区间，函数单调减小在区间，函数单调增加在区间，函数单调减小当时，函数取得极大值8，当时，函数取得极小值-127 令，解得在区间，在区间，而在内连续，故在和内曲线为凹，在内曲线为凸。为拐点。3. 解 ，因为点（1，3）为曲线的拐点故，解得4. 证明：令

7、 在上单调增加又，即5. 证明：设， 在内，曲线在内为凹弧 即3.51.（1）错误（2）错误（3）正确）（4）错误（5）错误2. 13. 解 令，求得驻点 因，故在处取得极大值，极大值为；因，故在处取得极小值，极小值为4. 解 因在处取极大值3，在处取极小值 故， 即 解得，5. 解 令，求得驻点 由于，经比较在取得它在上的最小值，在取得它在上的最大值。6. 证明： 存在常数，使得当时， 即为极小值3.61. 解 定义域为奇函数，关于原点对称，以下讨论仅在上进行 列表如下+的图形拐点单增凸极大值点单减凸图略2. 解 定义域为无奇偶性，周期性有铅直渐近线，因为 列表如下+的图形单增凸极大值点单减

8、凸单减凹极小值点单增凹图略3.71. 2 2.3. 解，由曲率公式，得，令，解得，而故曲线曲率最大点的坐标为3.81. 解 设，因为在连续，且，故由零点定理知在内至少有一个使又因为所以在上单调增加于是在内的零点是唯一的，即方程在区间有唯一实根。以下用二分法求这个根的近似值 中点符号0010.500+100.5000.250+200.2500.12530.1250.2500.188+40.1250.1880.15750.1570.1880.17360.1730.1880.267+70.1730.2670.220+80.1730.2200.196+90.1730.1960.185+100.1730

9、.1850.179110.1790.1850.182120.1820.1850.183+130.1820.1830.1833.43. 错误4. 解 令，解得在区间，函数单调增加在区间，函数单调减小在区间，函数单调增加在区间，函数单调减小当时，函数取得极大值8，当时，函数取得极小值-127 令，解得在区间，在区间，而在内连续，故在和内曲线为凹，在内曲线为凸。为拐点。3. 解 ，因为点（1，3）为曲线的拐点故，解得4. 证明：令 在上单调增加又，即5. 证明：设， 在内，曲线在内为凹弧 即3.51.（1）错误（2）错误（3）正确）（4）错误（5）错误2. 13. 解 令，求得驻点 因，故在处取得极

10、大值，极大值为；因，故在处取得极小值，极小值为4. 解 因在处取极大值3，在处取极小值 故， 即 解得，5. 解 令，求得驻点 由于，经比较在取得它在上的最小值，在取得它在上的最大值。6. 证明： 存在常数，使得当时， 即为极小值3.63. 解 定义域为奇函数，关于原点对称，以下讨论仅在上进行 列表如下+的图形拐点单增凸极大值点单减凸图略4. 解 定义域为无奇偶性，周期性有铅直渐近线，因为 列表如下+的图形单增凸极大值点单减凸单减凹极小值点单增凹图略3.74. 2 5.6. 解，由曲率公式，得，令，解得，而故曲线曲率最大点的坐标为3.82. 解 设，因为在连续，且，故由零点定理知在内至少有一个

11、使又因为所以在上单调增加于是在内的零点是唯一的，即方程在区间有唯一实根。以下用二分法求这个根的近似值 中点符号0010.500+100.5000.250+200.2500.12530.1250.2500.188+40.1250.1880.15750.1570.1880.17360.1730.1880.267+70.1730.2670.220+80.1730.2200.196+90.1730.1960.185+100.1730.1850.179110.1790.1850.182120.1820.1850.183+130.1820.1830.183第三章测验题1、 BCADB2、 (1) 3(2)

12、 (1,), (1, -)(3) （上）凹(4)3、 解：（1）（2）（3）令 4、 解：函数的定义域为（1）求的一阶、二阶导数： （2）求区间的分点值：令 由此把区间划分为： （3）制表：-0+0-0+0-0+ 函数图形 下凸拐点下凹极小上凹拐点上凸极大下凸拐点下凹(4)求渐近线：由，故知图形有一条水平渐近线。（5）画图。（略）5、 解：由题设 ：；故得：6、解： 由题设： 由7、解：设点到直线的距离为 令 ，则 （*）对方程 两边求导：将代入（*）式，并令，可得：将代入，可得：由题设可得：即为所求的点。8、证明： 在内严格单调增加。9、解： 由题设： 10、证明：（反复用罗尔定理） 在内至

13、少存在一点 ，使得又 在内至少存在一点 ，使得 在内至少存在一点 ，使得 一直做下去，可找到在内至少存在一点 ，使得。11、证明： 当 时，由Lagrange中值定理可知：在内至少存在一点当 时，由Lagrange中值定理可知：在内至少存在一点12、证明：（1）当时， （2）不都相等，取 ，将在处展开： 即第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念和性质 又 (3) . (4)(2) 综合练习题第二节 换元积分法 综合练习题.第三节 分步积分法1.（1）（2）（3）（4）2. （1） （2） （3） （4） 第四节 有理函数的积分1. （1） （2） （3） （4） 综合练习题1（1） 移项，得

14、（2） 即 原式（3） （4） （5）（6）7）令 （8）令（9） （10）令 原式 （11）令 2令则 原式 第四章测试题 1填空题（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8） （9） （10）2计算题（1）由已知得 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式（6）原式 （7）原式 3令，则得 （第四章完） 第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质1. 填空（1）1； （2）0； （3）n； （4）2.估值：（1）记令 得：求值：，得：故，由估值定理，得：（2）记 则 所以在上单调递增于是，有：故，由估值定理，得：2. 比较积分的大小（1）在上， （2）在上， 4.解一：

15、（利用积分中值定理）因为函数在上连续，所以至少存在一点，使 因此， 解二：（利用夹逼定理） 于是，有：又 且 故，由夹逼定理，得：第二节 微积分基本公式1.解：原极限2.解：原极限3.解：4.填空（1）； （2）； （3）； （4）5.解：第二节 综合练习题1.解：2.解：方程两边同时对求导，得：整理，得： 3.证： ， 4.解：令令（1） 所以 有极小值（2）当时，；当时，所以 拐点，其中5.解：， 于是，6.解：7.证法一：（换元法）令 ，则 ， 又在上连续且递减所以 故， 即 证法二：（利用单调性）令 则有：且 在上连续且递减所以，当时，在上单调减有：当时，在上单调增有：因此，当时，即证

16、法三：（利用性质） 又在上连续且递减. 故， 即 8.解：（1）当时（2）当时（3）当时故，函数9.解：分情况讨论：（1）当时原积分（2）当时原积分（3）当时原积分10.解：故，11.计算题（1）（2）（3）12.解：由于方程两边同时对求导，得：即 ，即不恒等于， 即 于是，所以， 解得：，故，13.解：令，则所以，14.解：得： 故，第三节 定积分的换元法和分部积分法一、 填空： 1. ； 2. 或 二、 计算（方法：换元法）1. 解一：令 ，则 且当时，当时原积分=2解二：令 原积分=2解三：令 原积分=42. 解一：原积分令 ，则 且 当时，当时故，原积分解二：原积分令 ，则 且 当时，

17、当时故，原积分3.解：令 ，则 且当时，当时原积分三、 解：令 ，则 且当时，当时于是 四、计算题（方法：分部积分法）1.解：原积分2.解：原积分3.解：（ 利用公式：）法一：原积分 （换元：令）法二：原积分第三节 综合练习题一、计算题1.解：原积分2.解：因为 函数 是奇函数原积分3.解：原积分4.解：令 ，则 且 当时，当时原积分5.解：令 原积分6.解：令 ， 则 原积分再记 于是，有： 故，原积分=7.解：原积分 （换元：令）8.解：原积分9.解：原积分10.解：原积分 （换元：令）11.解：=12.解一：原积分解二：原积分13.解：原积分14.解：原积分 （同第6题）二、解：（1）（

18、2）由（1）知：又当时，故 三、解：令 则 且 所以 于是，有：即 ，故 或 四、解：令 于是 即 即 即 五、证明：（1） （换元：令 ） （因为 是偶函数）故，函数是偶函数（2）又，于是，有：当时，所以 在内单调减少当时，所以 在内单调增加 ， 故，在内单调增加第五章 测试题一、选择题 1D；2C；A；A；C二、填空题 1；三、计算题 1. 2. 令3. 原积分5. 6. 原积分四、综合题1. 解： 所以 切线方程为 于是 面积 即 令 得驻点： 和 求值：，故 ； 2. 课本 例7.3.解：； （1）； （2）令 求值：故 五、证：令 ，则 且当时，当时所以 故 第六章 定积分应用第二节

19、 定积分在几何学上的应用1 填空题。（1）由曲线y=与y=x+2所围平面图形的面积为 。（2） 由曲线y=x, x=2与x轴所围平面图形的面积为 。（3）由双纽线所围平面图形的面积为 1 。（4）由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积为 。（5）抛物线及其点和处的切线所围平面图形的面积为 。（6）求心形线的全长为 。2 求曲线在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与x=2和x=6及曲线所围成的平面图形的面积最小，并求此最小面积。解：设切点为切线 由 得 ： .3求由曲线绕y=2旋转一周所成旋转体的体积。 解： 综合练习题1 过点P(1,0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴所围成一平面图

20、形，求此图形的面积及绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。2 设有一底半径为R的圆柱，被一与圆柱的底交成角且过底的直径的平面所截，求截下的几何体的体积。3 在摆线上求分摆线第一拱弧长成1：3的点的坐标。4 证明：由平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积为，并利用此公式求由 与x轴所围平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积。答案：1解：设切点为 切线为：2解：=3解：设分点为，对应的参数为, , 4证明：第三节 定积分在物理上的应用1一物体按规律作直线运动，媒质的阻与速度的平方成正比（比例系数为），计算物体由移至时，克服媒质阻力所作的功。解 速度为 3,阻力为而，所以，功元素 所求的功为 .2.在一倒

21、立的等腰三角形水槽（）内装满水,若将水槽内的水全部吸尽, 问要做多少功？解 由水槽的可得高为2. 取坐标系如图，A、B两点的坐标分别为（）、（0，1），过A、B两点的直线方程为），功元素，所求的功为 3有一半径为1m的圆形薄板,垂直放在水中,圆板的圆心与水平面的距离为2m,求圆板一侧所受的水压力.解 取坐标系如图，压力元素为 所求的压力为 4.设有线密度为常数,半径为R的小圆环,一质量为m的质点P位于过圆环中心的垂直线上,且离中心的距离为a,求圆环对质点的引力. 解 取坐标系如图，由对称性可知, 引力在轴方向、轴方向上的分量为零,引力元素为 ,在轴方向上的分量为 ， . 综 合 练 习 题 1

22、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击打第一次时，将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次打击铁钉时所做的功相等，问铁锤击打第二次时，铁钉又击入多少？解 设木板对铁钉的阻力为R，则铁钉击入木板的深度为时的阻力为R=，其中为常数.铁锤击第一次时所做的功为，设铁锤击第二次时，铁钉又击入，则铁锤击第二次所做的功为，由第六章 测试题1 填空题（1）由与直线x=2及y=x所围图形的面积为 。（2）由所围图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积 。（3）曲线上相应于的一段弧的长度为 。（4）函数在0，2上的平均值为 。2 星形线方程为 ，求：（1）它所围图形面积；（2）它的周长；（

23、3）它所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。解：（1） （2） （3） 3 已知曲线与曲线在点处有公共切线，求：（1）常数及切点；（2）两曲线与x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V。解：（1） (2) 交点 4有一立体,它的下底是xOy平面上由曲线和直线所围成的区域,它的每个垂直于x轴的横截面是直径在下底上的半圆,试求该立体的体积。 解： 5 腰三角形薄片，垂直的沉入水中，其底与水面齐，已知薄片的底为2b,高为h.。试求：（1）计算薄片的一侧所受的水压力；（2）如果翻转薄片，使得其顶点与水面齐，而底平行与水面，问水压力又如何？解：（1）BC方程：（2）OB方程： 6 有一长为

24、的细杆AB均匀带电，总电量为Q，若在杆的延长线上距始端A为处有一单位正电荷，欲把单位正电荷从处移到无穷远处，求克服电场力所作的功。解：单位正电荷在t点受到的力第七章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算1,;,;2 ；3 、 、4 ；5 第二节 数量积    向量积1 2 3 4 解：5 解： ，第三节 曲面及其方程1 ，旋转抛物面；，圆锥面； 和，旋转双叶双曲面和旋转单叶双曲面2 即第四节 空间曲线及其方程 1 2 3 或第五节 平面及其方程1 （1） z=3； （2） ； （3） ； （4）2 解：平面与向量和都平行，则平面的法线向量与和都垂直，所以所以平面的点法式方程为：即 3 解：平面的法线向量所以平面的点法式方程为：即 第六节 空间直线及其方程1 ，2 3 4 5 解：方法1：过点作平面和直线垂直的平面方程，此平面的法线向量为则此平面方程为 平面与直线的交点由方程组求得所以点与直线之间的距离方法2：如图所示：直线上有一点则向量直线的方向向量所以距离方法3