高等数学诗文一百首

1、高等数学诗文一百首第一章 函数与极限数学初等与高等，按其对象定浅深。初等研究不变量，研究变量是高等。变量相关成函数，研究采用极限术。高等数学十数章，极限方法贯其纲。第一节 函数集合是总体，元素是个体。列举法和特征法，集合标记由此达。自然数集整数集，有理数集实数集。数集元素都是数，不含元素是空集。另有数集多用途，这是区间和邻域。常量与变量，须从过程来推想。变量变化相联系，函数由此得定义。自变量数集，因变量数集，两个数集相对应，元素按照法则来。自变量在定义域，使算式有意义为根据。值域中是因变量，单值多值纵线交点出。函数特性有四类，有界单调奇偶和周期。直接函数反函数，两个变量相对换。同一坐标平面对称

2、轴，是过原点画斜线。第十一节 闭区间上连续函数的性质闭区间上若连续，1 / 12最值有界皆能取。零点定理看两端，两端异号零值有。介值定理看介值，介值必有点可出。闭区间上若连续，最值有界皆能取。一致连续必连续，闭区间上反推也能书。第二章 导数与微分微积分中微分学，导数微分有其诀。变化快慢问导数，微小变化微分解。第一节 导数概念导数定义须牢记，用途广泛是根基。分子因变量增量，分母自变量增量。相比然后取极限，导数定义由此现。负除是左导，正除是右导。两者存在且相等，充要条件导数存。几何意义看倾角，切线方程由此晓。若知法线及斜率，法线方程不难找。可导必定可连续，联续未必就可导。第七节 函数的微分可微必可

3、导，可导必可微。从其导数表达式，微分公式直接推。复合函数求微分，形式不变可因循。第三章 微分中值定理和导数的应用第四节 函数单调性的判定法单调判定看求导，为正增加为负少。若是求导值为零，划分区间皆单调。第六节 最大值、最小值问题最值问题如何解？端点驻点值先写。再将各值相比较，最大最小找得到。第七节 曲线的凹凸和拐点曲线凹凸如何定？只在二阶导数符。二阶为正图形凹，二阶为负图形凸。凹凸既能由此定，拐点亦可依此寻。二阶导数若为零，两侧异号拐点准。第八节 函数图形的描绘极值与拐点，升降与凹凸。尽皆求出后，就能绘好图。第九节 曲率记住公式弧微分，1加导方再开根。曲率本是一极限，角度来比其弧段。一阶导数其

4、值小，曲率看成二阶导。防负添加绝对值，曲率本是非负值。曲率圆中有交互，半径曲率为倒数。第十节 方程的近似解方程要求近似解，先定范围再改善。二分法和切线法，用了可以得答案。第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质谁的导数是函数？回答就是原函数。什么函数存在原函数？连续函数一定有。不定积分要记清，带上常数看谁行。微分运算有互逆，积分运算来顶替。导数反求得积分，积分公式自己寻。基本积分有什么？且听如下道分明：常数可积幂可积，负一次方对数定。分母是一加平方，不定积分反正切。若加成减还开方，反正弦是真的确。余弦正弦皆可积，正弦积出负号依。正割余割若平方，积成正切负余切。正割正切乘后积，得成正割少正切

5、。余割余切同其理，只是负号来相依。自然指数原样积，若底非e还须除以对数底。双曲正弦与余弦，积分只须交互替。第二节 换元积分法复合函数求积分，从其微分来求索。中间变量一代换，换元积分用处多。倒代换来用一用，分母因子无影踪。正切积分是对数，余弦取正外添负。余切积分对里正，对前负号变为无。正割求导正割切，对数号中加取正。余割求得余割切，对数号中减取正。分母数方加平方，反正切别忘数除。若是平方减数方，积成对数正相符。分母数方减平方，开方再积反正弦中用数除。分母若是平方加减一数方，再开方时积出是对数。第三节 分部积分法求导法则看乘积，反推就是分部积。何时考虑分部积？被积函数幂对反。分部积分试一试，恰当选

6、取是关键。兼用换元与分部，积分自然能提速。第五章 定积分第二节 定积分的性质 中值定理上限下限若相等，积分之值就为零。变换上限与下限，再添负号值恒定。相加乘数容易算，区间还有可加性。被积函数若为1，两限之差就是积分值。被积函数大于零，定积分也大于零。函数小时积分小，绝对值上看分晓。最大值和最小值，积分取值两矩包。中值定理有公式，矩形面积等于积分值。第三节 微积分基本公式积分上限若变动，积分取值成函数。被积函数若连续，上限函数导其出。由此可得原函数，存在定理开新路。莱布尼茨与牛顿，基本公式证出途。区间端点原函数，相减定积分值出。第四节 定积分的换元法定积分也可换元，比起不定更简洁。上限下限若变动

7、，简化计算容易些。第六节 定积分的近似计算近似计算定积分，先用矩形和梯形。等分区间偶数个，抛物线法亦可行。第六章 定积分的应用第一节 定积分的元素法定积分用元素法，从其条件来出发。变化区间有变量，部分之和要可加。函数值乘区间长度值，部分如此积分就可下。按其步骤来选取，要写积分如下述：先选变量和区间，再分区间取其微。自变微分乘函数，部分量形须如此。以此作为被积式，再添区间是定积。第二节 定积分的应用定积分的用处找一找，平面图形面积到。旋转体来求体积，截面已知体积晓。光滑曲线可求长，从其坐标再协商。物理学中用定积，作功水压和引力。定积分除区间长，就得函数平均值。第七章 空间解析几何与向量代数笛卡儿

8、创坐标系，函数图形得解析。点与序数相对应，代数法解几何题。第一节 空间直角坐标系直角坐标空间点，横纵竖轴相关联。右手规则定三向，三个垂面交一点。两点距离记心肠，投影方和再开方。若是原点一端立，坐标方和再开方。第四节 数量积、向量积、混合积两向量有数量积，两模乘上余弦值。若是求其向量积，大小方向须同记。两模乘上正弦值，方向须从右手系。坐标表示向量积，行列式中单位向上依。向量积式有先后，乘项交换符更替。混合积中有次序，向量积后数量积。坐标放进行列式，三组投影按序记。几何意义是体积，右手转成是正值。第五节 曲面及其方程曲面对应有方程，方程对应有曲面。已知曲面建方程，已知方程建曲面。第七节 平面及其方程平面向量乘法向，数量积值必为零。平面方程点法式，由此可以写分明。点法方程再简化，一般方程现其形。系数就是法向量，平面方程认得清。第八节 空