16微积分基本定理

1、1.6 微积分基本定理2 2令令f(t)=f(t)=解解-t-t：+5.+5.(1)分(1)分割割在在0,2 上0,2 上等等隔隔地地插插入入n-1分n-1分, ,2(i-1) 2i2(i-1) 2i把把0,2 等0,2 等分分成成n小n小,(i=1,2,(i=1,2,nnnn2i2(i-1)22i2(i-1)2n),每n),每小小的的度度x =-=.x =-=.nnnnnn区区间间间间点点区区间间个个区区间间个个区区间间长长为为2 22 20 0例例利利用用定定积积分分的的定定义义, ,计计算算 ( (- -t t + +5 5) )d dt t. .则则i in nn n2 22 2n n

2、0 0i i= =1 1i i= =1 12 2i i( (2 2) ) 近近似似代代替替、作作和和取取 = =i i= =1 1, ,2 2, , ,n n , ,n n2 2i i2 2i i2 2f f( (t t) )d dt tS S = =f fx x = = - -( () ) + +5 5 n nn nn nn n2 23 33 3i i= =1 18 88 8 1 1= =1 10 0- -i i = =1 10 0- -n n( (n n+ +1 1) )( (2 2n n+ +1 1) )n nn n6 64 41 11 1= =1 10 0- - ( (1 1+ +)

3、)( (2 2+ +) )3 3n nn n2 22 2n n0 0nn (3)取(3)取极极限限(-t +5)dt=limS(-t +5)dt=limS411lim10(1)(2)3nnn82210.3322022(5).3所所以以 tdt311.4dx02axdx.3203(2)x dx.32049x dx.825221a引入引入1 你能求出下列各式的值吗？不妨试试你能求出下列各式的值吗？不妨试试.49引入引入2 一个做变速直线运动的物体的运动规律一个做变速直线运动的物体的运动规律ss(t).由导数的概念可以知道，它在任意时刻由导数的概念可以知道，它在任意时刻t的速的速度度v(t)s(t)

4、.设这个物体在时间段设这个物体在时间段(a，b)内的位移内的位移为为s，你能分别用，你能分别用s(t)，v(t)来表示来表示s吗？从中你能发吗？从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？现导数和定积分的内在联系吗？1.探究变速直线运动物体的速度与位移的关系探究变速直线运动物体的速度与位移的关系.2.了解微积分基本定理的含义了解微积分基本定理的含义.（难点）（难点）3.正确运用基本定理计算简单的定积分正确运用基本定理计算简单的定积分. （重点）（重点） 从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为为v=v(t)v=v(t)，那么在时间区间，那么在时间区间a,ba

5、,b内物体的位移内物体的位移s s可可以用定积分表示为以用定积分表示为( )d .basv tt探究点探究点1 导数和定积分的关系导数和定积分的关系 另一方面，从导数角度来看：如果已知该变另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直线运动的路程函数为速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间，则在时间区间a,b内物体的位移为内物体的位移为s(b)s(a)，所以又有，所以又有 ( )d( )( ).bav tts bs a由于由于 ，即，即s(t)s(t)是是v(t)v(t)的原函数，这就的原函数，这就是说，定积分是说，定积分 等于被积函数等于被积函数v(t)v(t)的原函的原函数数s(t)

6、s(t)在区间在区间a,ba,b上的增量上的增量s(b)s(b)s(a).s(a).( )( )s tv t( )dbav tt ,yy ttv ty ta bSy t v t 如如图图，一一个个做做变变速速直直线线运运动动的的物物体体的的运运动动规规律律是是由由导导数数的的概概念念可可知知，它它在在任任意意时时刻刻的的速速度度为为设设这这个个物物体体在在时时间间段段内内的的位位移移为为 ，你你能能分分别别用用表表示示S S吗吗？tOy tyy Ba aybSa( t )0t1it 1itnb( t )nt 1t2S1S2 iS nS1h2hihnhA y biiShtanDPCt1iy tt

7、12inSSSSS Sy by a1iiSv tt1ib ay tn1iy tty(a)y(a)P PD DC CS = yS = y（b b） -y-y（a a） bayt dty y t ay by12 inSSSSSi ii i- -1 1i i- -1 1i i- -1 1 S S v v t t t t= =y y t t t tb b- -a a= =y y t tn n n ni-1i-1n ni=1i=1S =limv tS =limv tt tn ni-1i-1n ni=1i=1=limy t=limy tt t bavt dt aybydttySba 探究点探究点2 微积分

8、基本定理微积分基本定理y y微积分基本定理：微积分基本定理：如果如果f( (x) )是区间是区间 a, ,b 上的连续函数，并且上的连续函数，并且F F( (x) )f（x) )，那么，那么( )d( )( )baf xxF bF a这个结论叫做这个结论叫做微积分基本定理微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula).b bb ba aa af(x) dx = F(x) = F(b)-Ff(x) dx = F(x) = F(b)-F 或或记记作作 (a).(a).( )

9、d ( )( )baf x xF bF a 微积分基本定理表明：微积分基本定理表明：注意注意:求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. .baxF)( . 计计算算定定积积分分的的关关键键是是找找到到满满足足的的函函数数通通常常，我我们们可可以以运运用用基基本本初初等等函函数数的的求求导导公公式式和和导导数数的的四四则则运运算算法法则则从从反反方方向向求求出出 F FF Fbaf x dxxfF xxx函数函数f(x)f(x)导函数导函数f(x)f(x)回顾：基本初等函数的导数公式回顾：基本初等函数的导数公式nx1nnx 1x1lnxasin xcos xsin x

10、cos xxexalnxaaxec0logaxln x被积被积函数函数f(x)f(x)一个原一个原函数函数F(x)F(x)基本初等函数的原函数公式基本初等函数的原函数公式ccxnx111nxn sin xcos x sin xcos xxalnxaaxexe1xln|x 2321111: 1;221.dxxdxxx计计算算下下列列分分例例定定积积1ln,xx（1 1 因因解解） 为为22111ln|dxxx所所以以ln2ln1ln2.22112 ,xxxx （2 2） 因因为为333221111122xdxxdxdxxx32 3111|xx1229 11.332 22 20 00 0计计算算下

11、下列列定定积积分分 : :s si in n x x d dx x, ,s si in n x x d dx x, ,s si in n x x d d例例 2 2 x x . . cossin ,xx解解因因为为 coscos02; 22sincos|xdxx cos2cos2; 2200sincos|xdxx cos2cos00. 00sincos|xdxx 我们发现：我们发现：定积分的值可取正值也可取负值，还可能是定积分的值可取正值也可取负值，还可能是0 0；（1 1）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方时，定积分的值取正值；轴上方时，定积分的值取正值；oxy211sinyx+ +

12、（2 2）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴下方时，定积分的值取负值；轴下方时，定积分的值取负值；（3 3）当曲边梯形位于）当曲边梯形位于x x轴上方的面积等于位于轴上方的面积等于位于x x轴下方轴下方的面积时，定积分的值为的面积时，定积分的值为0 0oxy112sinyx- -oxy112sinyx- -+ +11214154 10101302311.11234dxxdxx dxx dx填 空 ： 1 12 20 02 21 12 22 2- -1 12 2x x1 12 2. .填填空空：1 1- -3 3t t + +2 2 d dt t= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

13、1 12 2x x+ +d dx x= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x x3 33 3x x + +2 2x x- -1 1 d dx x= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 4e e + +1 1 d dx x= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1322ln 921ee 3 3计算定积分计算定积分 解解: :322113xdxx 322113,xxxx 为因因3333222211111133x dxdxx dxdxxx所所以以原原式式3 33331111 176313 13xx 301141222.:cos;.xxdxdxx 计计算算下下列列定定积积分分 11222sincos,xx 解解因因为为001222cossin|xdxx 所所以以1120022sinsin. 212222,lnxxxx因因为为3331111122xxdxdxdxxx3311222|lnxx 8262 322 32222.lnlnln202015.( )( ).512xxf xf x dxx设，求212001( )( )( ) f x dxf x dxf x dx解解 120125x