线性代数4.1二次型与对称矩阵重点

1、Ch4 二次型在平面解析几何中，二次曲线的一般方程为:如4x2+ y2- 8x- 4j + 4 = 0 酉己方得：4(尤2一2兀十 1)+ (j2-4j+4 )= 4x y丁+亍日为椭圆.4(x-1)2+(j-2)2= 4 令在空间解析几何中，二次曲面的一般方程为:axx2+a2y2+az2+ 2bxxy+2b2yz+2byxz+ 2elx+2c2y+2c3z + 二 0z2-2x-f2z+ 1= o 配方：(x i)2 +y2+ (z+i)2= 1 为球面对二次曲线及二次曲面的研究，发展了二次型的理论。 二次型不仅在几何中出现，在数学的其它分支 以及工程技术和经济管理的许多问题中也常常遇到.

2、（一）二次型及其矩阵定义4. 1只含有二次项的n元多项式称为心,*2，*“的一个n元二次型，简称为二次型. 令幻八1,2,）则 二次型可莺为:其 中"“ =a ji G、j = 1,2,.）A为对称矩阵对称惩阵A称为二次型f（U,X”）的矩阵.矩阵a的秩称为 二次型rg宀,，七）的秩.例如二次型x3xtx2-2x ；+ -x,x2它的矩阵为5ix3)A2x此二次型的炬阵为 °_-丄 -3vT 是对称矩阵.丄=0时 + -xxx2 + -XjX31 23+ 严"1+ 2X； -2 z213,+ 产1 £X2X3+0x；又如二次型邑耳+ 此二次型的矩阵为A

3、=是对称矩阵.丿31=X+xx33.X：例 f(xi,x2)=2xix2 的矩阵为4 二=+ °儿儿+ + °儿儿0J此二次型的矩阵为000 . 0+ 0儿儿 + d2y + + 0儿儿“二。儿匕+ °警+ f(Xi,x2,x3) =(j_3x + 4x>+“沙:5X1X36x2xtx/(Xx二次型一对称矩阵f(xl9x29.,xn)故二次型可以用矩阵的形式表示：/(x) = xy Ax二次型/(x,x2,.,xm)对称矩阵 A对称矩阵A为二次型/g宀,宀)的矩阵 二次型/g宀,，兀”)为矩阵A对应的二次型A为对称矩阵,A对应的二次型为：2时+ 3兀；给定一

4、个n元二次型 f （ X 9 X 2 ,» X “） 就可得到唯一的 n阶对称矩阵A, A为该二次型的矩阵，二次型可写为 f（x） = xTAxA的秩称为该二次型的秩。反之，给定一个11阶对称矩阵A,就可得到唯一的 n元二次型= xr Ax A就是此二次型的矩阵。二次型和对称矩阵一一对应.（二）线性替换x = x cos G-y sin 0 y - x sin 0+y cosO在平面解析几何中，为了 了解二次方程ax2 + 2bxy +cy2= d 所表示的曲线的性态，通常利用转轴变换.使曲线方程化为标准形a xy2=dy (X.y)如 x 2 + 2 v 3xj - 八“作转轴变换

5、* 子 |从匕y到x；y'的x=方程化为：-jy y+2V3（4x - T '）（T + *）-（1半y ）2=2整理得j，2=l此方程只含的平方项，是双曲线.标准形定义4. 2 设两组变量u,x”和儿，儿,儿 儿+勺2儿+ + %儿 具有如下关系J兀2=5儿+。22儿+5“儿(4. 3) =儿+<2儿+C”儿称为由变量厂宀&到儿，儿，,儿的线性替换. 线性替换(43)可以用 矩阵形式表示X1C11C12Cln/ 、Jix = Cy5| C2lC 22“ C2n |=| :JJ |yiC称为线性替换(4. 3)的矩阵X w 7T、C“1C illCnnT、*丿Xc

6、y(4.3)X1 =C儿 +cI2j2 + . + c|hjh兀2 =°2丿+。22丿2 +。2“丿“X” =C“* +52” + + 5“儿X =Cy当|c|ho时，(4. 3)称为非退化的线性替换.此时CT存在 C x=C 'ey y = C1x y = cKx称为线性替换的逆替换.当C是正交矩阵时，称线性变换""为正交替换.例如转轴变换Jx = xcosjsiny = x sin 0+y cosO|(os 0 -sI sin 0鄧Y八 cosGy为由变量x, y到x, y的线性替换.Q =（C°S"Sin是正交矩阵，此线性替换是正

7、交替换.给定二次型f（x兀2，九）=（n，=x Ax设该二次型经过非退化线性替换XI sin & cos 6 ）Q可逆，此线性替换也是非退化线性替换，其逆变换为/ z X/、/-.Z X"x、I cos 6 sin 0I"、x = x cos0+y sin 0=0l y J IsinO cos0 7打丿= -x sin OycosG其逆变换也是正交替换.11 =1CC12ClnC21C22C2n儿 '化为:丿21 :=bCn2Cnn )xixx = C y<a/il aulii昇+2儿儿儿+ 2九儿儿+2九儿儿+ b 22 yl + 223丿2,3 +

8、 2方2“丿2儿+ 33；+ 2方3“*儿+ bnn yi证：f(x)= X1 Ax = (Cy)rA (Cy) =y, i：J ACy= y1 By.B =CTAC在上式中，矩阵B仍为对称矩阵，Y是以B为矩阵的二次型, 两个二次型的秩相等。A和B之间的关系是什么呢？定义4. 3 设A,B是两个n阶矩阵，如果存在n阶 可逆矩阵C,使得CTAC=B成立，则称矩阵A与B合同， 记为A ylB定理 经过非退化线性替换原二次型的矩阵与新二次型 的矩阵合同。A与B合同，记为存在可逆矩阵C；使得cSc”A与B相似记为A B | <=>|存在可逆矩阵P,使得厂以宀B 如果C是正交矩阵，则cr=c !此时若B=CTAC =c贝QB与A既相似又合同.“合同”是矩阵之间的一种关系它具有如下性质：(1) 反身性：对任意方阵A,有AA(2) 对称寸生：若贝'J B ylA(3 )传递性：若4工 B "C贝A -c证(1) E = E A =EAE AE(2)由4工牙選咅可逆矩阵C,使得A = (C VbcS (C '