人教版本数学九上第22章（二次函数）小结与复习

1、第26章二次函数小结与复习（1）教学目标： 理解二次函数的概念，掌握二次函数yax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线yax2经过适当平移得到ya(xh)2k的图象。重点难点： 1重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数yax2图象的性质。 2难点：二次函数图象的平移。教学过程：一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点 1二次函数的概念，二次函数yax2 (a0)的图象性质。 例：已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(

2、3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小? 学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。 教师精析点评，二次函数的一般式为yax2bxc(a0)。强调a0而常数b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为yax2(a0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x0。 (1)使是关于x的二次函数，则m2m42，且m20，即：m2m42，m20，解得；m2或m3，m2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m20， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m20。抛物线的增减性要

3、结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。 强化练习；已知函数是二次函数，其图象开口方向向下，则m_，顶点为_，当x_0时，y随x的增大而增大，当x_0时，y随x的增大而减小。 2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y3x26x8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y3x2。 学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。 教师归纳点评： (1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系：

4、 yax2bxcya(x)2 (2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 (3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳； 投影展示： 强化练习： (1)抛物线yx2bxc的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线yx22x1，求：b与c的值。 (2)通过配方，求抛物线yx24x5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。 3知识点串联，综合应用。例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线yax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。 (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如果D为抛物线上一点，使得

5、AOD与OBC的面积相等，求D点坐标。 学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。 教师点评：(1)直线AB过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式ykxb，可确定k、b，抛物线yax2过点B(1，1)，代人可确定a。 求得：直线解析式为yx2，抛物线解析式为yx2。 (2)由yx2与yx2，先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(2，4)，SOBCSABCSOAB3。 SAODSOBC，且OA2 D的纵坐标为3 又 D在抛物线yx2上，x23，即x± D(，3)或(，3) 强化练习：函数yax2(a0)与直线y2x3交于点A(1，b)，求： (1)a和b的值；(2)

6、求抛物线yax2的顶点和对称轴； (3)x取何值时，二次函数yax2中的y随x的增大而增大， (4)求抛物线与直线y2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。二、课堂小结 1让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。 2。投影：完成下表：三、作业： 作业优化设计 一、填空。 1若二次函数y(m1)x2m22m3的图象经过原点，则m_。 2函数y3x2与直线ykx3的交点为(2，b)，则k_，b_。 3抛物线y(x1)22可以由抛物线yx2向_方向平移_个单位，再向_方向平移_个单位得到。 4用配方法把yx2x化为ya(xh)2k的形式为y_，其开口方向_，对称轴为_，顶点坐标为_

7、。 二、选择。 1函数y(mn)x2mxn是二次函数的条件是( ) Am、n是常数，且m0Bm、n是常数，且mn C. m、n是常数，且n0D. m、n可以为任意实数 2直线ymx1与抛物线y2x28xk8相交于点(3，4)，则m、k值为( )A BC. D. 3下列图象中，当ab0时，函数yax2与yaxb的图象是( ) 三、解答题 1函数 (1)当a取什么值时，它为二次函数。 (2)当a取什么值时，它为一次函数。 2已知抛物线yx2和直线yax1 (1)求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同舶交点。 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线与直线的两个交点，P为线段AB的中

8、点，且点P的横坐标为，试用a表示点P的纵坐标。 (3)函数A、B两点的距离d|x1x2|，试用a表示d。 (4)过点C(0，1)作直线l平行于x轴，试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由。第26章二次函数小结与复习（2）教学目标： 会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。重点难点：重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。教学过程：一、例题精析，强化练习，剖析知识点 用待定系数法确定二次函数解析式 例：

9、根据下列条件，求出二次函数的解析式。 (1)抛物线yax2bxc经过点(0，1)，(1，3)，(1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(1，8)，且过点A(0，6)。 (3)已知二次函数yax2bxc的图象过(3，0)，(2，3)两点，并且以x1为对称轴。 (4)已知二次函数yax2bxc的图象经过一次函数y3/2x3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为ya(xh)2k的形式。 学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。 教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式： (1)一般式：yax2bxc (a0) (2)顶点

10、式：ya(xh)2k (a0) (3)两根式：ya(xx1)(xx2) (a0) 当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式yax2bxc形式。 当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式ya(xh)2k形式。 当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式ya(xx1)(xx2) 强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。 (1)若m为定值，求此二次函数的解析式； (2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。二、知识点串联，综合应用例：如图，抛物线yax2bxc过点A(1，0)，且经过直线yx3与坐标轴的两个

11、交点B、C。 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OMBC，垂足为D，求点M的坐标。 学生活动：学生先自主分析，然后小组讨论交流。教师归纳： (1)求抛物线解析式，只要求出A、B，C三点坐标即可，设yx22x3。 (2)抛物线的顶点可用配方法求出，顶点为(1，4)。 (3)由|0B|OC|3 又OMBC。 所以，OM平分BOC 设M(x，x)代入yx22x3 解得x 因为M在第四象限：M(， ) 题后反思：此题为二次函数与一次函数的交叉问题，涉及到了用待定系数法求函数解析式，用配方法求抛物线的顶点坐标；等腰三角形三线合一等性质应用，求M点

12、坐标时应考虑M点所在象限的符号特征，抓住点M在抛物线上，从而可求M的求标。 强化练习；已知二次函数y2x2(m1)xm1。 (1)求证不论m为何值，函数图象与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点。 (2)当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。 (3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。三、课堂小结 1投影：让学生完成下表：2归纳二次函数三种解析式的实际应用。 3强调二次函数与方程、圆、三角形，三角函数等知识综合的综合题解题思路。四、作业： 课后反思：本节课重点是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式；要让学生熟练掌握配方

13、法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。对于二次函数与其他知识的综合应用，关键要让学生掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，从而把握解题的突破口。课时作业优化设计 一、填空。 1. 如果一条抛物线的形状与yx22的形状相同，且顶点坐标是(4，2)，则它的解析式是_。 2开口向上的抛物线ya(x2)(x8)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ACB90°，则a_。 3已知抛物线yax2bxc的对称轴为x2，且过(3，0)，则abc_。 二、选择。 1如图(1)，二次函数yax2bxc图象如图所示，则下列结论成立的是( ) Aa0，bc

14、0 B. a0，bc0 C. aO，bcO D. a0，bc0 2已知二次函数yax2bxc图象如图(2)所示，那么函数解析式为( )Ayx22x3 B. yx22x3 Cyx22x3 D. yx22x3 3若二次函数yax2c，当x取x1、x2(x1x2)时，函数值相等，则当x取x1x2时，函数值为( ) Aac B. ac Cc D. c 4已知二次函数yax2bxc图象如图(3)所示，下列结论中： abc0，b2a；abc0，abc0，正确的个数是( ) A4个 B3个 C. 2个 D1个 三、解答题。 已知抛物线yx2(2m1)xm2m2。 (1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点，

15、(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB，以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示) (3)设ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。第26章二次函数小结与复习（3）教学目标： 1使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。 2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。重点难点： 重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。 难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。教学过程：一、例题精析，引导学法，

16、指导建模 1何时获得最大利润问题。 例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销 售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P= (x30)210万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=(50x)2 (50x)308万元。 (1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多

17、少? (2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少? (3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。 学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。 教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。 教师精析： (1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P= (x30)210知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M110×10=100万元。 (2)若对该产品开发，在前5年中，当

18、x=25时，每年最大利润是：P (2530)210=9.5(万元) 则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元 设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。 则由Q (50x)(50x)308知，将余下的(50x万元全部用于外地销售的投资才有可能获得最大利润； 则后5年的利润是： M3(x30)210×5(x2x308)×55(x20)23500 故当x20时，M3取得最大值为3500万元。 10年的最大利润为MM2M33547.5万元 (3)因为3547.5100，所以该项目有极大的开发价值。强化练习：某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时

19、的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做次函数ykxb的关系，如图所示。 (1)根据图象，求一次函数ykxb的表达式， (2)设公司获得的毛利润(毛利润销售总价成本总价)为S元，试用销售单价x表示毛利润S；试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少? 分析：(1)由图象知直线ykxb过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析式为yx1000 (2)由毛利润S销售总价成本总价，可得S与x的关系式。 Sxy500yx·(x1000)500(x100) x21500x

20、500000(x750)262500 (500x800) 所以，当销售定价定为750元时，获最大利润为62500元。 此时，yx10007501000250,即此时销售量为250件。 2最大面积是多少问题。 例：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的边长为x，面积为S平方米。 (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用； (3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料：当矩形的长是宽与(长宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄

21、金矩形，2.236) 学生活动：让学生根据已有的经验，根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当的二次函数模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。 教师精析： (1)由矩形面积公式易得出Sx·(6x)x26x (2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。 由Sx26x(x3)29，知当x3时，即此矩形为边长为3的正方形时，矩形面积最大，为9m2，因而相应的广告费也最多：为9×10009000元。 (3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。 设设计的黄金矩形的长为x米，则宽为(6x)米。 则有x26·(6x) 解得

22、x133 (不合题意，舍去)，x233。 即设计的矩形的长为(3，3)米，宽为(93)米时，矩形为黄金矩形。 此时广告费用约为：1000(33)(93)8498(元)二、课堂小结：让学生谈谈通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。三、作业： P28，复习题C组1315题。 课后反思： 二次函数的应用综合体现了二次函数性质的应用，同时，这类综合题与其他学过的知识有着密切的联系，最大利润问题，最大面积问题是实际生活中常见的问题，综合性强，解题的关键在于如何建立恰当的二次函数模型，建立正确的函数关系式，这一点应让学生有深刻

23、的体会。第三课时作业优化设计 1某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价为3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且yx2x1，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。 (1)试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式 (2)如果投入广告费为1030万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增次? (3)在(2)中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大?是多少?2如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的

24、长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度a10米)。 (1)如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求宽AB的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能请说明理由初三数学二次函数知识精讲一. 本周教学内容： 二次函数学习目标 1. 掌握二次函数的概念，形如的函数，叫做二次函数，定义域。 特别地，时，是二次函数特例。 2. 能由实际问题确定函数解析式和自变量取值范围，明确它有三个待定系数a，b，c，需三个相等关系，才可解。 3. 二次函数解析式有三种： （1） 一般式 （2） 顶点式； 顶点 （3） 双根式；是图象与x轴交点坐标。

25、4. 二次函数图象：抛物线 分布象限，可能在两个象限（1），三个象限（2），四个象限（3）。 5. 抛物线与抛物线形状、大小相同，只有位置不同。 6. 描点法画抛物线了解开口、顶点、对称轴、最值。 （1）a决定开口： 开口向上，开口向下。 表示开口宽窄，越大开口越窄。 （2）顶点，当时，y有最值为。 （3）对称轴 （4）与y轴交点（0，c），有且仅有一个 （5）与x轴交点A（），B（），令则。 0，有，两交点A、B。 0，有，一个交点。 0，没有实数与x轴无交点。 7. 配方可得 向右（）或向左（）平移个单位，得到，再向上向下平移个单位，便得，即 。 8. 五点法作抛物线 （1）找顶点，画对称

26、轴。（2）找图象上关于直线对称的四个点（如与坐标轴的交点等）。 （3）把上述五个点连成光滑曲线。判别式二次函数（）无实根一元二次或不等于的实数全体实数不等式空集空集 9. 掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。二. 重点、难点： 重点掌握二次函数定义、解析式、图象及其性质。 难点是配方法求顶点坐标，只要坚持配完后看看与原二次函数是否相等即可。 例1. 已知抛物线，五点法作图。 解： 此抛物线的顶点为 对称轴为 令，即解方程 抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0） 令则，得抛物线与y轴交于点C（0，） 又C（0，）关于对称轴的对称点为D 将C、A、M、B、D五点连成光滑曲线，此

27、即为抛物线的草图。 例2. 已知抛物线如图，试确定： （1）及的符号； （2）与的符号。 解：（1）由图象知抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，过A（1，0）与y轴交于B（0，c），在x轴上方 抛物线与x轴有两交点 （2）抛物线过A（1，0） 例3. 求二次函数解析式： （1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M（-1，2），且过N（2，1）； （3）与x轴交于A（-1，0），B（2，0），并经过点M（1，2）。 解：（1）设二次函数解析式为 由题意 所求二次函数为 （2）设二次函数解析式为 顶点M（-1，2） 抛物线过点N（2，1） 所求解析式 即 （3）设二次函数解析式为 抛物线与x轴交于A（-1，0），B（2，0） 抛物线过M（1，2） 所求解析式 即 例4. 已知二次函数在时，y取最大值，且抛物线与直线相交，试写出二次函数的解析式，并求出抛物线与直线的交