第十一章曲线曲面积分

1、第十一章曲线积分与曲面积分 §对弧长的曲线积分1设L关于x轴对称,1L表示L在x轴上侧的部分，当(y x f ,关于y是偶函数 时，(=?Lds y x f ,0(? 1,L ds y x f C. (? -1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L是以点(1,0, 0,1,1,0, 0, 1-D C B A为顶点的正方形边界,则+Lyx ds =24 D. 22E3、有物质沿曲线L :(103,2, 32<< =t t z t y t分布，其线密度为，y =则,=m+1E42dt t t t B.?+1422dt t t t C.? +142dt t t D

2、.? +142dt t t t4. 求 , ? L xds其中L为由2, x y x y =所围区域的整个边界解：（22151212411+?xdx dy y5. , ds y L?其中 L 为双纽线 0( (222222>-=+a y x a y x解:原积分=(222si n 4sin 442022' 21=+=? a d ad r r r ds y Lxnn9 9 9 9 96. ?+Lds y x , 22 其中 L 为(022>=+a axy x原积分=2222cos 2a adt t a =? n7. , 2? Lds x其中L为球面2222a z y x =+

3、与平面0=-y x的交线解:将y x =代入方程2222a z y x =+得2222a z x =+于是L的参数方程:t a z t a y t a x sin , sin 2,cos 2，又 adt ds =原积分=?n 203222cos 2a adt t a 8 求均匀弧（0, sin , cos -=<t e y t e x t t t 的重心坐标3, 0=?-dt e M dt e ds t t,523cos 10-dt e t e M1,5100=-=z y§2对坐标的曲线积分 一、选择题1. 设L关于x轴对称,1L表示L在x轴上侧的部分，当(y x P ,关于y

4、是偶函数时,(=?Ldx y x P , A.0 B. (? 1,2L dx y x P C.(?-,2L dx y x P都不对2. 设L为1=+y x的正向，贝U =+Ly x ydyxdx帀3. L 为 222a y x =+的正向,=+-+Ly x dyy x dx y x 22 ( ( A.2 nn C.O D. n二、计算1.(dy y x dx y x L? -+2222,其中 L 由曲线(2011 x y 从(0, 2A 到(0, OO 方向解:(1, 1B 01:, :; 12:, 2:_f =-=x x y BO x x y AB+dx x xd y y x x xy y

5、dx y x LBOAB (34122012212222=+-+ ?dx x x dx x x2.ln( (2222+其中L是正向圆周曲线222a y x =+解：由奇偶对称性022=+Ldx y x , L :nn,-&in , cos t t a y t a x1 (=+?-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 32247t7t冗冗冗4cos sin 44a dt t t a =?3. （? r-+dz y x ydy xdx 1其中为从点（1, 1, 1A到（4, 3, 2B的有向线段解：r方程:13, 12, 1+=+=+=t

6、 z t y t x ,=I （136141=+? dt t三、过（0, 0O和（0, n的曲线族（Osin >=a x a y求曲线L使沿该曲线从（0, 0O到（0, n的积分（dy y x dx y L+? 213的值最小解：（3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+=? nn(0811, 014''2>=? =? =-=I a a a I。 , 1=a （a I 最小，此时 x y sin =四、空间每一点处（z y x P ,有力（z y x F ,-，其大小与（z y x P ,到z轴的距离成反

7、比,方向垂直指向z轴，试求当质点沿圆 周 t z y t x sin , 1, cos =从 点（0, 1, 1M 至 U（1, 1,0N 时，力（z y x F ,-所作的功解:由已知（0,2222yx ky yx kx z y x F +-+-=2ln 2cos 1coscos 222222kt d t tk dy y x ky dx y xkxW L+-=+-+-=? n五、将积分y y x Q x y x P L d , (d , (? +化为对弧长的积分,其中L沿上半圆周0222=-+x y x . 0, 2( 0, 0(B O 到从解:，22x x y -=x xx x y d 2

8、1d 2x y ds d 12'+=x d 212d d cos =a , 22x x=x s1d d cos 于是=+?y y x Q x y x P Ld , (d , (s x y x Q x x y x P L d 1( , (2 , (2?§3格林公式及其应用选择题1.若L是上半椭圆？? =, sin ,cos t b y t a x取顺时针方向,则?-Lxdy ydx =A.O B.ab 2nab n . D ab n232. 设L为222a y x =+的 正向,贝 U =+-y x ydy x dx xy 2222 ?A. 2 n B2 nn3. 设 L 为曲

9、线 922=+y x 的正向 则(=-+-dy x x dx y xy L4222 A . 9 nn C.9 n D.O1. 设L是圆1222=+x y x取逆时针方向，则（=+Ly xy x dye dx y x 2ln 22222解:将方程代入被积函数在由格林公式得(=-=+-LDy dxdy dy e dx x 0 00(211n 22. (? +-+-Ldy y x x y dx x y xy , 3sin 21cos 23233其中 L 为点（0, 0O 到? 1,2 nA的抛物线x y n22=的弧段解:因y P x Q ?=?故积分与路径无关，取? 0, 2 nBI 4232si

10、n 21021022 nnn =? ? ? +_+=+? dy y y BAOB3. 求 +-=Lyx xdy ydx I 22,L为(1(11122=-+-y x (2正方形边界1=+y x的正向解:(1直接用格林公式=0(2设I为圆周:222r y x =+取逆时针方向，其参数方程n 20:, sin , cos =t t r y t r x原积分为? +=_-+lDl Ll dxdy 0所以nn2cos sin 20222222+-=+-?dt rtr t r yx xdy ydx yx xdy ydx lL4、验证（dy e xy dx ye yx x +22在xoy面上是某函数（y

11、x u ,的全微分，求出（y x u ,解：x Q +=?=?2, (x ye xy y x u +=2, , 5、设曲线积分(? +dy x y dx xy ?2 与路径无 关，其中(x ?具有连续的导数,且(00=?，计算(?+1, 10,02dy x y dx xy ?的值解:取路径:沿0=x从(0, 0到(1, 0;再沿1=y从(1,0到(1,1则(21011+=?xdx dy y I ?(2' 00, 2x x x yPx Q =? ?=?得又§4对面积的曲面积分1、计算曲面积分？刀+ds y x z 342(其中龙是平面1432=+zy x在第一卦限的 部分解:？

12、?-=+-xyD xdy dxdxdy y x yx I 2021(3061434361342 321(4 2、求曲面积分?刀+ds zy x 2221，其中龙是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面222R y x =+ 解:？?-+=-+=RRHD dy yR dz zR R dydz y R y z R I yz222222221. 1212=2RHRy Rz RR H arcta n2.arcs in arcta nO - n =+=3、求曲面积分？刀+ds zx yz xy （，其中 刀是锥面22y x z被柱面ax y x 222=+所截得的有限部分 解：dxdy y x y x xy

13、 I xyD 2(22? +=?-+22cos 2022. sin (coss in cos nn09 9 9 9 9a rdr r r rd =421564a§5对坐标的曲面积分 一、选择题1. 设刀关于yoz面对称反向，1是刀在yoz面的前侧部分若（z y x P ,关于x 为偶函数，则（?刀=dydz z y x P ,（(? E1,2dydz z y x P C. (? E-1,2dydz z y x P D.ABC 都不对2. 设(0:2222 >=+E z a z y x取上侧，则下述积分不等于零的是（A ?刀dydz x 2 刀xdydz C ?刀ydxdy D

14、?刀zdxdz3. 设t为球面122=+z y x取外侧，1为其上半球面，则有（A.? 刀刀=12zds zds?刀刀=12zdxdy zdxdy C.? 刀刀=1222dxdy z dxdy z D. 0二、计算1. 刀+dxdy z dzdx y dydz x 222其中刀由1=+z y x及三个坐标面所围成闭曲面的外侧(1122201111214xyD z dxdy x y dxdy dx x y dy -刀x?解:由轮换对称性原式2. (x y dydz 刀+?其中刀为锥面22y x z +=被平面1=z所截部分的外侧(2221222cos 3x x y ydydz xdydz x z

15、 dxdy d r dr nn9 9E+w =?解:由对称性原式3. (?刀-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x (其中 K为 22y x z +=被平面 1=z 所截部分，其法向量与z轴成锐角(22222212132022cos 2x y ydydz zdzdx x y z x dxdy xy x dxdy d r r drnn9 9EKK+w =? ? =一+-=+-? ? =-?解:由对称性 原式？、用两类曲面积分之间的关系计算1. 求?刀+dS z y x cos cos cos (333 其中Y£是柱面 222a y x =+在 h z w 部分,

16、YBa cos , cos , COsX的外法线的方向余弦(322332244403224cos 4haax dydz y dzdx zdxdydxdy x dydz x dydz dz a ydy hatdt a h-=+=-= ? 解:原式 由奇偶对称性 及=0得原式？2. (?刀+dxdy z z y x f dzdx y z y z f dydz x z y x f , , ( , , (2 ,(其中,(z y x f 为连 续函数，刀为平面1=+-z y x在第四卦限部分的上侧1,1,1n耶:的法向量为.31cos , 1cos , 31COS =-= Ya%(x y z dS 刀-

17、+原式? =xyD dxdy 311=21四、试求向量f+=ky x e j z i A z 22穿过由22y x z+=及1=z及2=z所围成圆台外侧面（不含上下底的流量%(221021z zr dydz zdzdx dydz zdzdx d e dr e en刀刀刀 +6高斯公式? = ? ? =-=-?解:二由奇偶对称性知1. 设X是抛物面（2122y x z +=介于0=z及2=z之间部分的下侧，求(?刀-+zdxdy dydz x z28 n2. 设I为2221x y z +=取外侧,求(222111x x dydz y y dzdx z z dxdyI+=? 325n3. 设I为平

18、面1x y z +=在第一卦限部分的上侧，则xydydz yzdzdx xzdxdy I+? =184. 求矢量场333A x i y j z k =+匸穿过曲面匚0z R R z =+>=与 围成的闭曲面外侧的通量5285R n5. 求刀+? +? zdxdy dzdx y x f x dydz y x f y 11, 其中(u f有连续的二阶导数，是22228, z x y z x y -=+=所围立体的外侧(22222224828216x y dV x y dxdy d r rdrn0nQ+w =-+=-=?解:原式求(刀+-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz

19、 xz 23222, 其中刀是222y x a z -=及 0=z所围曲面的外侧(22222452sin 5x y z dV d d r dr annn0 ? Q=+=?解:原式7.刀2(z y x zdxdy ydzdx xdydz，其中 E为 2222x y z R +=取外侧(331134xdydz ydzdx zdxdy dV R R nEQ+=? 解:原式7斯托克斯公式1. 设L为依参数增大方向的椭圆：(n 20cos , cos sin 2, sin 22<< =tat »,求 (+dz y x dy x z dx z yL (02. 设L为平面1=+z y

20、x与坐标面交线，从z轴看去为逆时针方向,求(-+-+dz z x y dy z y x dx x z y L(23. 设L为圆周2222, 0x y z R x y z +=+=若从ox轴正向看依逆时针方向，则(+dz x dy z dx y L321 (2R4、+L dz x dy z dx y 其中 L 为圆周 2222, Ox y z R x y z +=+=若从 ox 轴正向看依逆时针方向。(2cos cos cos 3cos dS dS dS R aYY刀刀二+=_=? 解：5. +L dz x dy z dx y 222,其中L为曲线(2222220, 0x y z a z a x

21、 y ax? +=>>? +=?从ox轴正向看依逆时针方向(2222223. , , , , 2cos cos cos 2224x y ax x y ax z x y ax x y z x y z a a a xy z I z x y dS z x y dSa a a x y dxdy xdxdy a ydaYnEE +< +<E/=+<E? =-+=-+ ?=-+=-=- ? 解 1:为球面被 L 所围部分 取凸侧上点x,y,z处的法向量为，由斯托克斯公式注:由对称性0Dxdy =? 22cos , cos sin , sin , :22x a y a z a解

22、:参数 L 的方程 p p q q q q q =-6. -+-+-L dz y x dy x z dx z y (,其中 L 为椭圆222, 1(0, 0 x zx y a a b a b+=+=>>若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方向(222,0, 2cos cos cos 22x y a b a dS dS a b dxdy a a b a+ W”=+=-+=-=_+?解:所围区域，其法向量为原积分第十章自测题一、填空(每题4分，共20分1、设平面曲线Ly/a- - X为下半圆周y =-=+L ds y x(22 (P2、设L为椭圆13422=+y x，其周长为a ,则(=+L

23、ds y xxy 22432(12a3、设为正向圆周222x y +=在第一象限中的部分,则曲线积分? =-L ydx xdy2(324、设W是由锥面z =z =围成的空间区 域，是W的整个边界的外侧,则?=+Wzdxdy ydzdx xdydz2R p - 5、设X为球面2222( ( ( x R y R z R R -+-+-=外侧，则曲面积分 (2/3222=+?z y x zdxdyydzdx xdydz (0二、选择题(每题5分，共15分XX1、设(12222, 0:=+刀z a是yX在第一卦限部分.则有A . ?=14xdS xdS B.? XX=14ydS ydS? XX=14z

24、dS zdS D? XX=14xyzdS xyzdS2(, 0:2222> =+Xz a z取上侧，则下述积分不正确的是A . ? X2dydz x X=Odydz x C.?刀=02dydz y D.?刀=Oydydz3、设L是从点（0,0沿折线、y=1-|x-1|至点A（2,0的折线段，则曲线 积分？+-=Lxdy ydx I 为（A 0 B -1 C 2 D -2三、计算（每题8分1计算曲面积分？ Szds其中S为锥面z =x y x 222< +内的部分? +_=+=xy x dr r d dxdy y x I 222cos 2022229322.2 nn002、过（0, 0O和（0, n的曲线族（Osin >=a x a y求曲线L使沿该曲线从（0, 0O