菲涅耳衍射夫琅和费衍射和傅立叶变换

1、第四章 菲涅耳衍射、夫琅和费衍射和傅立叶变换利用基尔霍夫或瑞利-索末菲衍射公式计算衍射光场复振幅分布虽然准确，但是在计算积分时存在数学上的困难。在一定条件下对瑞利-索末菲衍射公式进行近似，便可以将衍射现象划分为两种类型菲涅耳衍射和夫琅和费衍射，也称近场衍射与远场衍射。§4-1 菲涅耳衍射夫琅和费衍射的划分先简单分析一下单色光经过衍射小孔后的衍射现象。下图表示一个单色平面波垂直照射到圆孔上（圆孔直径大于波长）的情形。若在离很近的K1处观察透过的光，将看到边缘比较锐利的光斑，其形状、大小和圆孔基本相同，可看作是圆孔的投影。这时光的传播可看作是直线进行的。若距离再远些，例如在K2处，将看到

2、一个边缘模糊的略大的圆光斑，光斑内有一圈圈的亮暗环，这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。随着距离的增大，光斑范围将不断扩大，但光斑中圆环数目则逐渐减小（如K3处的情况），而且环纹中心的明暗也表现为交替出现。当观察平面距离很远时，如在K4处，将看到一个较大的中间亮，边缘暗，且在边缘外有较弱的亮暗交替的光斑。此后观察距离再增大时，只是光斑扩大，但光斑形状不变。通常菲涅耳衍射指近场衍射，夫琅和费衍射指远场衍射。下面我们根据瑞利-索末菲衍射公式来讨论远和近的范围是怎样划分的。考虑无限大的不透明屏上的一个有限孔径对单色光的衍射。设平面屏有直角坐标系(x1，y1)，在平面观察区域有坐标系(x，y)，两者坐标

3、平行，相距z。一、 菲涅耳衍射（近场衍射）在第三章里我们已经得到开孔的瑞利-索末菲衍射公式是在图所示的坐标系下，上式可以写为假设观察屏和衍射屏的距离z远远大于的线度和观察范围的线度，那么在z轴附近又的情况下，忽略二阶以上小量，有所以这一近场近似公式称为菲涅耳衍射公式。使以上近似成立的观察区称菲涅耳衍射区。使菲涅耳衍射公式成立的条件是即二、 夫琅和费衍射（远场衍射）菲涅耳衍射公式是如果我们的观察区域远远大于衍射孔线度，即，那么上式又可进一步近似为这样我们对菲涅耳衍射公式的进一步近似称远场近似，得到的衍射公式称为夫琅和费衍射公式，这一积分公式相对菲涅耳衍射公式在数学上又简单了一些。对应的衍射区域称

4、夫琅和费衍射区。容易看出，满足夫琅和费衍射的条件是即这是一个很强的条件，比如当=600nm，孔径为直径2mm时，要观察夫琅和费衍射，观察位置必须在远远大于1666mm的地方。实际中，往往用，即来确定出现夫琅和费衍射的位置。§4-2 几种典型的夫琅和费衍射在无限远处观察的衍射是严格的夫琅和费衍射，用一正透镜在后焦面上观察的衍射就是这种情况。夫琅和费衍射在分析光学仪器的极限分辨本领时有着重要的意义。夫琅和费衍射计算较为简单，同时它与傅立叶变换有着直接的联系，为此我们有必要进行专门的讨论。我们已经得到夫琅和费衍射公式是如果令，并根据傅立叶变换的定义，则所以观察屏上的光强分布可以看出，观察屏

5、上的衍射花样形状主要由决定。下面利用分析几种典型的夫琅和费衍射。一、 矩孔的夫琅和费衍射设矩孔的边长分别为Lx，Ly，在单位振幅的平行光垂直照明的情况下，衍射屏后表面的复振幅与屏的透过率函数是相等的，即而所以观察屏上的复振幅为观察屏上的光强分布为二、 圆孔的夫琅和费衍射对于圆孔，采用极坐标系。单位振幅的平行光垂直照明的情况下观察屏处的复振幅分布其图形如下观察屏处的强度分布其图形如下可以看出，中央有一强度远远高于其它条纹的亮斑（这一亮斑叫爱里斑），中央亮斑的半径，而D就是光学仪器的相对孔径，D越大，亮斑的半径越小，也就是由于衍射产生的象模糊越小，光学仪器的分辨本领越高。三、 正弦型振幅光栅的夫琅

6、和费衍射l×l正方形正弦型振幅光栅的复振幅透过率为方孔内沿x1方向按正弦规律变化，对同一x1值，透过率不因y1变化而变化，光栅的空间频率为f0，m是小于1的正数。正弦型振幅光栅的透过率示意如图。则夫琅和费衍射的复振幅分布为而所以观察面上的复振幅观察面上的光强度分布图形如下注意分析交叉项，使最大的点在，使最大的点在，两者相距。由下图可以看出，随着，（兰线）越来越小，所以可以忽略。 所以其图形为可以看出近似后与近似前几乎没有差别。当m不同时，两侧的尖峰幅度发生改变，m越大，两侧的峰越高。如下图。m=0.5m=1当f0改变时，侧峰与中央主峰的距离发生改变。f0越大，距离越大，见图。在x轴上

7、I(x,0)的分布和光强分布如下可以看出，正弦振幅型光栅的衍射只有三级衍射分量。作为分光元件，只有±1分量起作用。由于一级极大的位置在处，其相应的色散。若是按照瑞利判据（一条谱线的极大值与另一条谱线的第一个极小值重合，两条谱线恰好能分辨）能分辨的两个波长差，则因为，而峰值谱线的底半宽又应满足，所以，所以光栅的分辨本领，M是光栅的总条数。四、 正弦型位相光栅的夫琅和费衍射正弦型位相光栅的复振幅透过率函数为用单位振幅平面波照明，则所以忽略交叉项，得其图形如下由于零级条纹色散为零，无分光作用，如果适当选取m，使J0(m/2)=0，则零级条纹消失，零级条纹的能量转移到其它有色散的条纹上，这样

8、色散条纹就更明亮。§4-3 菲涅耳衍射1、 菲涅耳衍射公式的两种形式（1） 卷积形式是点扩展函数。（2） 傅立叶变换形式2、 传递函数我们对卷积形式的衍射公式两边取傅立叶变换，则而在P86已经得到如果略去高次项，则所以这就是在频域中的近似菲涅耳衍射近似公式。3、 汇聚球面波照明衍射屏坐标系如图所示，会聚球面波的中心(X,Y)在观察屏上。会聚球面波照明衍射屏，复振幅透过率t(x1，y1)。在近轴近似下，在衍射屏前表面的复振幅为衍射屏后的复振幅可以写为所以观察屏上的复振幅为而以平面波照射透过率为t(x1，y1)的衍射屏，在观察屏上的夫琅和费衍射的复振幅分布是可以看出，对于中心在观察面上的

9、会聚球面波，其菲涅耳衍射花样与平面波垂直照射的夫琅和费衍射花样是一样的，只不过中心偏移到球面波中心。如果会聚球面波的中心在观察屏的原点处，则与夫琅和费衍射完全一样。对其它形式的照明，数学上计算将十分复杂。实际中往往用菲涅耳波带法或考纽曲线法解决菲涅耳衍射问题。本章习题解答（P119）2.单位平面波垂直照射双矩孔解：上孔中心（0，/2），下孔中心（0，-/2）；所以双孔的透过率函数为根据夫琅和费衍射公式所以其光强分布图为在x轴和y轴上的光强分布为 3.单位振幅平面波照射正方形环孔解：透过率函数根据夫琅和费衍射公式所以其光强空间分布为7.解：（1）根据所以所以，。可以看出，随着z的变化，圆孔菲涅耳衍射图样中心有亮暗变化。（2）. 所以 。可以看出，随着z的变化，菲涅耳衍射图样中心也有亮暗变化。8.解：单位振幅平面波垂直入射，则观察面上菲涅耳衍射的复振幅为所以当为实数，即，（n=1,2,3）时，位