2016考研数学一二三真题及答案解析

1、2016考研数学（一）真题及答案解析 考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）设是数列下列命题中不正确的是（ ）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则【答案】（D）（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出。故选A。（3）若级数在处

2、条件收敛，则与依次为幂级数的（ ）（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点【答案】（A）【解析】因为级数在处条件收敛，所以，有幂级数的性质，的收敛半径也为，即，收敛区间为，则收敛域为，进而与依次为幂级数的收敛点，收敛点，故选A。（4）下列级数发散的是（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】（A），存在，则收敛。(B)收敛，所以（B）收敛。（C），因为分别是收敛和发散，所以发散，故选（C)。（D)，所以收敛。（5）设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【解析】有无穷多解，即，从而当时

3、， 从而时有无穷多解当时，从而时有无穷多解所以选D.（6）二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，在正交变换下的标准型为（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【解析】由已知得，从而，其中，均为初等矩阵，所以选A。（7）若为任意两个随机事件，则（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】排除法。若，则，而未必为0，故，故错。若，则，故错。（8）设总体为来自该总的简单随机样本，为样本均值，则（A）（B）（C）（D）【答案】（B）【解析】二、填空题(914小题，每小题4分，共24分请将答案写在答题纸指定位置上)（9）_.【答案】【解析】 (10) _.【答案】【解析】 (11) 若函数有方程

4、确定，则_.【答案】【解析】对两边分别关于求偏导，并将这个代入，得到，所以。（12）设 是由 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 【答案】 【解析】由对称性，其中 为平面 截空间区域 所得的截面其面积为 所以：(13) 阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得（14）设二维随机变量服从正态分布则【答案】.【解析】由故独立。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）设函数若与在时为等价无穷小，求的值。【解析】由题意，（16）计算二重积分，其中。【解析】，其中，则。（17）已知函数曲线 求 在曲线 上的最大方向导数【解析】因为沿

5、着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模 模为此题目转化为对函数 在约束条件 下的最大值，即为条件极值问题。本问题可以转化为对 在约束条件 下的最大值，构造函数故最大值为3.（18）设函数在定义域上的导数大于0，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式。【解析】解得：分离变量可得：因为 所以 综上 19、已知曲线的方程为，起点为，终点为计算曲线积分【解析】由题意假设参数方程（20）向量组 是 的一个基， （）证明为 的一个基；（）当k为何值时，存在非零向量 在基与基下的坐标相同，并求所有的.【解析】（）证明： 是 的一个基线性无关，即又=3线性无关，为

6、 的一个基（）由已知设有非零解，所以从而（21）设矩阵相似于矩阵。（1） 求的值。（2） 求可逆矩阵，使为对角矩阵。【解析】（1）由（2） 由（1）得，其中特征值，当时，解方程的基础解系为；当时，解方程的基础解系为，从而，因为线性无关，所以令可逆，即，使得。（22） 设随机变量的概率密度为，对进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现为止，记的观测次数。（1） 求的概率分布。（2） 求。【解析】（1），所以的概率分布为（2）令，（23） 设总体的概率密度为，其中为未知参数，为随机样本。（1） 求的矩阵估计量；（2）求的最大似然估计量。【解析】（1）。（2）设为观测值，则，取。2016年考

7、研数学二真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知所以的可能取值范围是，应该选（B）2下列曲线有渐近线的是（A） （B）（C） （D）【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线应该选（C）3设函数具有二阶导数，则在上（ ）（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然就是联接两点的直线方程故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（D）【详解2】如果

8、对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）4曲线 上对应于的点处的曲率半径是（ ）（）（）(）（）【详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径本题中，所以，对应于的点处，所以，曲率半径应该选（C）5设函数，若，则（ ）（）（）（）（）【详解】注意（1），（2）由于所以可知，6设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）的最小值点在区域D的内部，最大

9、值点在区域D的边界上【详解】 在平面有界闭区域D上连续，所以在D内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上所以应该选（A）7行列式等于（A） （B）（C） （D）【详解】应该选（B）8设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（

10、A）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【详解】10设为周期为4的可导奇函数，且，则 【详解】当时，由可知，即；为周期为4奇函数，故11设是由方程确定的函数，则 【详解】设，当时，所以12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，则在点处的切线方程为，即13一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 【详解】质心坐标14设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是 【详解】由配方法可知由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是三、解答题15（本题满分10分）求极限【分析】先用等价无穷小代

11、换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解】16（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值【详解】解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得，即 令，得，且可知；当时，可解得，函数取得极大值；当时，可解得，函数取得极小值17（本题满分10分）设平面区域计算【详解】由对称性可得18（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式【详解】设，则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：其中为任意常数对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程通解为将初始条件代入，可得所以的表达式为

12、19（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（1） ；（2） 【详解】（1）证明：因为，所以即（2）令，则可知，且，因为且单调增加，所以从而， 也是在单调增加，则，即得到20（本题满分11分）设函数，定义函数列，设是曲线，直线所围图形的面积求极限【详解】，利用数学归纳法可得，21（本题满分11分）已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积【详解】由于函数满足，所以，其中为待定的连续函数又因为，从而可知，得到令，可得且当时，曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为22（本题满分11分）设，E为三阶单位矩阵（1） 求方程组的一个基础解系；（2） 求满足的所有

13、矩阵【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：，得到方程组同解方程组得到的一个基础解系（2）显然B矩阵是一个矩阵，设对矩阵进行进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵B对应的三列分别为，即满足的所有矩阵为其中为任意常数23（本题满分11分）证明阶矩阵与相似【详解】证明：设 ，分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：，所以A的个特征值为；而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化且；所以B的个特征值也为；对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且从而可知阶矩阵与相似2016年考研数学（三）真题一

14、、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =_，b =_.(2) 设函数f (u , v)由关系式f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ¹ 0，则.(3) 设，则.(4) 二次型的秩为 .(5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则_.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.

15、(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 设f (x)在(-¥ , +¥)内有定义，且， ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. (9) 设f (x) = |x(1 - x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

16、(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. (10) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). (11) 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点，使得> f (a).(B) 至少存在一点，使得> f (b).(C) 至少存在一点，使得.

17、(D) 至少存在一点，使得= 0. D (12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . (13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. (14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求.

18、(16) (本题满分8分)求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x Î a , b)，.证明：.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P Î (0 , 20)，Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性(> 0)；(II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20)(本题满分1

19、3分) 设, , , , 试讨论当为何值时, () 不能由线性表示;() 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; () 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设阶矩阵 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分) 设，为两个随机事件,且, , , 令 求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. (23) (本题满分13分) 设随机变量的分布函数为 其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,() 当时, 求未知参数的矩估计量;() 当时, 求未知参数的最大似然估计量; () 当

20、时, 求未知参数的最大似然估计量. 2016年考研数学（三）真题解析一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =，b =.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a = 1. 极限化为，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【评注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) ® 0，则f (x) ® 0；(2) 若f (x) ® 0，且A ¹ 0，则g(x) ® 0.(2) 设函数f (u , v)由关系式f xg(y) , y = x + g(y)确定，其中函数

21、g(y)可微，且g(y) ¹ 0，则.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =，所以，.(3) 设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t，.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为于是二次型的矩阵

22、为 ,由初等变换得 ,从而 , 即二次型的秩为2. 【详解二】因为, 其中 .所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则 .【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于, 的分布函数为故.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和 分别是来自总体和的简单随机样本, 则 .【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 , ,故应填 .【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项

23、符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x ¹ 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a ,

24、 b)内有界. (8) 设f (x)在(-¥ , +¥)内有定义，且，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点.(B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为= a(令)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，即g(x)在点x = 0处连续，当a ¹ 0时，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【

25、评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x) = |x(1 - x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. C 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二

26、阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < d < 1，当x Î (-d , 0) È (0 , d)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x Î (-d , 0)时，f (x) = -x(1 - x)，当x Î (0 , d)时，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1)

27、 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n ® ¥)，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，都发散，而收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (1

28、1) 设在a , b上连续，且，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点，使得> f (a).(B) 至少存在一点，使得> f (b).(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得= 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知在a , b上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；另外，由极限的保号性，至少存在一点使得，即. 同理，至少存在一点使得. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当

29、时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . D 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又 与等价, 故, 即, 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=, 而且根据已知条件

30、于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得. 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15

31、) (本题满分8分)求.【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】=.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分)求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令，由对称性，.所以，.【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x Î

32、; a , b)，.证明：.【分析】令F(x) = f (x) - g(x)，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F(x) = f (x) - g(x)，由题设G(x) ³ 0，x Î a , b，G(a) = G(b) = 0，.从而 ，由于 G(x) ³ 0，x Î a , b，故有，即 .因此 .【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P Î (0 , 20)，Q为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性(> 0

33、)；(II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于> 0，所以；由Q = PQ及可推导.【详解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.当10 < P < 20时，> 1，于是，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当> 0时，需求量对价格的弹性公式为.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： ，(收益对价格的弹性).(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式

34、.【分析】对S(x)进行求导，可得到S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.【详解】(I) ，易见 S(0) = 0，.因此S(x)是初值问题的解.(II) 方程的通解为 ，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函数.【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分) 设, , , , 试讨论当为何值时, () 不能由线性表示;() 可由唯一地线性表示, 并求出表示式; () 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将可否由线性表示的问题转化为线性方程组是否有解的问题即易求解.【详解】 设有数使得 . (*)记. 对矩阵施以初等行变换, 有.() 当时, 有 .可知.故方程组(*)无解, 不能由线性表示.() 当, 且时, 有, 方程组(*)有唯一解： ,