轴对称变换--线段之和最小的变式训练

1、尊敬的各位评委,老师大家好,我是牡丹江市第九中学数学教师于雪松,今天我说变式的题目是轴 对称变换-线段之和最小的变式训练由于在初三总复习的教学中经常会遇到求线段之和最小问题,而学 生碰到此类问题时又往往感到束手无策,为了能行之有效地解决此类问题,我设置了本堂变式训练习题课. 原题:(人教版八年级数学上册,131页探究如图:要在燃气管道L 上修建一个泵站,分别向A 、B 两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?你可以在L 上找几个点试一试,能发现什么规律吗?L BA由于该题的解法是解决这类问题的通法,因此此题解法中蕴含的规律至关重要,即利用轴对称变换将两个定点中任意一点作关于直

2、线L 的对称点,再将此对称点与另外一个定点连接最终得出泵站的位置,可以简化为“两点一线问题”,为了突出重点,方便记忆我以口诀形式表述为:欲求线段和最小,先把对称轴来找, 由轴再找对称点, 两点一连问题简。教师在教学中重点强调:1.动点所在的直线即为对称轴2.找对称点要根据实际情况看哪个定点的对称点好找找哪个.为了巩固所学知识,我设置了如下几道变式题.变式1:如图,在矩形ABCD 中,M 、N 为AD 、BC 边中点,P 为MN 上一个动点,则当P 点在_位置时PC+PD 的值最小. 由于矩形本身具有轴对称性,且对称轴就是MN 所在的直线,因此很容易找到点C 或点D 的对称 点,再将对称点与另外

3、一个定点相连与对称轴相交问题即可解决.变式2:如图,梯形ABCD 中,M 、N 为两底中点,AC=BD=6,P 为直线MN 上一个动点,则PC+PD 的最小值是_. B由于等腰梯形也是轴对称图形,且对称轴与对称点都容易找到,因此解法与上题相同.变式3.:在正方形ABCD 中,点E 是BC 上的一定点,且BE=5,EC=7. 点P 是BD 上的一动点,则PE+PC 最小值是_. 由于正方形也是轴对称图形,虽然对称轴容易找,但两个定点中显然点C的对称点更好找,再根据勾股定理得以解决.变式4:如图,菱形ABCD中,AB=2,点E是AB的中点,BAD=60°,点P是对角线AC上的一个动点,则

4、PE+PB的最小值是 _.此题解法与上一题相同,但要利用等边三角形三线合一及三角函数知识加以解决,题的背景虽然换了,但基本规律不变.通过以上四道变式题学生基本掌握了解题方法,为了更进一步巩固所学知识,我又设置了以下几道变式题.变式5:如图,AB,CD是半径为5的O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,ABMN于点E, CDMN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为_ 根据圆的轴对称性及垂径定理等相关知识,此题很容易得到解决.以上几道变式由于图形本身具有轴对称性,对称点容易找到.为了拓宽学生的知识面,我又设置了下面几道变式题.变式6:已知O的半径为1,C是半圆的三等分点,D是B

5、C弧中点,动点P在AB 上,求PC+PD的最小值.B此题的对称轴好找,但对称点难找,经过学生的探究及教师的点播,学生能够将半圆恢复为整圆,再借助圆的相关知识问题便迎刃而解.此题的综合性较强,凸显了合作交流的实效性.接下来,为了在平面直角坐标系中展示求线段之和最小的相关知识,我又选择了以下几道变式题.变式7:如图,点A(0,2,点B(6,6,C是X轴上一动点,若使AC+BC 最小,则点C坐标是_.此题解法同上,再利用待定系数法求出BA直线的解析式,进而求出点C的坐标.为了进一步拓宽学生的知识面,我设置了下面一道变式题.变式8:在直角坐标系中,已知两点A(-8,3,B(-4,5以及动点C(0,n,

6、D(m,0,则当四边形ABCD的周长最小时,比值m:n为_. 此题虽有两定点两动点,但不难发现有两条对称轴,可将点A,点B分别作x轴y轴的对称点,再利用口诀加以解决.最后我们再看这样一道变式.变式9:如图,在锐角ABC中,AB=4,BAC=45°,BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB 上的动点,则BM+MN的最小值是_. 此题只有一个定点,却有两个动点似乎不符合上面说的规律,但可以利用点到直线的距离垂线段最短及角平分线性质定理,再利用轴对称变换将MN转化为与BM在同一条线段上最后根据45°特殊角的直角三角形加以解决.由于此题综合性较强,探究过程较复杂,需要教师适当点拨,才能得出结果.但无论试题背景如何变化,其基本规律不变,通过以上习题变式训练,学生对如何求线段之和