2014全国新课标卷Ⅰ理科数学精准解析

1、 2014高考真题·全国新课标卷(理科数学)12014高考真题·新课标全国卷 已知集合Ax|x22x30，Bx|2x<2，则AB() A2，1 B1，2)B1，1 D1，2)1A解析 集合A(，13，)，所以AB2，122014高考真题·新课标全国卷 ()A1i B1iC1i D1i2D解析 1i.32014高考真题·新课标全国卷 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数3

2、C解析 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.42014高考真题·新课标全国卷 已知F为双曲线C：x2my23m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3C.m D3m4A解析 双曲线的一条渐近线的方程为xy0.根据双曲线方程得a23m，b23，所以c，双曲线的右焦点坐标为(，0)故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.52014高考真题·新课标全国卷 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. B.C. D.5D解析 每位同学有2种选法，基本

3、事件的总数为2416，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1.图116、2014高考真题·新课标全国卷 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，上的图像大致为() A B C D6C解析 根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，OPM的面积为|sin xcos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)|sin xcos x|sin 2x|，且当

4、x时上述关系也成立， 故函数f(x)的图像为选项C中的图像72014高考真题·新课标全国卷 执行如图12所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M()图12A. B. C. D.7D解析 逐次计算，依次可得：M，a2，b，n2；M，a，b，n3；M，a，b，n4.此时输出M，故输出的是.82014高考真题·新课标全国卷 设，且tan ，则()A3 B3C2 D28C解析 tan tan，因为，所以，又且tan tan，所以，即2.9、2014高考真题·新课标全国卷 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2，p2：(x，

5、y)D，x2y2，p3：(x，y)D，x2y3，p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()Ap2，p3 Bp1，p2Cp1，p4 Dp1，p39B解析 不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数zx2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，1)处取得最小值，且zmin220，即x2y的取值范围是0，)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假102014高考真题·新课标全国卷 已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A. B3C. D210B解析 由题知F(2，0)，设P(2，t)，Q(x0，

6、y0)，则FP(4，t)，(x02，y0)，由FP4FQ，得44(x02)，解得x01，根据抛物线定义得|QF|x023.112014高考真题·新课标全国卷 已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)11C解析 当a0时，f(x)3x21，存在两个零点，不符合题意，故a0.由f(x)3ax26x0，得x0或x.若a<0，则函数f(x)的极大值点为x0，且f(x)极大值f(0)1，极小值点为x，且f(x)极小值f，此时只需>0，即可解得a<2；若a>0，则f(x

7、)极大值f(0)1>0，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意综上可知，实数a的取值范围为(，2)122014高考真题·新课标全国卷 如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()图13A6 B6 C4 D412B解析 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥ECC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E6.132014高考真题·新课标全国卷 (xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)1320解析 (xy)8的展开式中xy7的系数为C8，x2y6的系数为

8、C28，故(xy)(xy)8的展开式中x2y8的系数为82820.142014高考真题·新课标全国卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_14A解析 由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市152014高考真题·新课标全国卷 已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_1590°解析 由题易知点O

9、为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.162014高考真题·新课标全国卷 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)·(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_16.解析 根据正弦定理和a2可得(ab)(ab)(cb)c，故得b2c2a2bc，根据余弦定理得cos A，所以A.根据b2c2a2bc及基本不等式得bc2bca2，即bc4，所以ABC面积的最大值为×4×.17、2014高考真题·新课标全国卷 已知数列an的前n项

10、和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an.(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由17解：(1)证明：由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1.因为an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得 a21，由(1)知，a31.若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列18、2014高考真题

11、83;新课标全国卷 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图14所示的频率分布直方图：图14(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.附：12.2.若ZN(，

12、2)，则p(<Z<)0.682 6，p(2<Z<2)0.954 4.18解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为170×0.02180×0.09190×0.22200×0.33210×0.24220×0.08230×0.02200.s2(30)2×0.02(20)2×0.09(10)2×0.220×0.33102×0.24202×0.08302×0.02150.(2)(i)由(1)知，ZN(200，150)，从

13、而P(187.8<Z<212.2)P(20012.2<Z<20012.2)0.682 6.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以EX100×0.682 668.26.19G5、G112014高考真题·新课标全国卷 如图15，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.图15(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160°，ABBC，求二面角A A1B1 C1的余弦值19解：(1)证明：连接BC1，交B1C于

14、点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOA BOC.故OAOB，从而OA，OB，OB1两两垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160°，所以CBB1为等边三角形，又ABBC，则A，B(1，0，0)，B1，C.，AB，1BC.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n(1，)

15、设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以结合图形知二面角A A1B1 C1的余弦值为.20、2014高考真题·新课标全国卷 已知点A(0，2)，椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程20解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216k

16、x120，当16(4k23)>0，即k2>时，x1，2，从而|PQ|x1x2|.又点O到直线l的距离d.所以OPQ的面积SOPQd·|PQ|.设t，则t>0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k±时等号成立，满足>0，所以，当OPQ的面积最大时，k±，l的方程为yx2或yx2.21、2014高考真题·新课标全国卷 设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.21解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1

17、ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e，故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)>1等价于xln x>xex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x，所以当x时，g(x)<0；当x时，g(x)>0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0，1)时，h(x)>0；当x(1，)时，h(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而h(x)在(0，)上的最大值为h(1).因为gmin(x)gh(1)hm

18、ax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.222014高考真题·新课标全国卷 选修41：几何证明选讲如图16，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.图16(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形22证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD，所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形232014高考真题·新课标全国卷 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值23解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(