第十节函数极值与最大、最小值

1、第十节第十节 函数的极值与最大、最小值函数的极值与最大、最小值一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法二、最大与最小值问题二、最大与最小值问题一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义函数极值的定义设设 f(x) 在区间在区间 (a,b) 内有定义内有定义 , x0 (a,b) , 若存在若存在 ，使得使得对任意的对任意的 x U(x0, ) (a,b) 且且 x x0 , 有有(1) f (x) f (x0) , 则称则称 f (x0) 是是 f (x) 的一个的一个极小值极小值 ,称点称点 x0 为为 f (x)的一个的一个极小值点极小值点. 函数的极大值与极小值

2、统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,极大极大值值点与极小点与极小值值点统称为点统称为极值点极值点. .31292)(23 xxxxf例如例如12xoy12x =1 为极大值点为极大值点 , f (1)=2是极大值是极大值; x =2 为极小值点为极小值点 , f (2)=2是极小值是极小值. 例如例如32)(xxf yxo32xy x =0为极小值点为极小值点 , f (0)=0是极小值是极小值. 注意注意: :2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或不存在的点或不存在的点. .1) 函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质. .oxya

3、b)(xfy 1x2x3x4x5x6x x1 , x4 , x6 为极小值点为极小值点, , x2 , x5 为极大值点为极大值点, , x3 不是极值点不是极值点. .2.函数极值的求法函数极值的求法1) 极值的极值的必要条件必要条件 例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x函数的驻点及不可导点称为函数的驻点及不可导点称为可疑极值点可疑极值点.函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.设设 f(x) 在在 x0 点点可导可导, 且且 f(x0) 为为极值极值, 则则 f (x0)=0.函数导数为函数导数为0的点称为驻点的点称为驻点.驻点未

4、必是极值点驻点未必是极值点.2) 定理定理 1 ( (极值第一充分条件极值第一充分条件) )1) 若若 x (x0 , x0), f (x) 0; x (x0, x0+ ), f (x) 0, 则则 f (x0)为为 f (x)的极大值的极大值. 设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 处连续处连续, 在点在点 x0 的某去心的某去心邻域邻域 (x0, ) 内可导内可导 ,oU2) 若若 x (x0 , x0), f (x) 0, 则则 f (x0)为为 f (x)的极小值的极小值.oU若若x (x0, ), f (x)的符号保持不变的符号保持不变, 则则 f(x0) 不是不是 极值极值.

5、xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x (不是极值点情形不是极值点情形)求函数极值的步骤求函数极值的步骤: step1 求出函数的所有驻点及不可导点求出函数的所有驻点及不可导点; step3 求出极值求出极值. step2 检查检查 f (x) 在这些点左右的符号在这些点左右的符号, 判断其是判断其是否为极值点否为极值点;例例1 1.)1()(32的的极极值值求求函函数数xxxf 解解, ),( fD313232)1()( xxxxf,0)( xf令令,521 x得得x)0 ,( ),(52 ), 0(52052)(xf )(xf 0极大值极大值极小值极

6、小值032)(5253 ,35352xx .,0导数不存在导数不存在时时当当 x不存在不存在0 x是极大值点是极大值点, 其极大值为其极大值为;0)0( f是极小值点是极小值点, 其极小值为其极小值为52 x.5253)52(32 f3) 定理定理 2 ( (极值第二充分条件极值第二充分条件) )（待证）（待证）1) 若若 f (x0) 0, 则则 f (x0) 为为 f (x) 的极小值的极小值.若若 f (x0)=0, 则则 f(x0) 可能是也可能不是极值可能是也可能不是极值.例如例如: :,)()13xxf 但但 x = 0不不为极值点为极值点. ,)()24xxf x = 0为极小值

7、点为极小值点. f (0)= f (0)= 0, f (0)= f (0)= 0, 1) 若若 f (x0) 0, 则则 f (x0)为为 f (x)的极大值的极大值.证证000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx , 0 ,)()( ),(),(0000异号与时，当由极限保号性质，xxxfxfxUxxUoo,00时当xxx)()(0 xfxf有,0 ,00时当xxx)()(0 xfxf有,0 .)(0处处取取得得极极大大值值在在点点 xxf例例2 2解解.20243)(23的的极极值值求求函函数数 xxxxf2463)(2 xxxf, 0)( xf令令. 2, 421 xx得得驻驻点点

8、, )2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )2(f, 018 4 x是极大值点是极大值点, 其极大值为其极大值为;60)4( f是极小值点是极小值点, 其极小值为其极小值为2 x.48)2( f例例3 3解解.2cos21cos)(的极值的极值求出函数求出函数xxxf xxxf2sinsin)( ,0)( xf令令.342,322, kxkxkx得得驻驻点点, )cos21(sinxx ,2cos2cos)(xxxf )( kf )( kf故故极极大大值值 )322( kf, 023 )322( kf故故极极小小值值.43 , 02)1(1 k.21)1( k )342

9、( kf, 023 )342( kf故故极极小小值值.43 例例3 3.)()(, )0(0)(,1)(3)(),()(0002的的极极小小值值是是证证明明若若且且满满足足定定义义在在设设xfxfxxfexfxxfxxfx 小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .驻点和不可导点统称为可疑极值点驻点和不可导点统称为可疑极值点函数的极值必在函数的极值必在可疑极值点可疑极值点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)二、最大值、最小值问

10、题二、最大值、最小值问题1.最值的求法最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在则则并且至多有有限个驻点并且至多有有限个驻点可导可导除个别点外处处除个别点外处处上连续上连续在在若函数若函数baxfbaxf若若 f(x) 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续, 则其最值只能在则其最值只能在极值极值点点或或端点端点处达到处达到 . .1.求求 ;)(xf 2.求求 的点和的点和 不存在的点不存在的点:0)( xf)(xf kxxx,21:,0)(,),(, ,)(求求最最值值的的步步骤骤的的点点是是有有限限个个且且内内除除个个别别点点外外可

11、可导导在在设设 xfbabaxf3.计算计算. )(),()(, )(, )(21bfafxfxfxfk及及4.比较上述值的大小比较上述值的大小,有有:.)(),(),(, )(max)(max1,bfafxfxfxfkbax .)(),(),(, )(min)(min1,bfafxfxfxfkbax 例例1 1 求求 f(x)= sin3x+cos3x 在在 上的最值上的最值. 43,4 解解xxxxxfsincos3cossin3)(22 )cos(sincossin3xxxx 得得令令,0)( xf, 01 x,22 x,43 x,1)0( f,1)2( f,22)4( f,0)4( f

12、,0)43( f,43,4上上在在 , 1)2()0( ff最大值为最大值为. 0)43()4( ff为为最最小小值值例例2 2.,1292)(254123上上的的最最大大值值与与最最小小值值在在求求函函数数 xxxxf例例3 3上的最大值与最小值在求函数4, 1 129-2)(23xxxxf说明说明: :, )()(2xfxg 令令由于由于 g (x) 与与 f (x) 最值点相同最值点相同 , 因此也可通过求因此也可通过求 g (x) 的的最值点来求最值点来求 f (x) 的的最值点最值点 . .最大值最大值, 最小值的特殊情形最小值的特殊情形:1) 当当 f(x) 在在a,b内只有内只有

13、一个一个极值可疑点时极值可疑点时,3) 对应用问题对应用问题 , 有时可根据有时可根据实际意义实际意义判别求出判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点的可疑点是否为最大值点或最小值点 .若在此点取极大若在此点取极大 值值 , 则也是最大则也是最大 值值 . (小小)(小小)2) 当当 f(x) 在在a,b上上单调单调时时, 最值必在端点处达到最值必在端点处达到.实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数; (2) 求最值求最值;值值或或最最小小即即为为所所求求的的最最大大点点，则则该该点点的的函函数数值值若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻)(例例4 4

14、 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每月每月180元时，公寓会全部租出去当租金每元时，公寓会全部租出去当租金每月增加月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费出去的房子每月需花费20元的整修维护费试元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxx

15、R570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 例例4 4大大所所围围成成的的三三角角形形面面积积最最及及的的切切线线与与使使曲曲线线在在该该点点处处上上求求一一点点曲曲边边在在边边三三角角形形围围成成一一个个曲曲及及抛抛物物线线由由直直线线80,8,022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线 PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 x

16、xB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(为为极极大大值值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s)16)(218(212000 xxxSABC 利用最值证明不等式利用最值证明不等式.23,2:13 xxx时时当当证证明明例例:证证明明,3)(3xxxf 设设,)1(3)(2xxf 则则,0)( xf由由1,121 xx得得驻驻点点,2)1( f,2)

17、1( f,2)2( f,2)2(f.2)(max,2)(min2,22,2 xfxfxx.2)(2 xf.23,23 xxx时时即即当当.11,1:2xexx 时时当当证证明明例例:证证明明,)1()(xexxf 设设xxexexf)1()( 则则由由,0 xxe,0为为唯唯一一驻驻点点得得 x,0)(,0 xfx时时当当,0)(,0 xfx时时当当,0)0(为为极极大大值值 f.即即为为最最大大值值,1)0()(,1 fxfx时时.11,1xexx 有有时时即即当当不等式证明方法小结：不等式证明方法小结：(1) 利用中值定理利用中值定理 ,(2) 利用单调性利用单调性 ,(3) 利用函数凸性

18、利用函数凸性 ,(4) 利用最值利用最值 .三、小结三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值. .驻点和不可导点统称为可疑极值点驻点和不可导点统称为可疑极值点函数的极值必在函数的极值必在可疑极值点可疑极值点取得取得.极值极值判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.利用最大、小值证明不等式利用最大、

19、小值证明不等式思考题思考题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.思考题解答思考题解答不正确不正确例例

20、 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于于是是0 x为为)(xf的的极极小小值值点点当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因而因而)(xf在在0 x的两侧都不单调的两侧都不单调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 例例._)(),0()()()(lim02000的的是是则则设设xfxaaxxxfxfxx (A) 极大值点极大值点. (B) 极小极小值值点点. .(C) 非非极极值值点点. .(B)一一、 填填空空题题：1 1、 极极值

21、值反反映映的的是是函函数数的的 _ _ _ _ _ _ _ _ _性性质质. .2 2、 若若函函数数)(xfy 在在0 xx 可可导导，则则它它在在点点0 x处处到到 得得极极值值的的必必要要条条件件中中为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 函函 数数32)1(2 xy的的 极极 值值 点点 为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；31)1(23 xy的的极极值值为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 已已知知函函数数 0, 10,)(3xxxxxfx当当_ x时时，为为极极_ y小小 值值 ； 当当时时_ x，为为极极_ y大大值值.

22、.练练 习习 题题二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 证明题：证明题：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值. . 2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)( xf， 则则0 x为为)(xf的的极极值值点点. .一一、1 1、局局部部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、( (1 1, ,2 2) ), ,无无； 4 4、1 ,

23、 0 ,)1( ,13eee; ;二二、1 1、极极大大值值 keky2422)24(, ,极极小小值值 ), 2, 1, 0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、极极大大值值eeey1)( ；3 3、极极小小值值1)0( y；4 4、极极小小值值0)0( y. .练习题答案练习题答案思考题思考题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f一、一、 填空题：填空题：1 1、最值可、最值可_处取得处取得. .2 2、函数、函数2332xxy ( (41 x) )的最大值为的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.3 3、 函数函数2100 xy 在在0,80,8上的最大值为上的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.4 4、 设有重量为设有重量为 5kg5kg 的物体，置于水平面上，受力的物体，置于水平面上，受力f的作用而开始