等价无穷小量替换定理的推广

1、学号2009311010107编号 2013110107 研究类型 理论研究 分类号 017说北翔范孚虜文理学院College of Arts and Scie nee of Hubei Normal Uni versity学士学位论文Bachelor ' s Thesis论文题目等价无穷小量替换定理的推广 作者姓名朱泽飞 指导教师张金娥 所在院系文理学院数学系 专业名称数学与应用数学 完成时间2013年5月10日湖北师范学院文理学院学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：等价无穷小量替换疋理的推广夕卜文题目:Ge neralizatio n of the Equivale nt In

2、fini tesimal Substituti on Theorem学生姓名朱泽飞学号2009311010107院系专业文理学院数学系班级0901学生承诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规疋 ，恪守学术规范， 本人毕业论文（设计）内谷除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽 窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况.如有违规行为，我愿承 担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守 学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内谷除特别注明和引用外， 均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪

3、造、篡改实验数 据的现象.指导教师（签名）：年月日目录1引言 . 12无穷小量以及等价无穷小量 . 23等价无穷小量替换定理 . 34等价无穷小量替换定理的推广 . 44.1 有限个函数积或商运算的等价无穷小量替换 44。2 在极限式中有加或减运算的等价无穷小量替换 54.3 乘方运算下的等价无穷小量替换 84.4 变上限定积分函数的等价无穷小量替换 125应用举例 . 146结束语 . 207参考文献 . 21等价无穷小量替换定理的推广朱泽飞(指导老师：张金娥) (湖北师范学院文理学院 中国黄石 435002) 摘要：等价无穷小量替换是计算极限的一种重要方法。在目前流行使用的许多版本的 数学

4、分析教材中，只给出了两个无穷小量积与商形式的等价无穷小量替换定理 . 然而该定理只适用于两个无穷小量积与商的形式 ,这对于其它形式例如 : 有限个 无穷小量积与商 ;两个以及有限个无穷小量之和与差 ;形如 00,1 , 0 的幂指函数 以及被积函数是无穷小量的变限积分 , 该定理就不适用了 . 本文把用等价无穷小 量替换定理求两个无穷小量积与商的极限形式进行了推广 ,从而扩大了该定理的 使用范围，使得应用更加灵活方便 .关键词：无穷小量；等价无穷小量 ; 极限；推广定理。分类号:017Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitu

5、tion TheoremZHU Zefei (Tutor: ZHANG Jine)(College of Arts Science of Hubei Normal University, Huangshi， 435002, China) Abstract: The equivalent infinitesimal substitution is an important method in calculating limit 。 At present, in many versions of the popular use of mathematical analysis textbook，

6、it only gives two infinitesimal product and quotient in the form of equivalent infinitesimal substitution theorem。 whereas the theorem only applies to the two infinitesimal product and quotient's form， which in regard to other forms , for example: a finite infinitesimal product and quotient; two

7、 and the finite infinitesimal sum and difference； like the exponential function of 00,1 , 0 。 besides, the integrand is infinitesimal variable-ranged integral, the theorem is not applicable. In this thesis, by using the equivalent infinitesimal substitution theorem for solving two infinitesimal prod

8、uct and quotients lim'it form of the generalization ， it expands the scope of application of the theorem, leading to more flexible and convenient application。 个人收集整理，勿做商业用途个人收集整理，勿做商业用途Key words： Infinitesimal； equivalent infinitesimal； limit; generalized theorem。等价无穷小量替换定理的推广朱泽飞（指导老师：张金娥）（湖北师范学

9、院文理学院中国黄石435002）1. 引言在数学分析中，求函数的极限是最基本的问题之一，也是数学分析学习的重点在这些求极限的问题中，最不好掌握的便是 型这类不定式的极限，一般见到这一类型的lim sin(tanx) 1x 0. tan(sinx)问题,最容易想到的便是洛比达法则。事实上，洛必达法则也不是万能的，一些问题可 能会越用越复杂，并且出现循环，求不出结果。例如一个求极限问题 它是一个0型的不定式极限用洛比达法则求解如下原式怖护巾伽叫遇（怡询込xm返邑川lim崖亘，出现 x 0 I2tan（sin x） 2sec2（sin x）cos x x 0 Jsin（tan x） 川 x。辰n（s

10、in x）了循环，此时用洛必达法则求不出结果。怎么办？用等价无穷小量来替换，原式xm0 Jsin x xm0渥 1，由此可见洛必达法则并不是万能的，也不一定是最佳的，X 0 .ta n X x 0、X它的使用也具有局限性。在这里我们看到了等价无穷小量有着无可比拟的作用，用等价无穷小量来替换能够很快地求出结果等价无穷小量替换是计算极限的一种重要方法，然而在目前流行使用的许多版本的数学分析教材中，一般只给出了两个无穷小量积和商的形式等价无穷小量替换定理，接着就强调：只有对所求的极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对 极限式中的相加或相减的部分则不能随意替换2.注意在这里，我们自然就

11、有一个疑问，不能随意替换是不是在有些情况下可以替换？那么在什么情况下可以替换呢？对于求不定式极限0°, 0,1形式的幕指函数各位置上的无穷小量情况，还有在求变上限积分中的 被积函数为无穷小量时的情形，求极限时能否用等价无穷小量来替换呢 ？在文献2中 并没有作详细的论述，这不得不说是一种遗憾本文所得到的结果是对等价无穷小量替换定理的进一步丰富与完善，也是对文献2中的等价无穷小量替换定理的改进和推广。在叙述本文的结果之前，首先要说明一下，本文的所有结论都是以X Xo的极限形式 为代表来叙述并证明的。事实上，本文的结论对于其它所有的极限过程(X Xo,Xo,)都成立,至于其它类型极限的定理

12、及其证明，只要相应地作些修改即可。2. 无穷小量以及等价无穷小量定义12设f在某lo(xo)内有定义.若lim f(x) 0 ,则称f为当x Xo时的无穷小量.0类似的定义当x x),xo,时的无穷小量。定义22设当x Xo时，f与g均为无穷小量，若lim f(x) 1，则称f与g是当x Xo g(x)x Xo时的等价无穷小量。记作f(x)g(x)(x Xo).不难看出等价无穷小量是等价关系，具有如下性质：性质1设函数f, g, h在Uo(xo)内有定义，且 f (x) g(x) (x X), g(x) h(x) (x Xo).(i) 反身性：f (x) f (x)(x Xo);(ii) 对称

13、性:若 f (x) g(x) (x X)，则 g(x) f (x) (x xo);(ii)传递性：若 f (x) g(x) (x xo), g(x) h(x) (x xo)，则 f (x) h(x) (x Xo).limlX xf (x) f (x) (x X).(ii)；lim 字 1x x g(x)lim以x xo f (x)limX f (x) g(x)limf (x)x x g(x)g(x) f(x)(x xo)。f(x) r g(x)(ii) lim lim 1x xo g(x) x xo h(x)f(x)f(x)g(x)f (x) g(x)limlimlimx xo h(x) x

14、xo h(x)g(x) x xo g(x) h(x)lim 便 lim 型 1x xo g(x) x X。h(x)f (x) h(x) (x xo)3. 等价无穷小量替换定理 定理12设函数f,g,h在U °(x°)内有定义,且有f(x)g(x)(x xo).(i) 若 lim f(x)h(x) A,则 lim g(x)h(x) A;x x)x xo(ii) 若 limB,则 limB.x xo f(x)x xog(x)注3。1定理1称为“等价无穷小量替换定理"(证明见参考文献2 ),说明了在 对所求极限式中相乘或相除的因式可用等价无穷小量来替换.注3。2应用等价

15、无穷小量替换，必须记住一些常用的等价无穷小量.当x o时，常见的等价无穷小量有：(1) x sin x tan x arcsin x arctanxln(1 x) ex 1;(2) 'f-x 1 x;n(3) ax 1 xlna(a 0且a 1);(1 x) 1 x( R);1 2(5) 1 cosx x ;21 2(6) sec x 1 x .2上面所列的等价无穷小量可用洛必达法则直接证明(证明从略).注3.3在利用等价无穷小量替换时，还要记住一些极限公式，如两个重要极限xin0sxx 1処(1 x)x e2和 Hrn xx15等。4. 等价无穷小量替换定理的推广4。1有限个函数积或

16、商运算的等价无穷小量替换定理2设函数£(x),gi (x),h(x)在U0(xo)内有定义，且有 fi (x) gi(x) (x Xo)(i1,2,111，n)。nn(i)若 ximii 1 fi(x)h(x)代则叫gi(x)h(x) A ；x x0 i Ix xo i I(ii)若 lim nh(x)B,则 lim nh(x)B .x xoi fi(x)x xoi g(x)i 1i 1证 (i)对n用数学归纳法证之. 当n 1时，由定理1可知，明题(i)成立； 假设当n k(k 1)时命题(i)成立，即“若k!叫 1fi(x)h(x)A ”成立,kA,则 xim.i 1gi(x)h

17、(x)x xd i 1则当n k 1时,只要能证明“若k 1limfi(x)h(x) A,则x x0 i 1k 1limx x i1 g (x)h(x)A”成立即可fi (x)h(x)gk 1(x)k 1而!叫i 1gi(x)h(x)xini gdx)g2(x)卅gdx)gk 1(x)h(x) 恻 g1(x)g2(x)|gk(x)h(x)gk 1(x)k代匚 1 gi(x)h(x)gk 1(x)klimx x i 1klimfi(x)h(x)gk1(x)糯k 1lim.X 冷i 1fi (x)h(x)gk 1(x)fk 1(X)k 1limx i 1fi(x)h(x) ximgk 1(x)xo

18、 fk 1(x)这就证明了当n kk 11 时，若 lim . fi (x)h(x)x x0 i 1k代则limx 冷igi(x)h(x) A是成立的。x xo i 1综上可知命题(i)成立.(ii)命题(ii)的证明与命题(i)的证明相仿,在此从略。注4。1。1定理2中的A,B均可以为有限实数，也可以为或。注4.1.2定理2显然是定理1的直接推广.说明了有限个函数积或商的极限若存在(或，)，则其中全部或部分无穷小量可用其等价无穷小量来替换注4.1.3定理2在使用上把定理1局限于两个无穷小量积或商的极限替换，扩大到任意有限个无穷小量积或商的极限情形，从而大大拓展了使用范围。4.2在极限式中有加

19、或减运算的等价无穷小量替换实际上，对极限式中的两个无穷小量相加的部分是可以使用等价无穷小量来替换的 只不过它有自身的一些限制，若要进行替换，必须满足如下定理3:定理 3 设函数 £(x), gi(x)在 UO(xo)内有定义,且 fj(x) gi(x) (x xo)(i 1,2).若 limc 1,则 t(x) f2(x)gdx) g2 (x) (x xo) ( c 可以是有限实数或)x x f2(x)证Jimc 11 x xo f2(x)当c为有限实数时lim f1(x) f2(x)x x°g1(x) g2(x)f,x）f2（x）叫 gx）1g2（x）f2(X)f2(X)

20、f1（x）f2(X)limx xo g（x）fjx）g2（x）f1(X)f2(X)f2(X)当c 时，即limdx x f2(x)从而lim上色 0x Xo f1(x)lim fi(X)f2(x)X 冷 gi(x) g2(x)1型|i fi(x)xin0 gi(x) g2(x) f2(x)fi(x)f2(x) fi(x)1 0i i 0i 当c时，证法同综上所述，定理3成立。注4.2。 i定理3说明了在求极限时,若某个因子是两个.无穷小量的和时，只要这 两个无穷小量满足定理3中的条件，则这个因子就可以用相应的等价无穷小量之和来替 换。注4。2.2 在定理3的条件中若ci ,则结论不真(求这类等

21、价无穷小量之和的运算问题，可以利用泰勒公式，亦可用洛必达法则结合其它方法来求解).由定理3可导出对极限式中的两个无穷小量相减的因子使用等价无穷小量替换的条 件，若要进行替换，必须满足如下推论i:推论 i 设函 fj(x),g(x)在 口认)内有定义,且有 fi(x) gi(x) (x xo)(i i,2)。 若lim主 c i,则fi(x) f2(x)gi(x) g2(x)(x xo) ( c可以是有限实数 或)。X x f2(X)推论i的证明与定理3的证明相仿，在此从略.注4。2.3 推论i说明了在求极限时，若某个因子是两个.无穷小量的差时,只要这 两个无穷小量满足推论i中的条件，则这个因子

22、就可以用相应的等价无穷小量之差来替 换。注4。2。4 在推论i的条件中若c i ,则结论不真(求这类等价无穷小量之差的 运算问题,可以利用泰勒公式，亦可用洛必达法则结合其它方法来求解)。推论 2 设函数 fi(x), gi(x)在 U°(Xo)内有定义，fi(x) gi (x) (x Xo) (i 1,2,川，n),mfj(x)且 lim c 1(m 1,2,|,n 1)(n 2), ( c可以是有限实数 或)，x x fj 1(x)nn则fi(x) gi(x) (x xo) (n 2)。i 1i 1证对n用数学归纳法证之.(i) 当n 2时,由定理3可知,结论成立；kk(ii) 假

23、设n k(k 2)时结论成立，即有fi(x)gi(x) (x xo)成立，i 1i 1那么当n k 1时，由 fk 1(x) gk 1(x) (x xo)lim f1(x)f2(x) I fk(x)1 可知x x°fk 1 (x)kkfk 1(x)fi(x) gk 1(x)gi(x)(x xo)i 1i 1k 1k 1即有fi(x) gi(x) (x Xo)i 1i 1所以当n k 1时,结论也成立.nn综上(i ) (ii)可知，对 n 2 都有fi(x) gi(x) (x xo)。i 1i 1注4。2。5 显然推论2是定理3的直接推广。在使用上把定理3中局限于两个无 穷小量和的极

24、限替换，扩大到任意有限个无穷小量和的极限替换情形，从而大大拓展了 适用范围注4.2。6 在推论2中当fi(x) (i 2,川,n)中的一部分无穷小量前面用减号相连接 时，此时可以把这一部分无穷小量改写为加上这个无穷小量的相反数，使得这部分无穷小量前面均用加号相连接，这时只要满足推论2的条件则仍然有 nnfi (x) gi(x) (x xd) (n 2)成立。i 1i 1注4。2.7 在推论2的条件中若c 1，则结论不真(求这类等价无穷小量的代. 数和的运算问题，可以利用泰勒公式，亦可用洛必达法则结合其它方法来求解)。4。3乘方运算下的等价无穷小量替换在利用等价无穷小量替换定理求函数极限的过程中

25、,常常会碰到一类不定式o0, 0,1极限的问题，对于这些幕指函数的情形现对其作进一步的探究。作为准备，先证引理1引理 17设函数 f, g 在|J0(x0)内有定义,且有 f (x) g(x) (x Xo), f(x) 0, g(x) 0,1 1 则 ln f(x) lng(x)(x x).证 lim ln f(x) lim ln g(x) x x0x x0limx X01ln f (x)limx X01ln g(x)lim x x01ln f (x)1ln g(x)lim 哑©x x01n f (x)limx X0In ln f (x)ln f (x)xmufrn 鵲 1 0 01

26、 11ln f (x)1ln g(x)(xX0).次证引理2引理2设函数f,g在U°(x。)内有定义，且有f(x)g(x)(x Xd),则ln(1 f (x) ln(1 g(x) (x Xo)。1证 由对数函数的连续性及重要极限Xm(1 X)，e可知limln(1 f(x)X 冷 f (x)1lim ln(1 f (x)f(X)X Xo1ln 帆(1 f(x)帀=ln e1从而有 ln(1 f(x)f(x)(x Xd)同理 ln(1 g(x)g(x)(x x)又 f(x) g(x) (x xo)由性质1的等价无穷小量的“传递性”和“对称性”可知有 ln(1 f (x) ln(1 g

27、(x) (x x).再证引理3引理3设函数f,g,h在U°(xo)内有定义，且有 f(x)g(x)(x xo).(i) 若 limh(x)f(x) A,则 lim h(x)g(x) A ；x xox xo(ii) 若 linn f(x)h(x) B,则 limQg(x)h(x) B.证(i) lim h(x)g(x)x xolim eg(x)lnh(x)x xoxlimiog(x)lnh(x)e olim f (x)lnh(x)x xo（由定理1）lim ef (x)lnh(x)x xolim h(x)f(x)x XoA(ii) lim g(x)h(x)x Xolim eh(x)ln

28、 g(x)X xoJi曳h(x)lng(x) ex xolim呼x xo1e ln g(x)lim< xoh(x)e ln f (x)（由引理1）pm h(x)ln f (x)ex xolim eh(x)lnf(x)x xlim f(x)h(x)x x0B注4。3。1引理3说明了对于幕指函数中的底数和指数中的无穷小量均可用其等 价无穷小量来替换由此来证明定理4设函数f,g,u,v在U°(xo)内有定义,且有f (x) g(x),u(x) v(x) (x Xo).(i)若 lim f(x)u(x) A,则 lim g(x)v(x) A (它是 00 型)；xxox xo若xm(乙

29、严,B，则xm(gi)V<x, B (它是0型)；1g(x)v(x) C (它是 1 型)1(ii)若 lim(1 f(x)u(x) C,则 lim(1x x0x x0证 (i)由引理3可知!吩(严Pm g(x)u(x)x x0lim f(x)u(x)x X。A(詡v(x)1lim ()u(x)(由引理 3)x X。g(x)1 u(x)l n_gTx) lim e g(x)xx01xlimu(x)l ng(V) ex xog(x)ximx u(x)(ln1 ln g(x) ex xox1u(x)1lng(x)limx xoelim ( ex xou(x)1 In f (x)u(x)ln

30、f (x)（由引理1）l爲怙肝x xolim ef7-)u(x)x xo f (x)Blim (丄)v(x)Bx xo g(x)1(ii) ximx(1 g(x)v(x)ln(1 g(x)lime v(x)x xolim ln(1 /g(x)x 沟 v(x)eex%W（由定理1和引理2）1xinx In(1 f(x)u(x)1lim eln(1 f(x)u(x)-Xolim(1x X。Cf(X)严1g(x)丽 c注4。32定理4说明了在求幕指函数不定式o0, 0的极限时，可以同时直接地对指数，底数中的无穷小量应用等价无穷小量来替换。1,当底为1 g(x),指数为沽时,注4.3。3对于求(1 0

31、)0 = (1 0)型不定式极限g(x)和v(x)可分别用其等价无穷小量来替换。注434 A,B,C均可以为有限实数，也可以为对于定理4中的命题Qii)为了计算上的方便,现证明一个重要的性质。性质 2 若 lim u(x) 0,lim (x).则 lim (1 u(x)v(x) ex叫u(x)v(x)x x0x x0X 冷证 7 lim u(x) 0x x0ln(1 u(x)u(x)(xXo)lim(1 u(x)v(x)x xolim eV(x)ln(1 u(x)x xolim v(x)ln(1 u(x) ex xolim u(x)v(x) ex xo4。4变上限定积分函数的等价无穷小量替换在

32、求解不定式极限时，常常会遇到一种含有变限积分函数的不定式极限，通常是-0型或一型，一般地用洛必达法则及变限积分的性质来去掉积分号 ，但是在用此方法求解比较复杂的函数时，因需多次求导，计算繁琐且易出错。事实上，对于此类型的求极限问 题,当满足一定的条件时，可以根据以下定理来求解定理 5 设 f (x) g(x) (xa),且f (x)与g(x)在a, x上连续,则有xxa f (t)dt ag(t)dt(x a).证 由“微积分学基本定理”和“洛必达法则"可知x叫器x从而 f (t)dtag(t)dt (xa).注4.4。1由定理5可得常用的变上限定积分的等价无穷小量有:xxc tan

33、 tdt c arctantdt 002x52xx0 时，0sintdt 。眦引ntdtX(et0 'xx1)dt o ln(1 t)dt °tdtx0(1cost)dt Tt2dt0 23x；6x0(1xt) 1dt 0 tdtR)；X nx t01)dt0加2x。2n注4。4。2利用定理5在求解有关变上限的定积分时，若被积函数满足此定理的 条件,则被积函数可用它的等价无穷小量来替换 ，替换后可使问题转化为简单易求的极 限形式.当变上限的定积分中的上限由自变量 x变为函数u(x)时，被积函数能否再用其等价无穷小量替换来求解极限呢？事实上，当满足一定的条件时答案是肯定的定理6

34、 设f,g为连续函数，u为可导函数，且可行复合 町u与g|)u.若u(x)u(x)f (x) g(x)(xa).a), lim u(x)a,则f (t)dt g(t)dt(xx aaa证 由“微积分学基本定理”，“洛必达法则”和“复合函数的极限运算法则”可得f(t)dt)g(t)dt)limu(x) au(x)au(x)ma HXf(t)dt g(t)dtlim f (u(x)u(x) u(x) a g(u(x)u(x)所以有u(x)u(x)f(t)dtg(t)dt (xa).15. 应用举例x(1 cosx)arcta nx例1求lim x 2 x 0(i e )(sin x )ln(1 s

35、inx)解由定理1的注3.2可知1 2当 x 0 时，1 cosx x ；2arctanx x;x1 e x;. 2 2sin x x ;ln(1 sin x) sin x x.由定理2可得x 22 x原式厂x x x2例 2 求 IimSinX sin(sin x)sin xx 0ta n4x解原式 I叫sinx sin(sinx)sin x (由定理 1)sin x sin (sin x)limx 0sin4x3 sin xUm'sint人丄 （令tt3sin x)Um1cost3t2lim葺t 0 3t2arcsin2 x) 6(3 2 cosx 1)arcta n(x2)(2)

36、 Hm xsin ln(1sinln(1)x解(1) ；当 x0 时,arctan(x2)x2;2 2 2ln(1 arcs in x)arcs in x x ；6(32 cosx 1) 6(1(1 cosx)1)6cosx 2 x .1/(.n33/V6arcsin x)cosx 1)由定理3可知2 2原式x x x叫x22.(2)令 t1,则当xx时，t 0原式si nln(1 lim3t) sinln(1 t)t 0t而当 t 0 时，sinln(13t)In(1 3t) 3t ；sinln(1 t)ln(1 t)t.而 |imsinln(1 3t)t 0 sinln(1 t)由定理3的

37、推论1可知limsinln(1 3t) sinln(1 t)t3t tt原式 2。sinx sin 10xIIsinlOx解"lim sinxlim 1“ x 0 sin10xx 0 10x10例4求xmsinx sin2x1sin xsin10 x10x (x0 )* 1sin xx1又 limlim- 1* x0 sin2xx 0 2x2sinx sin2xx 2x limlim11x 0sin3xx 03xlimx 0sinx sin2xsin9xxin3sin 10xx 2x10x9xsin2x 卅 sin9x sin 10x 由定理3的推论2可知：sin xx 2x10x(

38、x0 )原式x 10xlim rnx 0 x 2x 10x例 5 求(1)Xmo (arcsinx arctanx)tanx 2sinx1qtanx lim ()ex 0 arctan、x1(3)|叫(1 arcs in x)3x 1解（1）这是个o0型不定式极限,t当 x 0 时，arcsinx arctanxtanxsinxx arcs inxx而 limlim 11x 0 arctanx x 0 xlim 业Hm A 1x 0 2sin xx 0 2x 2lim xx 1 (由定理1的注3。3)x 0由定理3和定理4的命题(i )可知原式 lim (x x)x 2xx 0lim (2x)

39、3xx 0lim (23x) (xx)3x 0lim (23x) lim (xx)3x 0x 01(2) 它是0型不定式极限，由定理4的命题(ii)可知帆($(令t忑)lim (tt) 1t 0(3) 它是1型不定式极限，由定理4的命题(iii)可知1原式Hm0(1 X)33lim(l x)应X 0Xm0(l x)x3e3i例 6 求 lim(1 tanx)arcsin3xx 0 1 sinx11 sinx tanx sin x、arcsin3x解原式 lim ()arcsinxx 01 sinx11 sinx tanx sin x、arcsin3x lim ()arcsinxx 01 sin

40、 xxm0(1tanx sinx1 sinx)1arcsin3 x. 1 lim (1 sin x(1 cosx) )arcsin3x x 0(1 sin x)cos xxm0(11 32x1(1 sin x)cos x(由定理4的命题(iii)1x。xim02x(由性质2)x3(1 sin x)cosx注5。1在求解1型不定式极限时，运用定理4的命题(iii)并且结合性质2可减少计算量起到简化的作用但并不是所有的1型不定式极限都要化为(10)的形式,在使用中要综合分析，选择适当而简单的方法X2(o arctantdt)2xarcs intdt0xo ln(1 t)dt由定理5可知0时，有xa

41、rctantdt 0xarcsi ntdt0xln(10t)dt xtdt0原式x2)2x22ln(1求limxx2)(e Farcs in6 x1)(sec t0t(2t 1)dtsin x1)dt0时,X2 e 22x2；sec x 12 ；.6 6arcs in x x ； 2x 1 xln2 ； ln(1 x2)0;sin x 0 。满足定理6的条件，从而由定理6可得原o0n(1x)鳥dtx6sin xtln2 dt01 和 n(1x2)42x6(ln 2)sin2xX%(ln2)x88ln 2注 5。 2 上面的 8 个例题若改用洛必达法则来求解，因需多次求导 , 并且求导的过 程十

42、分繁琐 , 很难求出结果。再一次说明了洛必达法则并不是万能的，也不一定是最佳 的方法.使用本文中推广后的等价无穷小量替换定理则只需几步即可求出结果, 且不易出错. 只要充分的掌握好洛必达法则和等价无穷小量的性质，再把本文中的这些定理结 合起来, 会使这些原来十分复杂的求极限问题变得非常简单。6 结束语本文把文献 2 中只适用于求两个无穷小量积或商极限形式的等价无穷小量替换定 理推广到：有限个无穷小量积与商； 两个以及有限个无穷小量之和与差 ; 形如 00,1 , 0的 幂指函数以及被积函数是无穷小量的变限积分的极限形式中. 不仅扩大了该定理的适用范围，而且把该定理进行了丰富与完善，使得在应用上更加灵活方便。7参考文献1 魏晓娜，李曼生等价无穷小的应用研究J.数学教学研究，2010,29（10） : 5961。2 华东师范大学数学系。数学分析（上册 ） M 。第三版 . 北京: 高等教育出版社，2001:5657， 59， 6162。3 同济大学数学系 .高等数学（上册） M 。第六版。北京:高等教育出版社 ,2007:60