高中全程复习方略配套简单的三角恒等变换ppt课件

1、第六节 简单的三角恒等变换三年三年6 6考考 高考指数高考指数: :能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进展简单的恒等变换余弦和正切公式进展简单的恒等变换( (包括导出积化和差、和差包括导出积化和差、和差化积、半角公式化积、半角公式, ,但对这三组公式不要求记忆但对这三组公式不要求记忆).).1.1.利用公式变换利用公式变换, ,进展三角函数式的化简是高考调查的热点进展三角函数式的化简是高考调查的热点. .2.2.常与实践运用问题、函数等结合命题常与实践运用问题、函数等结合命题. .3.3.高考主要以解答

2、题的方式进展调查高考主要以解答题的方式进展调查. .1.1.半角公式半角公式cos2_cos2_ 22 以 代, 以代coscos_ sin_cos_22tan_2212sin22cos1212sin222cos121 cos21cos21cos1cos【即时运用】【即时运用】(1)(1)思索：他能用思索：他能用sinsin、coscos表示表示 吗？吗？提示：提示：tan2sinsin2cossin222tan21 coscoscos2cos222，sinsin2sin1 cos222tan.2sincoscos2sin222(2)(2)判别以下公式及其变形能否正确判别以下公式及其变形能否正

3、确( (请在括号中填写请在括号中填写“或或“) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )【解析】根据公式可知根号下分子上应该是【解析】根据公式可知根号下分子上应该是“+“+，故错，故错; ;等号右边分子上应该是等号右边分子上应该是“-“-，故错；等号右边分子上应该，故错；等号右边分子上应该是是“-“-，可以化简验证，故错，可以化简验证，故错. .答案：答案： 1 coscos22 21cossin221costan2sin(3)(3)填空：填空：cos215cos215-sin215-sin215=_.=_.2sin2152sin215-1=_.-1=_.【解析】【解析】cos215

4、cos215-sin215-sin215=cos30=cos30= =2sin2152sin215-1=-cos30-1=-cos30= =答案：答案： 3;23.232322.2.形如形如asinx+bcosxasinx+bcosx的式子的化简的式子的化简asinx+bcosx=_sin(x+)asinx+bcosx=_sin(x+)( (其中其中 ) )2222basin,cosabab 22ab【即时运用】【即时运用】(1)(1)把以下三角函数式化成把以下三角函数式化成 的方式的方式sin+ =_;sin+ =_;sin+cos=_;sin+cos=_;5sin+12cos=_.5sin

5、+12cos=_.(2)(2)计算：计算： =_. =_.22ab sin(x)3coscos103sin101 cos80【解析】【解析】(1)(1)sin+cos=sin+cos=5sin+12cos= 5sin+12cos= ( (其中其中 ). ).(2)(2)原式原式2sin3cos1( 3) sin()2sin()33 2sin();422512 sin()13sin() 12tan5 2132( cos10sin10 )2sin40222.2sin402sin 40答案：答案：(1)(1)(2)(2)2sin()32sin()41213sin()(tan)5 其中2 三角函数式的

6、求值三角函数式的求值【方法点睛】三角函数式求值的类型和思绪【方法点睛】三角函数式求值的类型和思绪(1)(1)三角函数式求值的类型三角函数式求值的类型三角函数式求值分为直接求值和条件求值三角函数式求值分为直接求值和条件求值, ,直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值简变形求得三角函数式的值. .条件求值是要根据条件选择适宜的公式进展三角恒等变换求条件求值是要根据条件选择适宜的公式进展三角恒等变换求得所需求的值，同时留意所给角的范围得所需求的值，同时留意所给角的范围. .(2)(2)条件求值的普通思绪条件求值

7、的普通思绪先化简所求式子或所给条件先化简所求式子或所给条件; ;察看知条件与所求式子之间的联络察看知条件与所求式子之间的联络( (从三角函数名及角入手从三角函数名及角入手););将知条件代入所求式子将知条件代入所求式子, ,化简求值化简求值. .【例【例1 1】求以下三角函数式的值】求以下三角函数式的值(1)sin50(1)sin50(1+ )=_.(1+ )=_.(2)(2)假设假设 那么那么tantan=_.tantan=_.(3)(3)知知tan( +)=2,tan( +)=2,那么那么 =_. =_.【解题指南】【解题指南】(1)(1)把切函数换成弦函数再用公式化简求值，重把切函数换成

8、弦函数再用公式化简求值，重在公式的逆用；在公式的逆用；(2)(2)利用两角和、差的余弦公式展开求利用两角和、差的余弦公式展开求coscos,sinsincoscos,sinsin，相除得结果；，相除得结果；(3)(3)根据知条件求出根据知条件求出tantan，把所给的三角函数式变形，代入，把所给的三角函数式变形，代入tantan即可即可. .3tan1013cos(),cos(),55 4212sin coscos【规范解答】【规范解答】(1)(1)原式原式= =(2)cos(+)=coscos-sinsin= (2)cos(+)=coscos-sinsin= cos(-)=coscos+si

9、nsin= cos(-)=coscos+sinsin= 3sin10sin50 (1)cos10132( cos10sin10 )22sin50cos10sin30 cos10cos30 sin102sin50cos10sin40sin80cos102cos401.cos10cos10cos101535由解得由解得那么那么(3)(3)由由 得得于是于是答案：答案：(1)1 (2) (3)(1)1 (2) (3)21cos cos,sin sin,55 sin sin1tan tan.cos cos2 1tantan()2,41tan 1tan,3 22221sincos2sin coscos2

10、sin coscos221( )1tan123.12tan132131223【互动探求】把本例【互动探求】把本例(2)(2)中的中的“cos(+)= cos(-“cos(+)= cos(-)= )= 改为改为“sin(+)= sin(-)= “sin(+)= sin(-)= , ,如何如何求求 ？【解析】由于【解析】由于sin(+)=sincos+cossin=sin(+)=sincos+cossin=sin(-)=sincos-cossin=sin(-)=sincos-cossin=两式相加得两式相加得sincos= sincos= 两式相减得两式相减得cossin= cossin= 即得即

11、得1,5351,5351,53,52515tan2.tan tantan【反思【反思感悟】三角函数式求值问题的留意点感悟】三角函数式求值问题的留意点(1)(1)三角函数式求值时一定要准确地运用公式和选择恰当的思三角函数式求值时一定要准确地运用公式和选择恰当的思绪，否那么会使求值过程繁琐绪，否那么会使求值过程繁琐. .(2)(2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此能够涉及到式子条件求值要求准确利用所给的条件，在此能够涉及到式子的变形和角的变换，同时要留意所给角的范围的变形和角的变换，同时要留意所给角的范围. .【变式备选】知【变式备选】知求求cos(2+ )cos(2+ )的值的值. .【解析

12、】【解析】= = (cos2-sin2),(cos2-sin2), 又又cos(+ )= 0,cos(+ )= 0,故可知故可知33cos(),45 22 4cos(2)cos2 cossin2 sin444223,22 37.444 43537,244 4sin(),45 从而从而cos2=sin(2+ )=cos2=sin(2+ )= =sin2=-cos(2+ )=1-2cos2(+ )sin2=-cos(2+ )=1-2cos2(+ )= =cos(2+ )= (cos2-sin2)cos(2+ )= (cos2-sin2)= =22sin()cos()4443242 ().5525

13、2423712 ( ).525 422224731 2().2252550 三角函数式的化简三角函数式的化简【方法点睛】三角函数式化简的原那么、要求及方法【方法点睛】三角函数式化简的原那么、要求及方法(1)(1)三角函数式的化简原那么三角函数式的化简原那么: :一是一致角，二是一致函数名一是一致角，二是一致函数名. .能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分. .(2)(2)三角三角函数函数式化式化简的简的要求要求能求出值的应求出值；能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角

14、函数；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数. .(3)(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角角化同角. .【提示】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常运用，【提示】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常运用，特别是特别是“1“1的代换经常用到的代换经常用到. .【例【例2 2】化简】化简 (,2). (,2).【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式，但要留意化无理式为有理式，但要留意的

15、范围的范围. .2 1 sin2(1 cos ), 【规范解答】【规范解答】2(1+cos)=2(1+cos)=原式原式= =(,2),(,2),当当 即即 时，时，原式原式= =221sinsincos2sincos2222 2(sincos)22，222(12cos1)4cos22，2 sincos2 cos.222(, ),cos0,222 3,22432 sincos022，2(sincos)2cos2sin,2222当当 即即 时，时，原式原式 ( (其中其中 ), ),原式原式= =3,42 322 sincos0,222sin4cos2 5sin()222 tan232sin22

16、.32 5sin()(tan2)222 ，其中，【反思【反思感悟】此题利用了感悟】此题利用了“1 1的逆代技巧，即化的逆代技巧，即化1 1为为 是欲擒故纵原那么是欲擒故纵原那么. .普通地有普通地有22sincos22，1 sin2sincos, 1cos22 cos,1 cos22 sin. 【变式训练】化简【变式训练】化简【解析】原式【解析】原式= =22311().sin 140cos 1402sin1022223cos 140sin 1401sin 140 cos 1402sin1022( 3cos140sin140 )( 3cos140sin140 )1( sin40 cos40 )

17、2sin104sin80 sin200112sin10sin 8048sin20016sin20016.sin80 cos80sin160【变式备选】化简：【变式备选】化简：【解析】方法一【解析】方法一: :原式原式= =1(tan) (1tantan).22tan2cossinsinsin222() (1)cossincoscos22222cossincos cossin sin2222sincoscos cos222cos()cos2cos2cos222.sinsinsincos coscos cos22方法二：原式方法二：原式= =21tansin sin22(1)tancos cos2

18、2cos cossin sin222tancos cos2cos2cos22.sinsincoscos2 三角恒等式的证明三角恒等式的证明【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点(1)(1)证明恒等式的方法：证明恒等式的方法：从左到右；从右到左；从左到右；从右到左；从两边化到同一式子从两边化到同一式子. .原那么上是化繁为简，必要时也可用分析法原那么上是化繁为简，必要时也可用分析法. .(2)(2)三角恒等式证明的切入点：三角恒等式证明的切入点：看角：分析角的差别看角：分析角的差别, ,消除差别消除差别, ,向结果中的角转化向结果中的角转化; ;看函数看

19、函数: :一致函数一致函数, ,向结果中的函数转化向结果中的函数转化. .【例【例3 3】证明：】证明：(1)(1)(2)(2)【解题指南】【解题指南】(1)(1)从等号的左边开场证明先变成一样的角，再从等号的左边开场证明先变成一样的角，再利用公式推导；利用公式推导；(2)(2)从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，留从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，留意意“1“1的代换的代换. .2sin(x) sinxcos2x.44（）2212sincos1tan.cossin1tan【规范解答】【规范解答】(1)(1)左边左边= =sin( -2x)=cos2x=sin( -2

20、x)=cos2x=右边，原题得证右边，原题得证. .(2)(2)左边左边= = = =右边，原题得证右边，原题得证. .2sin(x) cos(x)44222cossin2sincos(cossin ) (cossin )2(cossin )(cossin )(cossin )cossin1tancossin1tan【互动探求】把本例【互动探求】把本例(2)(2)中等号左边改为中等号左边改为“ “ , ,右边不变，试证明右边不变，试证明. .【证明】左边【证明】左边= = = =右边右边. .所以原等式成立所以原等式成立. .1tan2cos222222sincos2tancossin1tan

21、2221tan2tan1tan1tan22(1tan )1tan1tan1tan【反思【反思感悟】感悟】1.1.三角函数式的化简与证明的类型及思绪三角函数式的化简与证明的类型及思绪(1)(1)对三角的和式，根本思绪是降幂、消项和逆用公式；对三角的和式，根本思绪是降幂、消项和逆用公式；(2)(2)对三角的分式，根本思绪是分子与分母约分和逆用公式，对三角的分式，根本思绪是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值；最终变成整式或数值；(3)(3)对二次根式，那么需求运用倍角公式的变形方式对二次根式，那么需求运用倍角公式的变形方式. .2.2.化简与证明的过程中表达了化归的思想，是一个化简与证明的

22、过程中表达了化归的思想，是一个“化异为化异为同的过程，涉及切弦互化，即同的过程，涉及切弦互化，即“函数名的函数名的“化同；角的化同；角的变换，即变换，即“单角化倍角、单角化倍角、“单角化复角，单角化复角，“复角化单角、复角化单角、“复角化复角等详细手段复角化复角等详细手段. .【变式备选】假设【变式备选】假设tan2=2tan2+1tan2=2tan2+1，求证：，求证：sin2=2sin2-1.sin2=2sin2-1.【证明】由知得【证明】由知得即即即即即即sin2-sin2sin2=sin2+1-sin2-sin2sin2.sin2-sin2sin2=sin2+1-sin2-sin2si

23、n2.sin2=2sin2-1sin2=2sin2-1，即等式成立，即等式成立. .2222sinsin21,coscos2222sinsin21,1 sin1 sin2222sinsin1,1 sin1 sin 的运用的运用【方法点睛】三角函数性质的讨论【方法点睛】三角函数性质的讨论(1)(1)三角函数性质的讨论，可经过变形为三角函数性质的讨论，可经过变形为asin+bcos=asin+bcos= ( (其中其中 ) )的方式去讨论的方式去讨论. .这样的变形，这样的变形，主要是主要是 角确实定角确实定. .(2)(2)经过恒等变形，可以将较为复杂的函数方式转化为较为简经过恒等变形，可以将较

24、为复杂的函数方式转化为较为简约的函数方式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要留意约的函数方式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要留意是恒等变形，由于在某些情形下，变形会导致定义域的变化，是恒等变形，由于在某些情形下，变形会导致定义域的变化，从而影响函数的值域和周期等性质从而影响函数的值域和周期等性质. .22asinxbcosxab sin(x)22ab sin()btana 【提示】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的【提示】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的. .当当为特殊为特殊角即角即 的值为的值为1 1或或 时要熟练掌握时要熟练掌握. .对对是非特殊角时是非特殊角时, ,只需求会求最

25、值即可只需求会求最值即可. .b|a333、【例【例4 4】知函数】知函数 (0) (0)的最的最小正周期为小正周期为.(1)(1)求求的值的值; ;(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在区间在区间 上的取值范围上的取值范围. .【解题指南】先利用三角恒等变换把【解题指南】先利用三角恒等变换把f(x)f(x)化成化成f(x)=Asin(x+f(x)=Asin(x+)+b)+b的方式，求周期得到的方式，求周期得到,再讨论三角函数的性质再讨论三角函数的性质. .2f(x)sinx3sin xsin( x)2 203 ， 【规范解答】【规范解答】(1)f(x)=(1)f(x)=由于函数由于函数f

26、(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为,且且00，所以所以 解得解得=1.=1.(2)(2)由由(1)(1)得得f(x)=f(x)=由于由于所以所以1 cos2 x3sin2 x22311sin2 xcos2 x2221sin(2 x)62 22， 1sin(2x).6220 x,372x,666所以所以由于由于 所以所以f(x)f(x)在区间在区间 上的取值上的取值范围为范围为1sin(2x)1.26130sin(2x)622，20,330,.2【反思【反思感悟】此题第感悟】此题第(1)(1)问主要是要求正确的恒等变形，第问主要是要求正确的恒等变形，第(2)(2)问要留意问要留意 这样这

27、样 的范围就能详细求出，再求的范围就能详细求出，再求f(x)f(x)的取值范围的取值范围. .20.3 ， 2x6【变式训练】知函数【变式训练】知函数(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的最小正周期；的最小正周期；(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)在在 上的值域上的值域. .【解析】【解析】(1)(1)f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期 2f x3sin xsinxcosx. 0,2 2f x3sin xsinxcosx. 1 cos2x13sin2x22133sin2xcos2x2223sin(2x)32 2T.2 (2)(2)所以所以f(x)f(x)在在 上的值域为上的值域

28、为40 x,2x,23333sin(2x)1,230,2233.2，【总分值指点】三角函数性质综合题的规范解答【总分值指点】三角函数性质综合题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2021)(2021四川高考四川高考) )知函数知函数f(x)=sin(x+f(x)=sin(x+ xR. xR.(1)(1)求求f(x)f(x)的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值; ;(2)(2)知知 0 0 求证：求证：f()f()2-2=0.2-2=0.73)cos(x),4444cos(),cos(),55 ,2【解题指南】【解题指南】(1)(1)把把f(x)f(x)化成化成 的方式；的方式；(

29、2)(2)利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得利用两角和与差的余弦公式展开，两式相加可得2coscos=02coscos=0，结合，结合 可得可得 从而问题得证从而问题得证. .【规范解答】【规范解答】(1)(1) 3 3分分f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期T=2T=2，f(x)f(x)的最小值为的最小值为-2.-2.55分分Asin( x) 02 2， 73f(x)sin(x2 )sin(x)442 sin(x)sin(x)442sin(x).4(2)(2)由知得由知得coscos+sinsin=coscos+sinsin=coscos-sinsin=coscos-sinsin

30、=两式相加得两式相加得2coscos=0. 82coscos=0. 8分分0 0 f()f()2-2= 122-2= 12分分4,54,5,2,2 24sin20.4【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以【阅卷人点拨】经过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有三点容易失分：解答本题时有三点容易失分：(1)(1)第第(1)(1)问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错，问中三角恒等变换中的诱导公式容易用错，得不到化简后的正确结果得不到化简后的正确结果. .(2)(2)由由,的和差的余弦值得不到的和差的余

31、弦值得不到2coscos=02coscos=0而而导致后续计算无法进行导致后续计算无法进行. .(3)(3)在第在第(2)(2)问中得到问中得到2coscos=02coscos=0后忽略后忽略 得不到得不到的值，而无法继续往下做的值，而无法继续往下做. .02 备备考考建建议议解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备解答此类问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：考时要高度关注：(1)(1)三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错三角恒等变形转化不准确造成后面求解繁琐或错误误. .(2)(2)忽略特殊角的值而使问题漏解忽略特殊角的值而使问题漏解. .另外，如果给出的三角函数的表达式较为复杂，必另外，如果给出的三角函数的表达式较为复