2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题03圆锥曲线与垂心问题(通用版原卷版)

1、专题3、111锥曲线与垂心网题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥 曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。 因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学 解题能力，增强学生的信心，备战高考.三角形的垂心：三角形三条高线的交点（1 ）、H是 A43c的垂心o HA BC = HB- AC = HC AB = 0 o（2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。经典例题：例1. （2020浙江高三）记椭圆C：2），2= 1

2、的左右焦点为尼，过用的直线/交椭圆于A，B, A，3处的切线交于点夕，设"鸟尸的垂心为，则P"的最小值是（）A. 72B.。C. "D. "22例2. （2020.江苏省高三期中）己知耳，人是双曲线二-匚=1（a>0力>0）的左、右焦点，过点A且垂直于 a- lr实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于-4, 8两点，则坐标原点。可能为AABF；的（）A.垂心B.内心C.外心D.重心例3、（山东高考理）平而直角坐标系X。伊中，双曲线G：E-1 = l（a>0力>0）的渐近线与抛物线 cr lrC2：x2= 2py （p >

3、0）交于点O,A, B,若048的垂心为G的焦点，则G的离心率为.22例4、（2020年福建省高三联考16题）己知：椭圆+ = 1的右焦点为F.M为上顶点，。为坐标原点，84直线/交椭圆于P，Q两点,当户为好QM的垂心时，则"QM的面积为2例5、已知点。（1,0）在椭圆C： x2+ = l±, 过点P（?，0）作直线交椭圆C于点A,8, AA8。的垂心为T，若垂心了在），轴上.则实数”的取值范围是例6、（2020年浙江省绍兴市期末15题）己知椭圆5+），2 = 1的上顶点为M ,直线/与该椭圆交于只。两 点，且点（1，。）恰为尸。河的垂心，则直线/的方程为.例7、（2020

4、.辽宁省高三期末）已知F、,F?分别是双曲线?今=1 （a>0,b> 0）的左、右焦点，过点石且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A, B两点，若坐标原点。恰为SABF2的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（）A.4B. 72C. 6D. 3例8、（2019云南省曲靖二中模拟16题）己知A3O内接于抛物线）*=4x,其中。为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则A3O的外接圆方程为.例9、（2018年福建预赛）已知£、F2分别为椭圆C ：千+ £ = 1（。>。> 0）的左、右焦点，点尸/ 2Ja 5 1在椭圆C上，且

5、片P尺的垂心为".则椭圆C的方程为一33例10. (2020.成都市高三期中)若。方的垂心恰是抛物线yMx的焦点，其中。是原点，.4、3在抛物线 上，则。/的面积8.例11.如图所示，己知圆O： x2+y=4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y=2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C,则aABC的垂心H的轨迹方程为.例12.平面直角坐标系xOy中，双曲线C” 5一二= l(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线C：trx2=2py(p>0)交于O, A, B三点，若OAB的垂心为C?的焦点，则C1的离心率为()l3A点BjC. 25 D.-2课后训练：1 . (202

6、0浙江高三月考)若曲线C： y2 =4x.上一点4。0,4),是否存在直线m与抛物线C相交于两不同的 点B,C,(加为BC的垂心为"(8,0).则直线m的方程为.2 .双曲线G：； 2 = lS>0）的渐近线与抛物线G：/=2py （>0）相交于。，A，B，若AOAB的 垂心为。2的焦点，则/?=（）A. 2B. 3C. 75D. "223 .己知双曲线G：二一二=1（。>0,8>0）的渐近线与抛物线C： /=2），（>0）交于点。、A、 tr b-b、若。钻的垂心为抛物线G的焦点，则双曲线G的离心率为（）A.当B. £1C.茹D.2

7、22224 . （2020 ,武邑高三（理）在平面直角坐标系，中，双曲线G：二一二=1（。>02>0）的渐近线与抛物 cr b一线。2：），2=2*（>0）交于点0,48,若。钻的垂心为C?的焦点，则G的离心率为（）A 3n H3/c 小A. -B。5C. D2525 . （2019 浙江高三期末）已知点A（西,）1）,3（，）2）在抛物线。：/=4），上，点/是抛物线C的焦点, 线段A3的中点为N.若点”的坐标为且尸是A钻历的垂心，则直线A8的方程：6 .如图，己知直线/： X = m.V + m + 2与抛物线二r相交于两点AB, C 1,1 ,且ACJ_3C.设动点尸满

8、足PA3的垂心恰好是E（l,0）,记点C到直线源距离为d,若d|PE| = l,求实数川的值.7 .己知点P（L2）是抛物线y2=4x上的一点，过点。作两条直线乙与分别与抛物线相交于异于点夕的A8两点.若直线A8的斜率为1且.PAB的垂心在x轴上，则直线A8的方程.8 .在平而直角坐标系xQv中，椭圆C:三十 = = 1（。0）经过点尸（点,1）,且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为-2.若椭圆。上存在两点0，R,使得aPOR的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐 2标原点。，则直线QR的方程.9 . （2020 江西高三（理）己知抛物线E： / =2%.若直线A3是经过定点。（2,0）的一条

9、直线，且与抛 物线E交于A，B两点,过定点0作A8的垂心与抛物线交于G，£两点，则四边形AG8O面积的最小 值.10 .已知A8分别是双曲线。：/一二=1的左、右顶点，P为C上一点，且P在第一象限.记直线2的斜率分别为人,七，当2占+&取得最小值时，尸的垂心到x轴的距离为.11 .平面直角坐标系X0V中，双曲线6： t一二= 1（40, 6>0）的渐近线与抛物线G：炉=20。>0）交 a- h-于点。，/ A若。宓的垂心为C?的焦点，且点仅J展行）双曲线上，则双曲线的方程为：012 .双曲线g = 1S>O）的渐近线与抛物线。2：丁=2内，（>0）相交

10、于O, 4，B,若AOAB 的垂心为G的焦点，则=（）A. 2B. 3C. "D. 7613 .已知椭圆C:5十 丁 = 1 直线'与椭圆°交于加，"两点.若椭圆°的右焦点F恰好为ABMN的垂心， 则直线/的方程为.214 . （2019河北省邯郸市一模16题）己知A, B分别是双曲线C ： / _二=1的左、右顶点，P为C上一点，2且尸在第一象限.记直线PA, PB的斜率分别为",当2K + k2取得最小值时，&AB的垂心到x轴的距 离为.15 .数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的 距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线.已知5c的顶点,4（2, 0）（0, 4）, 若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是.2216 .平面直角坐标系直为中，双曲线c：5£ = 15>0/>0）的渐近线与抛物线6：/ = 2Q（>0） 交于点。,A8.若AOAB的垂心为C）的焦点，则G的离心率为17 .设抛物线C卡=2/»（>0）的焦点为凡已知尸，0,7'为抛物线C上三个动点，且满足尸为“。丁 的重心，&q