人教版2025年八年级（下）期中数学试卷（一）（考查范围：第16~18章）

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷【人教版】考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~18章姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）下列计算中，正确的是（

）A．2+3=C．12÷3=42．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，长方形中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（

）A．10 B．10−1 C．5 D．3．（3分）（24-25八年级·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，∠A=38°,AB=AC，点D在AC边上，以CB、CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（

）A．71° B．61° C．51° D．41°4．（3分）（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）要把(2−x)1x−2中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是（A．x−2 B．2−x C．−2−x D．5．（3分）（24-25八年级·河南开封·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD=12，且∠BCD=90°，则四边形A．33+22 B．3326．（3分）（24-25八年级·湖北十堰·期中）如图，矩形ABCD中，AB=6，点E是AD上一点，且DE=2，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（

）A．6 B．7 C．8 D．97．（3分）（24-25八年级·山东东营·期中）已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=pp−ap−bp−c，其中p=a+b+c2，我国南宋时期数学家秦九韶（约A．3158 B．3152 C．8．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形ABCD，对角线AC=8，BD=6，过点D作DH⊥AB于点H，则DH的长是（

）A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.69．（3分）（24-25八年级·四川眉山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．如果D、E分别为BC、AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（

A．245 B．5 C．27510．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理a2+b2=c2，如图2，连结HK，GK，HG，记四边形DHKG与正方形DHIE的面积分别为S1，A．23 B．35 C．12二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级·黑龙江绥化·期中）已知a+b=−8，ab=1，则ba+a12．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是1和2．过点A作射线AD⊥OA，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交AD于点C；以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是．13．（3分）（24-25八年级·湖北荆州·期中）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，有如下四个条件：①DE=BF；②AE=FC；③∠1=∠2；④AF=EC，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形BEDF是平行四边形，那么这个添加的条件可以是（填写序号）．14．（3分）（24-25八年级·四川成都·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝．15．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，已知∠BAG=∠ABC=45∘，且（1）则AB的长是；（2）若AE=2EF，且∠AGD+∠BCD=180∘，则AF=16．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=12，点E为边AD上的一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点A的对应点A′刚好落在边AD的垂直平分线MN上，则AE的长为第Ⅱ卷三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级·山东青岛·期中）计算：(1)3(2)218．（6分）（24-25八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米．(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，求出此最小值．19．（6分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE=AD，∠FEC=∠FCE．(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)若点E为AC的中点，求∠ABE的度数．20．（8分）（24-25八年级·江苏淮安·期中）像4−23如：4−23再如：5+26请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：9+214=(2)化简：8−43=(3)若2m−n2=k−62，且21．（8分）（24-25八年级·陕西西安·期中）如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂AB=1.3m，点B到地面CD的距离BC=DE=2m，点B到AD的距离BE=1.2m，BE⊥AD于E，BC⊥CD，AD⊥CD，求点A地面22．（10分）（24-25八年级·上海浦东新·期中）已知：如图△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别在边BC、AC上，且BE=1，AF=3，EF=10

(1)证明：线段EF，(2)当D是边AB上的中点时，判断：DF、DE的位置关系．23．（10分）（24-25八年级·河北沧州·期中）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律：特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．(2)观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律：①化简：2023+1②若a+1b=91b（a24．（12分）（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A0,5，C26,0．点E是OC的中点，动点M在线段AB上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为(1)当t为何值时，四边形MOEB是平行四边形？(2)若四边形MOEB是平行四边形，请判断四边形MAOE的形状，并说明理由；(3)在线段AB上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．25．（12分）（24-25八年级·广东广州·期中）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且(1)如图1，若四边形ABCD是正方形．①求∠DPQ的度数；②探究AQ与OP的数量关系并说明理由．(2)如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由.

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷【人教版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）下列计算中，正确的是（

）A．2+3=C．12÷3=4【答案】D【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键．根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．【详解】解：A．2和3不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意；B．32C．12÷D．12×故选：D．2．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，长方形中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（

）A．10 B．10−1 C．5 D．【答案】B【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得∠ABC=90°，AC=AM，BC=AD=1，再由勾股定理求出AM=AC=10【详解】解：由题意可得：∠ABC=90°，AC=AM，BC=AD=1，∵AC=A∴AM=AC=10∴点M表示的数为10−1故选：B．3．（3分）（24-25八年级·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，∠A=38°,AB=AC，点D在AC边上，以CB、CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（

）A．71° B．61° C．51° D．41°【答案】A【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠【详解】解：在△ABC中，∠A=38°，AB=AC∴∠C=∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E=故选：A．4．（3分）（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）要把(2−x)1x−2中根号外的因式移入根号内，下面式子正确的是（A．x−2 B．2−x C．−2−x D．【答案】D【分析】根据非负数才能移入根号内或根号外，变成非负数后，变形化简即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握根式的性质是解题的关键．【详解】解：根据题意，得x−2>故2−x=−1故选：D．5．（3分）（24-25八年级·河南开封·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD=12，且∠BCD=90°，则四边形A．33+22 B．332【答案】A【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．先由勾股定理求出BD=3，则AB2+BD【详解】解：∵∠BCD=90°，∴BD=B∵AB=3，AD=12∴AB∴∠ABD=90°，∴S===3故选：A．6．（3分）（24-25八年级·湖北十堰·期中）如图，矩形ABCD中，AB=6，点E是AD上一点，且DE=2，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】过点E作EP⊥BC于点P，证明四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，得出CD=EP=6，DE=CP=2，根据证明△AEG≌△BFG，得出AE=BF，又FH垂直平分EC，得出FC=FE，令BC=x，则BP=AE=BF=x−2，进而BP=AE=BF=2x−2，FP=2x−4，EF=FC=2x−2，在Rt△EFP中，E【详解】解：过点E作EP⊥BC于点P，在矩形ABCD中∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，∴四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，又AB=6，DE=2，∴CD=EP=6，DE=CP=2，∵G是AB的中点，∴AG=GB=3，又∵AD∥∴∠AEG=∠BFG，又∠AGE=∠BGF，∴△AEG≌△BFGAAS∴AE=BF，∵FH垂直平分EC，∴FC=FE，令BC=x，则BP=x−2，又∵AE=BF=BP，∴BP=AE=BF=x−2，∴FP=2x−4，EF=FC=2x−2，在Rt△EFP中，E∴6解得x=6．故选：A．【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长．7．（3分）（24-25八年级·山东东营·期中）已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=pp−ap−bp−c，其中p=a+b+c2，我国南宋时期数学家秦九韶（约A．3158 B．3152 C．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的应用，设a=2，b=3，c=4，则p=92，再根据【详解】解：设a=2，b=3，c=4，∴p=a+b+c∴S=9故选：D．8．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期中）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形ABCD，对角线AC=8，BD=6，过点D作DH⊥AB于点H，则DH的长是（

）A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6【答案】B【分析】作DF⊥BC，垂足为F，设AC与BD相交于点O，根据菱形的判定与性质可知OB、OA，最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答．【详解】解：作DF⊥BC，垂足为F，设AC与BD相交于点O，∵两张等宽的纸条，DH⊥AB，∴DF⊥BC，∴DH=DF，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵S平行四边形ABCD∵DH=DF，∴BC=AB，∴四边形ABCD是菱形，∴OB=OD=12BD=3，OA=OC=∴AB=A∴AB⋅DH=1∴DH=1答：DH的长是4.8；故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．9．（3分）（24-25八年级·四川眉山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．如果D、E分别为BC、AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（

A．245 B．5 C．275【答案】A【分析】延长AC到点F，使得AC=CF，则直线BC是线段AF的垂直平分线，连接DF,BF，于是得到AD=DF，AB=BF，于是AD+DE就变成了DF+DE，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到DF+DE的最小值就是△ABF的高，过点F作FG⊥AB于点G，求FG即可．此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．【详解】解：延长AC到点F，使得AC=CF，∵∠ACB=90°，∴直线BC是线段AF的垂直平分线，连接DF,BF，∴AD=DF，AB=BF，∴AD+DE就变成了DF+DE，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到DF+DE的最小值就是△ABF的高，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，∴AF=2AC=6，BC=A∴S△ABF∴6×4=5FG，∴FG=24故选：A．10．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理a2+b2=c2，如图2，连结HK，GK，HG，记四边形DHKG与正方形DHIE的面积分别为S1，A．23 B．35 C．12【答案】D【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点H作HM⊥CD于点M，根据题意可得四边形AHMD是矩形，进而证明Rt△DAH≌Rt△DCEHL，设CE=AH=CG=DM=MG=x，则DA=DC=AB=BC=3x，BH=2x，分别表示出【详解】解：过点H作HM⊥CD于点M，∵HD=HG，四边形ABCD是正方形，∴MD=MG，四边形AHMD是矩形，∴MD=AH，∵四边形ABCD，四边形DHIE，四边形EFGC都是正方形，∴DA=DC=AB=BC，DH=DE=HI=IE，FG=GC=CE=EF，∠DAH=∠DCE=∠DEI=90°，在Rt△DAH和RtDH=DEDA=DC∴Rt∴CE=AH，∴CE=AH=CG=DM=MG，∴CD=CG+DM+MG=3CG=3CE，设CE=AH=CG=DM=MG=x，则DA=DC=AB=BC=3x，BH=2x，∴∠DCE=∠EKI=∠DEI=90°，∴∠DEC+∠IEK=90°，∠EIK+∠IEK=90°，∴∠DEC=∠EIK，又∵DE=EI，∵△DCE≌△EKIAAS∴KE=DC=3x，∴BH=CK=2x，BK=CE=x，∴四边形DHKG的面积S1正方形DHIE的面积为：S2∴S故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级·黑龙江绥化·期中）已知a+b=−8，ab=1，则ba+a【答案】8【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据a+b=−8，ab=1判断出a<0,b<0，将ba+ab化简再进行加减运算，最后将【详解】解：∵a+b=−8，ab=1，∴a<0,b<0，∴b=−ab=−b=−=−a+b当a+b=−8，ab=1，原式=−−8故答案为：8．12．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是1和2．过点A作射线AD⊥OA，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交AD于点C；以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是．【答案】1+3/【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知AE=AC，OC=OB=2，再由勾股定理求出AC=3，则AE=3，然后求出【详解】解：∵点A和B分别对应的实数是1和2，∴OA=1，OB=2，由题意可知，AE=AC，OC=OB=2，∵AD⊥OA，∴∠OAC=∠BAC=90°，∴AC=O∴AE=3∴OE=OA+AE=1+3即点E对应的实数是1+3故答案为：1+313．（3分）（24-25八年级·湖北荆州·期中）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，有如下四个条件：①DE=BF；②AE=FC；③∠1=∠2；④AF=EC，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形BEDF是平行四边形，那么这个添加的条件可以是（填写序号）．【答案】②（或③，或④）【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质．若添加添加①，无法证明四边形BEDF是平行四边形．若添加条件②，连接BD，交AC于点O，根据平行四边形的性质得到AO=CO，BO=DO，进而得到EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得△ADE≌△CBFASA，得到DE=BF，∠AED=∠CFB，进而得到DE【详解】解：若添加添加①，无法证明四边形BEDF是平行四边形．若添加条件②AE=FC，可得四边形BEDF是平行四边形．理由如下：连接BD，交AC于点O∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵AE=FC，∴AO−AE=CO−CF，即EO=FO，∴四边形BFDE是平行四边形．若添加条件③∠1=∠2，可得四边形BEDF是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥∴∠DAE=∠BCF，∵∠1=∠2，∴△ADE≌△CBFASA∴DE=BF，∠AED=∠CFB，∴180°−∠AED=180°−∠CFB，即∠DEF=∠EFD，∴DE∥∴四边形BEDF是平行四边形．若添加条件④AF=EC，可得四边形BEDF是平行四边形．理由如下：连接BD，交AC于点O∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵AF=EC，∴AF−AO=CE−CO，即FO=EO，∴四边形BFDE是平行四边形．综上所述，添加的条件可以是②或③或④．故答案为：②（或③，或④）14．（3分）（24-25八年级·四川成都·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝．【答案】45°【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明△APE为等腰直角三角形，从而可得答案．【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．15．（3分）（24-25八年级·浙江丽水·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，已知∠BAG=∠ABC=45∘，且（1）则AB的长是；（2）若AE=2EF，且∠AGD+∠BCD=180∘，则AF=【答案】106【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）延长AF交BC的延长线于点H，易得△ABH是等腰直角三角形，可证△ABG≌△HAC，所以BH=BC+AG=102（2）由条件易证△AGE≌△HCFASA，得到FH=AE=2x，所以AH=5x=10【详解】解：（1）延长AF交BC的延长线于点H，∵AF⊥AB，∴∠BAH=90∵∠ABC=45∴∠H=90°−∠ABC=45°=∠ABC，∴AB=AH，即△ABH是等腰直角三角形，∴∠AHB=45∘=∠BAG∵AC⊥BD，∴∠CAH=90在△ABG和△HAC中，∠BAG=∠AHCAB=AH∴△ABG≌△HACSAS∴CH=AG，∵BC+AG=102∴BC+CH=BH=102在Rt△ABH中，A即2AB∴AB=10；故答案为：10；（2）∵∠AGD+∠BCD=180∘，∴∠AGD=∠FCH，∵∠BAG=45°，∠BAG=∠FHC，∴∠EAG=45°=∠FHC，在△AGE和△HCF中，∠EAG=∠FHCAG=CH∴△AGE≌△HCFASA∴FH=AE，设EF=x，则FH=AE=2x，∴AH=AE+EF+FH=5x=10，解得：x=2，∴AF=AE+EF=3x=6．故答案为：6．16．（3分）（24-25八年级·浙江金华·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=10，AD=12，点E为边AD上的一个动点，把△ABE沿BE折叠，若点A的对应点A′刚好落在边AD的垂直平分线MN上，则AE的长为【答案】10【分析】由矩形的性质得到BC=AD=12,BC∥AD,∠A=∠ABC=90°，由线段垂直平分线的性质得到AM=6,BN=6，由折叠的性质得到：BA′=AB=10,AE=A′E，由勾股定理求出NA′=BA′2【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=12,BC∥AD,∠A=∠ABC=90°，∵MN垂直平分AD，∴MN垂直平分BC，∴AM=1由折叠的性质得到：BA∴NA∵∠A=∠ABN=∠BNM=90°，∴四边形AMNB是矩形，∴MN=AB=10，∴MA令AE=x，∴EA∵EA∴x∴x=10∴AE=10故答案为：103【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键．第Ⅱ卷三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级·山东青岛·期中）计算：(1)3(2)2【答案】(1)13+4(2)11【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；（2）先计算乘除，再计算加减．【详解】（1）解：3==27−1−12+4=13+43（2）解：2=2=12=11218．（6分）（24-25八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米．(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，求出此最小值．【答案】(1)475米(2)1000米【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键．（1）设CQ=x，则DQ=800−x，根据AQ=BQ利用勾股定理即可得出结果．（2）作A关于l的对称点A′，连接A′B，交l于P，由对称性得PA+PB的最小值为线段A′B的长，作A【详解】（1）解：如图1，根据题意得：AQ=BQ，设CQ=x，则DQ=800−x，∴200解得x=475，即CQ的长为475米；（2）如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l则AP=A∴AP+BP=A∴PA+PB的最小值为A′如图，作A′E⊥BE于点在Rt△A′E=CD=800米，∴A∴PA+PB的最小值为1000米．19．（6分）（24-25八年级·陕西渭南·期中）如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE=AD，∠FEC=∠FCE．(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)若点E为AC的中点，求∠ABE的度数．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD=BC，则BE=BC，由等边对等角得到∠ECB=∠CEB，则可证明∠FEB=∠BCD=90°，进而可证明平行四边形ABCD是矩形；（2）由矩形的性质得到BE=CE=12AC，∠ABC=90°，则可证明△BCE【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠ECB=∠CEB，∵∠FEC=∠FCE，∴∠FEC+∠CEB=∠FCE+∠BCE，∴∠BEF=∠BCF，∵EF⊥BE，∴∠FEB=∠BCD=90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，点E为AC的中点，∴BE=CE=1∴BE=CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE=60°，∴∠ABE=30°．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键：20．（8分）（24-25八年级·江苏淮安·期中）像4−23如：4−23再如：5+26请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：9+214=(2)化简：8−43=(3)若2m−n2=k−62，且【答案】(1)7(2)6(3)11或19．【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，结合k、m、n为正整数求解即可．【详解】（1）解：9+214故答案为：7（2）8−43故答案为：6（3）∵2∴2m∴k=2m∴mn=3又∵k、m、n为正整数，∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，∴当m=1,n=3时，k=2m当m=3,n=1时，k=2m∴k的值为：11或19．21．（8分）（24-25八年级·陕西西安·期中）如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂AB=1.3m，点B到地面CD的距离BC=DE=2m，点B到AD的距离BE=1.2m，BE⊥AD于E，BC⊥CD，AD⊥CD，求点A地面【答案】点A到地面DC的距离AD的长为2.5米【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理求出AE，根据长方形的性质，得出ED=BC，即可得出答案．【详解】解：由题知：∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=∵ED=BC=2m，AD⊥CD∴AD=ED+AE=2+0.5=2.5m答：点A地面DC的距离AD的长为2.5米．22．（10分）（24-25八年级·上海浦东新·期中）已知：如图△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别在边BC、AC上，且BE=1，AF=3，EF=10

(1)证明：线段EF，(2)当D是边AB上的中点时，判断：DF、DE的位置关系．【答案】(1)证明见解析；(2)DE⊥DF，理由见解析．【分析】（1）根据勾股逆定理即可求证；（2）延长FD，使得FD=DM，连接BM、EM，证明△ADF≌△BDM，得到∠AFD=∠BMD，AF=BM=3，得到AC∥BM，根据平行线的性质得到∠MBC=90°，由勾股定理得到ME=10本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．【详解】（1）证明：∵BE2+A∴BE∴线段EF，（2）解：DE⊥DF．理由：延长FD，使得FD=DM，连接BM、EM，

∵D是边AB上的中点，∴AD=BD，又∵∠ADF=∠BDM，FD=DM，∴△ADF≌△BDMSAS∴∠AFD=∠BMD，AF=BM=3，∴AC∥∴∠AFB+∠MBC=180°，∵∠ACB=90°，∴∠MBC=180°−90°=90°，∴在Rt△MBE中，ME=∵EF=10∴ME=EF，∵FD=DM，∴ED⊥FM，即ED⊥FD．23．（10分）（24-25八年级·河北沧州·期中）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律：特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．(2)观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律：①化简：2023+1②若a+1b=91b（a【答案】(1)4+1(2)n+(3)见解析(4)①20242【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．（1）根据材料提示计算即可；（2）由材料提示，归纳总结即可；（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；（4）根据材料提示的方法代入运算即可．【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例4为：4+1故答案为：4+1（2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：n+1故答案为：n+1（3）解：n+1等式左边=n+（4）①解：2023+=2024×=20242②∵a+1∴n+1=9，∴n=a=8，∴a+b=18．24．（12分）（24-25八年级·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A0,5，C26,0．点E是OC的中点，动点M在线段AB上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为(1)当t为何值时，四边形MOEB是平行四边形？(2)若四边形MOEB是平行四边形，请判断四边形MAOE的形状，并说明理由；(3)在线段AB上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6.5秒(2)四边形MAOE是矩形，理由见解析(3)线段AB存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒【分析】（1）根据点C坐标可得OC=26，根据中点定义可得OE=13，根据矩形的性质可得AB=OC，AB∥OC，根据平行四边形的性质可得MB=OE，即可得出AM的长，根据点（2）如图，由（1）可得AM=OE=13,AM∥OE，可证明四边形MAOE是平行四边形，由∠AOE=90°可得四边形（3）当点M在点N右侧时，根据菱形的性质可