高等数学Ⅲ教学大纲

1、高等数学教学大纲 （法政系本科各专业适用）参考学时：78 学分：5 课程编号： 1001303一、本课程的性质和任务高等数学课程是法政系各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量的专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：1一元函数微分学2一元函数积分学3微分方程4二重积分等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、自学能力和创新能力，还要特别注意培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、本课程的

2、基本内容（一） 函数、极限、连续1函数函数的定义，函数的几种简单性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性），反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数。2极限数列极限的定义，函数极限的定义和定义，极限的性质，左右极限，无穷小与无穷大的概念，无穷小与无穷大、无穷小与一般极限的关系，无穷小的阶，极限运算法则，极限存在法则，两个重要极限。3函数的连续性函数连续的定义，间断点及其分类，连续函数的运算法则，反函数的连续性，复合函数的连续性，基本初等函数与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的最值性定理、有界性定理及介值性定理。（二） 一元函数微分学1导数与微分导数的定义、几何意义，平面曲线的切线和法线方程，可导

3、性与连续性之间的关系，导数基本公式与运算法则（求导四则运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，基本导数公式），高阶导数，隐函数的导数，利用对数求导法，参数函数的导数，微分的定义、几何意义，微分运算法则，一阶微分的形式不变性，微分在近似计算方面的简单应用。2 / 62中值定理与导数应用罗尔定理，拉格朗尔定理，柯西定理，洛必达法则，函数和曲线性态的研究（单调性判定，极值及其求法，最值问题，凹凸性与拐点），微分作图法。（三） 一元函数积分学1不定积分原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，直接积分法，换元积分法及特殊函数（有理函数、三角函数有理式、简单无理函数）的积分法，分部积分法。2

4、定积分及其应用定积分的定义、性质，变上限定积分函数及其求导公式，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的直接积分法，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，无限区间上的广义积分和无界函数的广义积分，定积分在几何上的应用（求平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积已知的立体的体积）。（四） 常微分方程1微分方程的基本概念微分方程的定义，常微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、积分曲线的定义。2特殊类型的一阶微分方程一阶可分离变量、齐次、线性微分方程的求解方法。3二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程的特征根法。 （五）二重积分1多元函数多元函数的定义，区域的概念，二元函数的几何意义，一些特

5、殊曲面（平面、球面、椭球面、柱面、抛物面）的方程2二重积分二重积分的定义、性质、计算方法（直角坐标系和极坐标系下的计算），无界区域上的广义二重积分及其计算方法。3二重积分的应用求平面图形的面积和立体的体积。三、本课程的基本要求（五） 函数、极限、连续1理解函数的概念。2了解函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性。3理解复合函数和反函数的概念。4掌握基本初等函数的性质和图形。5理解极限的概念（对极限的定义可在学习过程中逐步加深理解，对于利用极限的定义去证明极限不作过高要求）。6理解无穷小、无穷大的概念，无穷小与无穷大、无穷小与一般极限的关系，掌握极限运算法则、极限存在准则和两个重要极限。7理解函数

6、在某点处连续和在某开区间或半开区间内或某闭区间上连续的概念，了解间断点的概念及分类。8理解复合函数、反函数、基本初等函数和初等函数的连续性，理解连续函数的运算法则，理解并会运用闭区间上连续函数的性质最值性定理、有界性定理和介值性定理。（六） 一元函数微分学1理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义和力学意义及函数的可导性与连续性的关系。2掌握导数的四则运算法则和基本导数公式，掌握复合函数求导法则及复合函数求导法，了解微分运算法则和一阶微分形式的不变性。3了解高阶导数的概念。4掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。5会求隐函数一阶、二阶导数，会求反函数的导数。6掌握利用对数求导法和由参数方程所表示的

7、函数的求导法。7理解罗尔定理、拉格朗尔定理、柯西定理。8会用洛必达法则求不定式的极限。9理解函数极值的概念，掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法。10掌握利用二阶导数判断曲线凹凸性的方法。11会用微分作图法作函数图象。（七） 一元函数积分学1解不定积分和定积分的概念和性质。 2掌握积分基本公式、不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法。3会求简单的有理函数的积分。4理解变上限定积分作为其上限的函数及其求导公式，掌握牛顿莱布尼兹公式。5了解无限区间上的广义积分和无界函数的广义积分的概念，并会计算这两种广义积分。6会用定积分表达一些几何量（面积、体积）。（八） 常微分方程1 解微分方程、微分

8、方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2 握可分离变常微分方程与差分方程量的一阶微分方程和一阶线性微分方程的解法。3 解一阶齐次微分方程，并从中领会用变量代替求解方程的思想。 4 解二阶线性微分方程解的结构。5 握二阶常系数齐次微分方程的解法。（九） 二重积分1 了解多元函数的概念、区域的概念、二元函数函数的几何意义。2掌握一些特殊曲面的方程3理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。4掌握二重积分的计算方法。5会用二重积分求一些立体的体积和平面图形的面积。 四、学时分配建议本课程共78学时，具体学时建议如下：课程内容理论讲授习 题 课小 计函数44极限与连续14216导数与微分1010中值

9、定理及导数应用10212不定积分88定积分及其应用10212常微分方程628二重积分628共计681078五、其他说明 （一）本课程建议教材及参考书1高等数学 同济大学应用数学系 编 高等教育出版社2高等数学内容、方法与技巧 孙清华 正小娇 编 华中科技大学出版社3高等数学习题课教程 华中科技大学数学系 编 华中科技大学出版社4高等数学辅导教材习题解析 苏志平 主编 北京工商出版社5高等数学辅导与考题解析 黄光谷 主编 华中科技大学出版社6高等数学习题课教程 黄松奇 主编 气象出版社7工科数学分析基础 马知恩 王綿森 编 高等教育出版社8高等数学释疑解难 高校工科数学课程教学指导委员会本科组 编 高等教育出版社 9高等数学辅导 盛祥耀等