高等数学B第十一章

1、讲授内容 §11.1 对坐标的曲线积分的概念§11.2 对坐标的曲线积分的计算教学目的与要求：、理解对坐标的曲线积分的概念.、掌握对坐标的曲线积分的性质.、熟练掌握对坐标的曲线积分的计算方法.教学重难点：重点第二类曲线积分的计算方法难点第二类曲线积分的反向变号性质.下限对应有向曲线的起点，上限对应终点.教学方法：讲练结合教学法教学建议：、建议对变力作功问题作仔细讲解，从而深化学生对第二类曲线积分概念的理解.、通过大量针对性的例题讲解及练习，使学生熟练掌握其计算.学时：2学时教学过程一、 对坐标的曲线积分的概念1. 引例：求变力沿有向曲线所作的功设在xOy面上有一质点从点A沿

2、光滑曲线弧L移动到点B,在移动过程中,质点受到变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用.其中P(x,y),Q(x,y)在L上连续.求变力F(x,y)作的功.1 / 53将L用其上的点A=M0(x0,y0),M1(x1,y1),Mn1(xn1,yn1),Mn(xn,yn)=B划分为n段.在第i个有向小弧段Mi1Mi任取一点(i,i),由于有向小弧段Mi1Mi光滑且很短,故可用有向线段Mi1Mi=(xi)i+(yi)j代替它,其中xi= xixi1,yi= yiyi1,因此变力F(x,y)沿有向小弧段Mi1Mi所作的功可看作常力F(i,i)沿有向线段Mi1Mi=(xi)i+(yi)j

3、所作的功,即：wiF(i,i)Mi1Mi=P(i,i)xi+Q(i,i)yi.以表示n个小弧段的最大长度,则变力F(x,y)沿有向曲线L所作的功为：W=wi=P(i,i)xi+Q(i,i)yi2. 对坐标的曲线积分的定义定义：设L为xOy面上点从A沿点B的一条光滑有向曲线弧,函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列A=M0(x0,y0),M1(x1,y1),Mn1(xn1,yn1),Mn(xn,yn)=B将L划分为n个有向小弧段Mi1Mi(i=1,2,n),在第i个有向小弧段Mi1Mi上任取一点(i,i),设xi= xixi1,yi= yiyi1,以表示n个小弧

4、段的最大长度,若极限P(i,i)xi存在,则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作：P(x,y)dx.同理,若极限Q(i,i)yi存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,记作：Q(x,y)dy.即：P(x,y)dx=P(i,i)xi；Q(x,y)dy=Q(i,i)yi 其中,P(x,y),Q(x,y)为被积函数；L为积分曲线.上述两个积分称为第二类的曲线积分.在应用上常将上述两个积分合起来写成：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(x,y)dx +Q(x,y)dy. 写成向量形式为：P(x,y)dx+Q(x,y)dy =F(x,y)dr其

5、中F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j;dr=dxi+dyj同理,当为空间有向曲线,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上有界,则定义：P(x,y,z)dx=P(i,i,i)xi Q(x,y,z)dy =Q(i,i,i)yi R(x,y,z)dz=R(i,i,i)zi.合起来即为：P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=P(x,y,z)dx +Q(x,yz)dy+R(x,y,z)dz3. 对坐标的曲线积分的性质：1) Pdx+Qdy=Pdx+Qdy +Pdx+Qdy2) P(x,y)dx=-P(x,y)dx；Q(x,y)dy=-Q(x,y

6、)dy；或者P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-P(x,y)dx+Q(x,y)dy； 这里-L为L的负方向.注：对坐标的曲线积分与方向有关，故必须注意积分方向.二、 对坐标的曲线积分的计算方法定理：设函数P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上连续,L的参数方程为：x=(t),y=(t)，当参数t单调地从变到时,点M(x,y)从L的起点A运动到终点B,(t)和(t)在以及为端点的闭区间上具有一阶连续的导数,且2(t)+2(t)0,则有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)(t) +Q(t),(t)(t)dt 证明：在L上任取点列：A=M0,M1,Mn1,Mn=B,它们对应一

7、列单调变化的参数值：=t0<t1<<tn1<tn=,由于P(x,y)dx =P(i,i)xi.设点(i,i)对应的参数值为i即：i= (i),i=(i),其中：ti1-i-ti.又由于xi=xi-xi-1=(ti)-(ti-1)积分中值定理(i)ti这里：ti= ti-ti1,ti1-I-ti.于是：P(x,y)dx =P(i),(i)(i)ti, 由(t)在,(或,)上连续(从而一致连续),可将i换为i,即有：P(x,y)dx =P(i),(i)(i) 由于P(t),(t)(t)连续,从而定积分存在,且有P(x,y)dx=P(t),(t)(t)dt同理： Q(x,y)

8、dy=Q(t),(t)(t)dt两式相加即有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)(t) +Q(t),(t)(t)dt注1） 下限对应于起点A,上限对应于终点B. 2） 对坐标的曲线积分的基本思想也是将其转化为对参变量的定积分.几种特殊情形：1) 曲线L的方程为：y=(x),则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=Px,(x)+Qx,(x)(x)dx 下限a对应于起点A,上限b对应于终点B.2) 设曲线L的方程为：x=(y),则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(y),y+Q(y),y(y)dy下限c对应于起点A,上限d对应于终点B.3) 当为空间曲线时,设其参数方程为：x=

9、(t),y=(t),z=(t)则：P(x,y)dx+Q(x,y)dy+R(x,y,z)dz=P(t),(t),(t)(t) +Q(t),(t),(t)(t)+R(t),(t),(t)(t)dt下限对应于起点A,上限对应于终点B.例1 计算：,其中L为：1） 半径为a,圆心为原点,按逆时针方向绕行的上半圆周；2） 从点A(a,0)到点B(-a,0)的直线段.解1)L的参数方程为：x=acos,y=asin(0<<)=0对应于起点A,=对应于终点B. = ;2)L的参数方程为： y=0,x从a到-a,=特点：积分值与路径有关.例2计算：,其中L为：1）抛物线y=x2上从点O(0,0)到

10、点B(1,1)的一段弧；2）抛物线x=y2上从点O(0,0)到点B(1,1)的一段弧；3）有向折线OAB,O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,0),(1,1). 解1)L：y=x2,x从0变到1；2xydx+x2dy=(2xx2+2x2x)dx=12) L：x=y2,y从0变到1；2xydx+x2dy =(2y2yy2+y4)dy=13)2xydx+x2dy =2xydx+x2dy +2xydx+x2dy 在OA上,L：y=0,x从0变到1；2xydx+x2dy=(2x0+x20)dx=0；在AB上,L：x=1,y从0变到1；2xydx+x2dy=(2y0+1)dy=1所以： 2xydx+

11、x2dy =1.特点：积分与路径无关.例3 计算：,其中L是用平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得的截痕,从z轴的正向看沿逆时针方向. 解 L的方程为：y=z,x2+y2+z2=1,它在xOy面上的投影为：x2+2y2=1,从而其参数形式为：x=cos,y=z=sin,且从0变到2,=例4 设有一质点在M(x,y)处受到力F的作用.力F的大小与点M到原点的距离成正比,力F的方向指向原点.此质点由点A(a,0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0,b),求力F所作的功.分析：根据对坐标曲线积分的物理意义，变力沿曲线L作功即为在L上的对坐标的曲线积分解由于OM=xi+yj,|OM|=,从而F=k(

12、xi+yj) (k>0为比例系数).所以F所作的功为：W=-kxdx-kydy=-kxdx+kydy由于弧AB的参数方程为：x=acos,y=bsin,其中=0对应起点A,=/2对应终点B,从而：W=k(a2-b2)=k(a2-b2)/2例5计算：,其中L是以点A(1,0),B(0,1),C(1,0)和D(0,1)为顶点的正方形的正向周界.解 (方法一)由于L：|x|+|y|=1,所以,在AB上,有x+y=1；在CD上,有x+y=-1；在BC和DA上,有x+y=0；从而有d(x+y)=0.所以：I=(方法二)因为：=0；=-2=0；=2所以,I=0.注：将积分曲线的方程直接代入被积表达式

13、有时可使被积函数化简，使计算简便.作业：P201 3(1)(3)(4)(5) P202 4(3)(4)(5)教学后记：复习思考题： 计算:,其中L是用平面y=z截球面所得的截痕,从z轴的正向看沿逆时针方向.讲授内容 §11.3 曲线积分与路径无关的条件教学目的与要求：1、掌握格林公式;2、掌握平面上的曲线积分与路径无关的条件;3、掌握二元函数的全微分求积教学重难点：重点通过本节的教学，使学生掌握格林公式，并能应用格林公式计算第二类曲线积分，掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数的全微分的原函数. 难点1. 平面曲线积分与路径无关的条件2. 二元函数的全微分求积教学方法：讲授法

14、教学建议：建议向学生强调格林公式使用的条件并举例说明.学时：4学时教学过程一、格林公式 单连通与复连通区域: 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下: 当观察者沿L的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边. 区域D的边界曲线的方向: 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有 , 其中L是D的取正向的边界曲线. 简要证明: 仅就D即是X型的又是Y型的区域情形进行证明. 设D=(x, y)|j1(x)&#

15、163;y£j2(x), a£x£b. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有 . 另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 . 因此 . 设D=(x, y)|y1(y)£x£y2(y), c£y£d. 类似地可证 . 由于D即是X型的又是Y型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得 . 应注意的问题: 对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D来说都是正向. 设区域D的边界曲线为L, 取P=-y, Q=x, 则由格林公式得 , 或. 例1求椭圆x=acos,y=bsin的

16、面积A.解 A=xdy-ydx =d=ab例2 计算,其中D是以O(0,0)、A(1,1)、B(0,1)为顶点的三角形闭区域.解令P=0,Q=,则-=,因此= (1-e-1)/2特点：应用格林公式将二重积分化为曲线积分例3 计算-2x3ydx+x2y2dy,其中L为x2+y21与x2+y22y所围区域D的正向边界. 解 因为-= 2xy2+2x3，所以-2x3ydx+x2y2dy=(2xy2+2x3)d=0特点：应用格林公式将对坐标的曲线积分化为二重积分，这也是格林公式主要应用例4 计算，其中L为抛物线上的由点（0，0）到（）的一段弧.分析：从被积函数以及积分曲线的方程来看，化为对参变量的定积

17、分来作不易，从而考虑用格林公式又由于曲线L不是封闭曲线，因此要想使用格林公式，必须先补线，使其封闭解 设L1为在上从（）到（0，0）的一段，L2为在上从点（）到（0，0）的一段，并记L+L1+L2为L0.由于， ，= =由格林公式有： =0，则有= - =例5 计算I=,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续曲线,L的方向为逆时针方向.解由于P=-;Q=-，且当x2+y20时,= =当(0,0)ÏD时,由格林公式有：I=0；当(0,0)ÎD时,以(0,0)为中心,以充分小的半径r作一圆,使整个圆含于L所围的区域中,则由格林公式有：-=0即：=2注：若积分曲线内含有奇

18、点时，不能直接应用格林公式，必须先用一条适当的曲线挖掉奇点后方可应用格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件1、定义：设G为平面开区域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续的偏导数,若对G内任意两点A和B及G内从点A到点B的任意两条曲线L1和L2,成立等式：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy则称曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关.显然,当曲线积分在G内与路径无关时,对G内任意的封闭曲线L,有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0；2、 平面上曲线积分与路径无关的条件定理：设G为平面开区域,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内

19、具有一阶连续的偏导数,则曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关的充分必要条件：="(x,y)ÎG.证明：(充分性)设L为G内的任意封闭曲线.由于G是单连通的,从而有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy =(-)d=0(必要性)设对G内的任意曲线L成立：P(x,y)dx+Q(x,y)dy =0.现证="(x,y)ÎG.假设在G内存在一点M0,使(-)0,不妨设(-)=>0由于Py,Qx在G内连续,由保号性定理知：存在U(M0)D,(x,y)U(M0),有-/2>0,于是在U(M0)内取一个以M0园心,以r0 为半经的园K,记K的正

20、向边界曲线为,圆K的面积为,在K 上,有P(x,y)dx+Q(x,y)dy =(-)d/2>0从而与已知条件矛盾.即=在G内恒成立.奇点：在G内函数P(x,y)、Q(x,y)、Py(x,y)或Qx(x,y)不连续的点称为奇点.三、二元函数的全微分求积讨论P(x,y)及Q(x,y)满足什么条件时,Pdx+Qdy是某个二元函数的全微分.定理：设开域G是单连通域,函数P(x,y)、Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为二元函数u(x,y)的全微分的充要条件是：="(x,y)ÎG .证明 (必要性)假设存在着某一函数 u(x,y)

21、,使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则必有：=P(x,y);=Q(x,y)从而=;=由Py(x,y)和Qx(x,y)连续有="(x,y)ÎG(充分性)若等式=在G内恒成立,则以M0(x0,y0)为起点,M(x,y)为终点的曲线积分与路径无关,从而此积分可表示为：Pdx+Qdy,当M0(x0,y0)固定时,它是一个二元函数,记为：u(x,y)= Pdx+Qdy. 下面证明u(x,y)满足du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.由于u(x+x,y)= Pdx+Qdy = Pdx+Qdy + Pdx+Qdy所以：u(x+x,y)-u(x,y)=Pdx+Qdy= P(

22、x,y)dx=P(x+x,y)x (01) 由P(x,y)连续,有=P(x+x,y)=P(x,y) 同理有：=Q(x,y)由于u(x,y)=Pdx+Qdy积分与路径无关,故选取平行于坐标轴的直线段连成的折线M0RM或者M0SM作为积分路径,则有： u(x,y)=P(x,y0)dx+ Q(x,y)dy或u(x,y)= Q(x0,y)dy+P(x,y)dx 例6.验证：在右半平面内(x>0)是某个二元函数的全微分,并求此函数.解令P=;Q=则有：=在右半平面内恒成立,从而是某个二元函数的全微分.取右半平面的点(1,0)作为起点,则有：u(x,y)=+ =0+= 注：点(x0,y0)可在相应满

23、足条件的区域内任意选取，求出的u(x,y)可能相差一个常数例7. 验证：(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某二元函数的全微分,并求此函数.解令P=3x2y+8xy2,Q= x3+8x2y+12yey；则=3x2+16xy= 在全平面内成立,取积分起点为(0,0),路径如图：u(x,y)=+ =0+(x3+8x2y+12yey)dy= x3y+4x2y2+12(y-1)ey0y= x3y+4x2y2+12(y-1)ey+12.下面介绍求u(x,y)的另一方法：因为=3x2+16xy=所以u(x,y)=(3x2y+8xy2)dx+(y)= x3y+4x2y2+(y)又

24、= x3+8x2y+(y)= Q= x3+8x2y+12yey；所以(y)=12yey,即：(y)= 12yeydy=12(y-1)ey+C从而u(x,y)= x3y+4x2y2+12(y1)ey+C.作业：P202 7(1)(2)(3),8(1) P203 9(1)(2),10(1),11教学后记：复习思考题： 1.在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, 那么(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G内的闭曲线积分是否为零? (3) 在G内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分? 2.在区域G内除M0点外

25、, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, 且恒有, G1是G内不含M0的单连通区域, 那么(1)在G 1内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G 1内的闭曲线积分是否为零?(3) 在G 1内P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分? 3. 在单连通区域G内, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏导数, , 但非常简单, 那么(1)如何计算G内的闭曲线积分? (2)如何计算G内的非闭曲线积分? (3)计算, 其中L为逆时针方向的上半圆周( 讲授内容 §11.4 对坐标的曲面积分的概念§11.5 对坐标的曲面积分的计

26、算教学目的与要求：1、掌握对坐标的曲面积分的概念与性质;2、掌握对坐标的曲面积分的计算方法;3、掌握两类曲面积分之间的关系教学重难点：重点对坐标的曲面积分的概念、计算方法.难点.计算曲面积分时，如何根据曲面的侧确定积分所带正负号对坐标的曲面积分的物理意义：流体流量问题的理解教法方法：启发式教学法，以讲授法为主教学建议：学时：2学时教学过程一、对坐标的曲面积分的概念1、曲面的侧双侧曲面：若光滑曲面是非封闭的,其边沿逐段光滑曲线为L.在上任取一点M0,过点M0作法线,这法线有两个方向,认定其中一个作为M0点出发方向,当动点M从M0出发,沿完全落在上的封闭曲线(不越过的边沿曲线L)运动,再次回到点M

27、0时：若法线的方向与原来的方向一致时,则称曲面是双侧的;若法线的方向与原来的方向相反时,则称曲面是单侧的.一般曲面都是双侧的.(以后总讨论双侧曲面).对封闭曲面而言,其两侧是指内侧和外侧；其中法线方向指向朝外的一侧规定为外侧,另一侧为内侧.对非封闭曲面z=z(x,y)而言,其两侧是指上侧和下侧.其中法向量与z轴正向的夹角小于/2的一侧为上侧.另一侧为下侧.同样,曲面有左侧、右侧;前侧、后侧.有向曲面：取定了法向量也即规定了侧的曲面称为有向曲面.1、 有向曲面的投影：设是光滑有向曲面.在上取一小曲面S,()xy为S在xoy面上的投影区域的面积.假定S上各点处的法向量与z轴正向的夹角的余弦cos有

28、相同的符号(即cos都是正的或都是负的)规定：S在xoy面上的投影为：(S)xy=即上侧曲面S的投影为正,下侧曲面的投影为负,cos0即()xy=0.同理可定义S在xoz面及yoz面上的投影为：(S)xz=(S)yz=其中,分别为法向量与x轴正向和y轴正向的夹角.2、 流向曲面一侧的流量设稳定流动(流速v与时间t无关)的不可压缩流体(设密度为1)的速度场为：v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,是速度场中的一片有向曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上连续.流量：即单位时间内流向指定侧的流体的质量.1）若为平面上面积为A的一块

29、闭区域,且流体在该闭区域上各点处的流速为常向量v,设n为该平面的单位法向量,则单位时间内流过这闭区域的流体质量为：|A|v|cos|=|Av·n|.其中=(vn)流向n侧的流体的质量,即流量规定为：= Av n.显然当(vn)</2时,流量为正；当(vn)=/2时,流量为0；当(vn)>/2时,流量为负,此时流体实际上流向-n侧,且流向-n的流量为- Avn. 2）若为有向曲面,流体流向指定侧的流速为v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.现求流体流向指定侧的流量.将划分为n个小片Si(Si也表示第i个小片的面积),在Si上任取一点(

30、i,i,i),以该点处的流速v(i,i,i)=P(i,i,i)i+Q(i,i,i)j+R(i,i,i)k代替Si上各点处的流速,以该点处曲面的单位法向量ni=cosii+cosij+cosik代替各点处的单位法向量,则流体流向Si指定侧的流量的近似值为：viniSi(i=1,2,n)于是流体流向指定侧的流量为： viniSi= P(i,i,i)cosi+Q(i,i,i)cosi+R(i,i,i)cosi Si= P(i,i,i) (Si)yz+Q(i,i,i) (Si)xz +R(i,i,i) (Si)xy令0(为各小曲面的最大直径)则得流量的精确值.3、 对坐标的曲面积分的定义定义：设为光滑

31、有向曲面.R(x,y,z)在上有界,把任意分成n次,Si(其面积也记作Si)在xoy面上的投影为(Si)xy, (i,i,i)为Si上的任意一点,为各小曲面的最大直径,若R(i,i,i) (Si)xy存在,则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,y的曲面积分,记作R(x,y,z)dxdy=R(i,i,i) (Si)xy其中R(x,y,z)为被积函数,为积分曲面.同理P(x,y,z)在曲面上的对坐标y,z的曲面积分为： =P(i,i,i) (Si)xz；Q(x,y,z)在曲面上的对坐标x,z的曲面积分为：Q(x,y,z)dxdz =Q(i,i,i) (Si)xz；合起来可写成：P(

32、x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy5、对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有相似的性质,如：1） Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=Pdydz+Qdxdz+Rdxdy+Pdydz+Qdxdz+Rdxdy2） Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=-Pdydz+Qdxdz+Rdxdy；因此对坐标的曲面积分必须注意曲面的所取的侧.二、对坐标的曲面积分的计算方法定理：设曲面方程为z=z(x,y),取曲面的侧为上侧,在xoy面上的投影区域为Dxy,函数z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续的偏导数,R(x,y,z)在上连续,则有：R(x,y,

33、z)dxdy =Rx,y,z(x,y)dxdy证明：由于R(x,y,z)dxdy =R(i,i,i) (Si)xy 因为所取曲面为上侧,所以cos>0, (Si)xy =(i)xy又因(i,i,i)在曲面上,从而i=z(i,i)于是有：R(i,i,i) (Si)xy =Ri,i, z(i,i) (i)xy令0,则有： R(x,y,z)dxdy =Rx,y,z(x,y)dxdy当所取曲面为下侧时,由于cos<0,(Si)xy=-(i)xy所以R(x,y,z)dxdy =-Rx,y,z(x,y)dxdy 注：对坐标的曲面积分的计算分两步：1）将曲面方程z=z(x,y)代入R(x,y,z

34、)中,在Dxy上作二重积分；2）定号：上侧取+,下侧取-同理若曲面方程为：x=x(y,z),则有：P(x,y,z)dydz =±Px(y,z),y,zdydz；其中“+”对应曲面的前侧(cos>0),“-”对应曲面的后侧(cos<0)；若曲面方程为：y=y(x,z),则有：Q(x,y,z)dxdz =Qx,y(x,z),zdxdz其中“+”对应曲面的右侧(cos>0),“-”对应曲面的左侧(cos<0).例1计算；其中是柱面x2+y2=4介于0z1之间的部分,法向量指向oz轴.解 由于在xoy面上的投影区域的面积为0,即：(S)xy=0,所以I=0.例2计算I

35、=xyzdxdy,其中是球面x2+y2+z2=1=1的外侧在x0和y0的部分.解 将分为1和2两部分,其中1：z=-,取下侧；2：z=,取上侧.1和2在xoy面上的投影区域均为Dxy：x2+y21,x0,y0.I=xyzdxdy=xyzdxdy+xyzdxdy=-xy(-)dxdy+xydxdy=2xydxdy=2=2=2/15例3计算：I=(2x+z)dydz+zdxdy其中：z=x2+y2(0z1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角.解 将分为1和2两部分，其中1：x=,取后侧；2： x=-,取前侧.1和2在yoz面上的投影区域均为Dyz：y2z1.(2x+z)dydz=(2x+z)dydz

36、+(2x+z)dydz=(2+z)dydz+(-2+z)dydz=-4dydz=-4=-4=-=- =- =-=-在xoy面上的投影区域均为Dxy：x2+y21.取上侧zdxdy=(x2+y2)dxdy=/2所以I=(2x+z)dydz+zdxdy=(2x+z)dydz+zdxdy=-+(/2)=-/2注：对坐标的曲面积分的计算,当为组合型时,按照“一投、二代、三定号”的法则,先将单一型的曲面积分划为二重积分,然后再组合.这里：“一投”：将积分曲面投向单一型曲面积分中指定的坐标面；“二代”：将的方程化为投影面上两变量的显函数,再用此函数代替被积函数中的另一变量；“三定号”：依据所取的侧,确定二

37、重积分前面的所要取的“+”或“-”.其中“+”对应于的上侧或前侧或右侧；“-” 对应于的下侧或后侧或左侧.作业：P203 14(1)(2)( 4)(5) 教学后记：复习思考题：计算；其中是柱面介于0z1之间的部分,法向量指向oz轴.讲授内容 §11. 6 高斯公式与斯托克斯公式教学目的与要求：1、理解并掌握高斯公式;2、掌握通量与散度的概念;会利用高斯公式计算曲面积分.3、理解并掌握斯托克斯公式及其证明;4、掌握向量场的环流量与旋度;会利用斯托克斯计算闭曲线上的曲线分.教学重难点：重点会用高斯公式，斯托克斯公式计算曲面、曲线积分. 难点高斯公式,散度.高斯公式的证明. 斯托克斯公式,

38、斯托克斯公式的证明.教法方法：讲练结合教学法教学建议：学时：2学时教学过程一、高斯公式 定理1设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数, 则有(+)dv=Pdydz+Qdxdz+Rdxdy或 (+)dv=(Pcos+Qcos+Rcos)dS 简要证明 设W是一柱体, 上边界曲面为S1: z=z2(x, y), 下边界曲面为S2: z=z1(x, y), 侧面为柱面S3, S1取下侧, S2取上侧; S3取外侧. 根据三重积分的计算法, 有 另一方面, 有 以上三式相加, 得 所以 类似地有 把以上

39、三式两端分别相加, 即得高斯公式. 例1 利用高斯公式计算曲面积分, 其中S为柱面及平面z=0, z=3所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧. 解 这里P=(y-z)x, Q=0, R=x-y, 由高斯公式, 有 . 例2 设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明：uvdxdydz=udS-(+)dxdydz或者uvdxdydz=udS-(gradugradv)dxdydz其中是闭区域的整个边界曲面,为函数v(x,y,z)沿的为法线方向的方向导数,符号：=+称为Laplace算子.此公式称为格林(Green)第一公式证明 因为=cos+cos+cos

40、其中cos,cos,cos是上点(x,y,z)处的单位法向量的方向余弦,所以：udS=u(cos+cos+cos)dSgauss+dxdydz=uvdxdydz+(+)dxdydz移项即得所需等式.例3 设为光滑封闭曲面,n是的外法线向量,l为一固定向量,为n与l的夹角,证明： cosdS=0.解 可设：n=(cos,cos,cos),l=(a,b,c),且都是单位向量.所围区域为,则cos=acos+bcos+ccos所以： cosdS=( acos+bcos+ccos)dS=0dv=0二、通量与散度 高斯公式的物理意义: 将高斯公式 改写成 其中vn=v×n=Pcosa +Qco

41、sb +Rcosg, n=cosa , cosb , cosg是S在点(x, y, z)处的单位法向量. 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量, 左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量. 散度: 设W的体积为V, 由高斯公式得 其左端表示W内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值. 由积分中值定理得 令W缩向一点M(x, y, z)得 上式左端称为v在点M的散度, 记为divv, 即 其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量. 一般地, 设某向量场由 A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z

42、)k 给出, 其中P, Q, R具有一阶连续偏导数, S是场内的一片有向曲面, n是S上点(x, y, z)处的单位法向量, 则叫做向量场A通过曲面S向着指定侧的通量(或流量), 而叫做向量场A的散度, 记作div A, 即 高斯公式的另一形式: , 或其中S是空间闭区域W的边界曲面, 而 An=A×n=Pcosa+Qcosb+Rcosg是向量A在曲面S的外侧法向量上的投影. 三、斯托克斯公式 定理1 设G为分段光滑的空间有向闭曲线, S是以G为边界的分片光滑的有向曲面, G的正向与S 的侧符合右手规则, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面S(

43、连同边界)上具有一阶连续偏导数, 则有 记忆方式: 或 其中n=(cosa , cosb , cosg)为有向曲面S的单位法向量. 讨论: 如果S是xOy面上的一块平面闭区域, 斯托克斯公式将变成什么? 例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分, 其中G为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则. 解 设S为闭曲线G所围成的三角形平面, S在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy , 按斯托克斯公式, 有 . 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分 , 其中G是用平面截立方体: 0£x£1

44、, 0£y£1, 0£z£1的表面所得的截痕, 若从x轴的正向看去取逆时针方向. 解 取S为平面的上侧被G所围成的部分, S的单位法向量, 即. 按斯托克斯公式, 有 . 其中Dxy为S在xOy平面上的投影区域, 于是 提示 : 四、环流量与旋度 旋度: 向量场A=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)所确定的向量场 称为向量场A的旋度, 记为rotA, 即 旋度的记忆法: 斯托克斯公式的另一形式: 或其中n是曲面S上点(x, y, z)处的单位法向量, t是S的正向边界曲线G上点(x, y, z)处的单位切向量. 沿有向

45、闭曲线G的曲线积分 叫做向量场A沿有向闭曲线G的环流量. 上述斯托克斯公式可叙述为: 向量场A沿有向闭曲线G 的环流量等于向量场A的旋度场通过G所张的曲面S的通量. 作业：P204 15(1)(2)(3)教学后记：复习思考题：计算其中为曲面与平面z=0所围立体的表面外侧.讲授内容 §11. 7 两类曲线积分、曲面积分的联系教学目的与要求：1、掌握两类曲线积分之间的联系2、掌握两类曲面积分之间的联系3、会用两类曲线、曲面积分之间的关系解题.教学重难点:重点两类曲面、曲线积分的相互转化关系难点如何用两类积分的转化公式简化曲线、曲面积分计算.教学方法：讲练结合教学法教学建议：学时：学时教学

46、过程一、两类曲线积分之间的联系 由定义, 得 , 其中F=P, Q, T=cost, sint为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds=dx, dy. 类似地有 . 其中F=P, Q, R, T=cosa, cosb, cosg为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds =dx, dy, dz .二、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面S由方程z=z(x, y)给出的, S在xOy面上的投影区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函数R(x, y, z)在S上连续. 如果S取上侧, 则有 另一方面, 因上述有向曲面S的法

47、向量的方向余弦为 故由对面积的曲面积分计算公式有 由此可见, 有 如果S取下侧, 则有 但这时, 因此仍有 类似地可推得 综合起来有 其中cos a、cos b、cos g是有向曲面S上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式: 或其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, cos g)是有向曲面S上点(x, y, z)处的单位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 称为有向曲面元, An为向量A在向量n上的投影. 例1 计算曲面积分, 其中S是曲面介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧. 解 由两类曲

48、面积分之间的关系, 可得 在曲面S上, ( 提示: 曲面上向下的法向量为(x, y, -1) ) 故 =8p. 作业：P203 14(3), P205 17(1),19,20 教学后记：复习思考题：计算I=,其中为球面的外侧.讲授内容 第十一章习题课教学目的与要求：、理解两类曲线积分的概念.知道两类曲线积分的性质.、掌握两类曲线积分的计算方法.、熟悉格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件.、知道两类曲面积分的概念及高斯公式、斯托克斯公式，并会计算两类曲面积分.、知道散度、旋度的概念.、能用曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量（如体积、质量、重心等等）.教学重难点：重点曲线积分，曲面积分，格林公式，高斯公式难点对坐标的曲面积分的概念与计算教学方法：讲练结合法，以学生练习为主教学建议：学时：学时教学过程 一