阶微分方程的初等解法

1、第二章 一阶微分方程的初等解法例2-1 求的通解。解 解法1 不定积分法。令,，则 ，所以该方程为恰当方程。，关于积分，得，所以通解为。解法2 公式法利用恰当方程求解方法3中公式得方程通积分为解法3 分组法去括号重新分组可得积分，得原方程的通解为 。评注：求解一个对称形式方程的时候，首先应当判定它是不是恰当方程，如果是，则就可以直接进行求解，否则求其积分因子将方程化为恰当方程来求解。实际应用中，往往在判断一个方程为恰当方程之后，并不需要严格按照解法1和解法2的常规方法求解，而可以采用分项组合的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分，这样可以简化运算量，因此需要熟悉以下二

2、元函数的全微分公式：1 / 16， ， ，。例2-2 求方程的通解。解 经判断 ，所以该方程不是恰当方程。分组得显然前两项具有积分因子，相应的全微分为，要使得成立。只需取，即可，这样就找到了一个积分因子。原方程两边同乘，可得，所以通解为 。评注：当一个方程不是恰当方程时，寻求积分因子便成了求解此类方程的一个有效途径，分组组合法降低了寻找积分因子的难度，这就要求大家熟悉常见的二元函数的全微分公式。例2-3 求方程的通解。解 由于，所以原方程不是恰当方程。解法1 可将原方程改写为 ，左端有积分因子或，但考虑到右端只与变量有关，故取为方程的积分因子，因此有，两边积分可得通解 ，易见也是原方程的解。解

3、法2 也可将原方程改写为，这是齐次方程。令，即可进行求解。解法3 将看作未知函数，原方程可化为线性方程 ，从而可就进行求解。解法4由于，只与有关，所以存在关于的积分因子，以乘以方程两端，得到 ，为恰当方程，即，因而通解为 ，另外，易见也是原方程的解。评注：解法1体现了选取积分因子的一般原则，如果积分因子选取恰当，则解方程的难度就会降低；解法2运用了转化的思想，将原方程化为可分离变量的方程；解法3体现了在求解常微分方程时，变量和具有同等重要的地位，有时侯将看成的函数，则方程很容易就求解；当判定只与 有关或者只与有关时，运用解法4可以很方便地求出积分因子，但必须注意乘以积分因子可能出现使此积分因子

4、为零的多余特解，同时应该注意在对方程作同解变形时，会不会产生漏解的情况，如果漏掉则应当补上，例如上例当中的。例2-4 证明方程有形如的积分因子的充要条件是，并求出这个积分因子。证 由定理2.2，方程有积分因子的充要条件是 。令，则有即满足下列微分方程 ，上式右端应为的函数，这就证明了为方程的积分因子的充要条件为。求解一阶方程 ，得积分因子为 。评注：此例对于探索积分因子极为有用。若令，则可分别获得方程 具有以下形式积分因子的充分必要条件分别为，。例2-5 求方程的通解。解 对第一项，可以取，乘以得，因此可取第一项的积分因子通式为。同理第二项的积分因子通式为。容易看出，若取，则两项的积分因子相等

5、为这就是方程的积分因子。 如果不易观察到所需的，我们可以尝试用下面方法。现设，我们选择使得成立。比较两边的次数，得 ，从而求得 。因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是。将所求积分因子乘原方程两端得，即有 ，故通解是 。评注：用分组法求积分因子的关键在于方程恰当分组和寻求各组的共同积分因子。例2-6 求下列方程的通解。1） 2） 解 1） 解法1 设有积分因子，则为恰当方程，于是，比较系数可得，解之得，因此，积分因子为。将所求积分因子乘以分组后方程得 ，即有 ，容易得出原方程的通积分是。解法2 方程各项重新组合为 ，对第一个括号，可以取，乘以得，因此可取第一个括号的积分因子的通式为。同理

6、第二个括号的积分因子的通式为。现设，我们选择使得=成立。比较两边的次数，得 ，从而求得 。因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是。接下来同解法1，略。2） 方程各项重新组合为 ，对第一个括号，可以取，乘以得，因此可取第一个括号的积分因子通式为。同理第二个括号的积分因子通式为。现设，我们选择使得成立。比较两边的次数，得 ，从而求得 。因此两项的公共积分因子，即原方程的积分因子是。将所求积分因子乘以分组后方程得 ，即有 容易得出通积分是或。评注：待定指数法提供了当对称形式方程的系数为多项式时求积分因子的一个一般性方法，具有一定的实用价值。如果通过比较指数法解不出和，或者和得表达式比较复杂，这

7、时可以考虑利用分组法来求积分因子。例2-7 解方程 。解 方程各项重新组合为 ，此时，可令，上方程化为，解之得 ，回代变量得原方程的通积分为，另外也是方程的解。评注：通过变量变换，降低了方程的求解难度，但是究竟采用怎样的变换，一般而言，没有规律可循。从此例中我们可以看到，有时可将方程变形，在这个过程中观察其特点，寻找恰当的变换。例2-8 求解方程。解 设，原方程写为 （1）两边关于求导，得到，化简后得到，由此可得或把代入（1），得原方程的一个特解；由方程，解得，代入（1），得到原方程的通解。评注：属于第一类能解出(或)的方程 ，引进参数 ，则原方程变为 ，两边关于求导，得到的关系式。注意要全面

8、考察这个关系式，有的已经是的直接表示式，对应方程的奇解；而有的还须求解关于的微分方程，对应方程的通解。例2-9 求解方程 。解 这是隐式方程的求解问题。令，则 ，代入原方程，得整理得方程，即这是关于的克莱洛方程，其通解为，奇解为。从而可得原方程的通解和奇解分别为。评注：运用适当的变换将方程转化为可积类型或一些特殊方程，从而即可求解原方程，这就需要熟悉常见的可积方程，例如迫努利方程，黎卡提方程，雅可比方程等。例2-10 求满足下列关系式的函数。1） 2） 解 1） 给方程两端关于求导得，则求解积分方程就等价于求解初值问题。 解上面微分方程得其通解为 ，即 。满足初始条件的解为。2） 给方程两端关于求导得，对上方程两端关于再求导得。这样，求解原积分方程就等价于求解初值问题。 方程是迫努利方程，两端同除以，变形为，即解之得方程 得通解为 即 。故满足初始条件的解为 。评注：本题是一类积分方程的求解问题，通常是通过对方程关于求导，转化为求解常微分方程的初值问题。需要熟悉变上限函数的求导公式和含参变量积分的求导公式。例2-11 设函数在上连续，且满足方程求。解 显然有。由于 ，于是， 两边关于