八年级轴对称解答题(培优篇)(Word版含解析)

1、八年级轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1.在梯形 A3CD 中，AD/BC, ZB = 90°, ZC = 45°, A8 = 8, 8C = 14,点 £、F 分别在边A3、CO上，EFHAD,点P与AO在直线的两侧，ZEPF = 90。,PE = PF,射线石尸、尸尸与边3c分别相交于点M、N,设AE = x，=（1）求边AO的长；（2）如图，当点P在梯形A8CQ内部时，求关于x的函数解析式，并写出定义域：（3）如果MN的长为2,求梯形AEF£）的面积.【答案】（1）6： （2） y=-3x+10（lW

2、xV?）： （2）号或 32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出 AD的长：（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去 x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围：（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值， 然后根据梯形而积求解即可.【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点HVZC=45°, DH±BC/.DHC是等腰直角三角形四边形ABCD是梯形，ZB=90°，四边形ABHD是矩形，DH=AB=8A H

3、C=8.BH=BC-HC=6AAD=6(2)如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q,反向延长交BC于点R, DH与EF交于AZEFP=Z C=45°VEP±PF.EPF是等腰直角三角形同理,还可得NPM和4DGF也是等腰直角三角形VAE=xA DG=x=GF,. EF=AD+GF=6+xV PQ±EB. PQ=QE=QF同理，PR=-y 2,TAB=8, AEB=8-xVEB=QR1 乙 1.8-x=-(6 + x) + -j化简得：y=3x+10 1°Vy>0> /.x< 当点N与点B重合时，x可取得最小值则 BC=NM+MC=NM

4、+EF=-3x+10+6 + X = 14,解得 x=l -0 1 Wx V 3(3)情况一：点P在梯形ABCD内，即(2)中的图形Q即y=2,代入(2)中的关系式可得：x= - =AE1二 S 梯形 A8C。=3乂6 + 6 +83)8 176 x =39与（2）相同，可得y=3x-10则当y=2时，x=4,即AE=4情况二：点P在梯形ABCD外，图形如下:，S梯形abco =；x（6 + 6 + 4）x4 = 32【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）间中确定x的取值范围，需要 一定的空间想象能力.2.如图，在aABC中，AB=BC=AC=20 cm.动点P, Q分

5、别从A, B两点同时出发，沿三角 形的边匀速运动.已知点P,点Q的速度都是2cm/s,当点P第一次到达B点时，P, Q两 点同时停止运动.设点P的运动时间为t（S）.（1） ZA=度；（2）当0<tV10,且AAPCl为直角三角形时，求t的值:（3）当AAPCl为等边三角形时，直接写出t的值.【答案】（1）60： （2） W或少；（3） 5或2033【解析】【分析】根据等边三角形的性质即可解答；(2)需分/ APQ=90。和N AQP=90。两种情况进行解答；(3)需分以下两种情况进行解答：由NA=60。，则当AQ=AP时， APQ为等边三角形：当P于B重合，Q与C重合时，4APQ为等边

6、三角形.【详解】解:(1) 60°.(2) / Z A=60°,当NAPQ=90°时，N AQP=90° 60°=30°.QA=2PA.即 20-2r = 2/x2.解得3当NAQP=900时，N APQ=90° 60°=30°. PA=2QA.即 2(20 2，)= 2九解得/ = *，当且APQ为直角三角形时，t的值为与或学.33(3)由题意得：AP=2t, AQ=20-2tV NA=60".当AQ=AP时， APQ为等边三角形A2t=20-2t,解得 t=5当P于B重合，Q与C重合，则所用

7、时间为：44-2=20综上，当4APQ为等边三角形时，t=5或20.【点睛】本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨 论以及对所学知识的灵活应用.(1)若将绕点A逆时针旋转，连接。& M是DE的中点，连接M8、MC (图2), 证明：MB=MC.（2）若将图1中的CE向上平移，NC4E不变，连接OE, M是的中点，连接M8、MC （图3）,判断并直接写出M8、MC的数量关系.（3）在（2）中，若NC4E的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的例8、MC的 数量关系还成立吗？说明理由.【答案】（1）见解析：（2）M8=MC.理由见解析；（3）M

8、8=MC还成立，见解析.【解析】【分析】（1）连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE, AB=AC,全等三角形对应角相等 可得NBAD=/CAE,再根据等腰三角形三线合一的性质得到NMAD二NMAE,然后利用“边角 边”证明AABM和ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证：（2）延长DB、AE相交于E',延长EC交AD于F,根据等腰三角形三线合一的性质得到 BD二BE',然后求出MBAE',再根据两直线平行，内错角相等求出NMBC二/CAE,同理求 出MCAD,根据两直线平行，同位角相等求出NBCM二NBAD,然后求出NMBC二NBCM,再根 据等角对

9、等边即可得证；（3）延长BM交CE于F,根据两直线平行，内错角相等可得NMD即NMEF, NMBD;NMFE, 然后利用“角角边”证明MDB和AMEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB二MF,然 后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可.【详解】/. AD=AE , AB=AC , Z BAD=A CAE.,/ MD=ME ,：.Z MAD=N MAE ,：.Z MAD-4 BAD=A MAE-Z CAE , 即 N8AM=N CAM.在48M和4CM中，AB=AC ,Z BAM=Z. CAM ,AM=AM ,：. ABM ACM ( SAS ),/. MB=MC.(2 ) MB

10、=MC .理由如下：如图(3),延长CM交D8于F,延长8M到G,使得MG=8M,连接CG.(3)CEW BD , , Z MEC=N MDF , Z MCE=N MFD. .M是E。的中点， . MD=ME.在a MCE和MFD中，Z MCE=N MFD ,Z MEC=N MDF ,MD=ME ,：. MCE=4 MFD ( AAS ). , MF=MC.：.在 MF8 和MCG 中，MF=MC ,Z FMB=N CMG tBM=MG ,，a MFB 4 MCG ( SAS ). , FB=GC , Z MFB=N MCG ,/. CGII BD,即G、Cx E在同一条直线上.Z GCB=9

11、0在仆FBC和AGCB中，FB=GC ,Z F8C=Z GCB ,BC=CB ,:, & FBC 丛 GCB ( SAS )./. FC=GB.1 1/. MB=-GB=-FC=MC.2 2(3 )还成立.如图(4),延长8M交CE于F,延长CM到G,使得MG=CM,连接8G.CEII BD ,/. Z MDB=Z MEF , Z MBD=N MFE.又是。E的中点，MD=ME.在MD8和乂£中，Z MDB二N MEF ,Z MBD=N MFE tMD=ME ,：. MDB MEF ( AAS ), MB=MF. CEW BD ,/. Z FCM=Z BGM.在aFCM和8G

12、M中，CM=MG ,Z CMF=N GMB ,MF=MB ,. FCM经 BGM ( SAS ). CF=BG , Z FCM=4 BGM.：.CF/BG,即D、8、G在同一条直线上.在仆CFB和8GC中，CF=BG ,Z FCB=Z GBC ,CB=BC ,: & CFB* 丛 BGC ( SAS ).BF=CG.1 1/. MC=-CG=-BF=MB .2 2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质, 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较 强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的

13、关键.4.如图1,在43。中，N84C = 90。，点。为AC边上一点，连接8D,点、E为BD 上一点，连接CE，/CED = ZABD,过点A作力GLCE,垂足为G,交于点F.求证：ZFAD = 2ZABDx如图2,若AC = CE,点。为4c的中点，求证：AB = ACx在的条件下，如图3,若EF = 3,求线段。尸的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析：（3） 6【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得/4。8 = 90。/钻。，ZEFG = 900-ZCED,然后 根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得NAFD = NA0f进而可

14、得=ZBFA = /CDE,然后即可根据AAS证明AAB/gACEQ,可得48 = CE,进一步即 可证得结论；（3）连接AE,过点A作A”_LAE交50延长线于点，连接C"，如图4.先根据已 知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出NAED = 45。，进而可得AE = AH,然后即可根据SAS证明ABEgaACM,进一步即可推出NC"Z） = 90。，过点 A作AK_L。于K,易证AKDgaCHD,可得DK = DH ,然后即可根据等腰三角形的 性质推得DF=2EF,问题即得解决.【详解】（1）证明：如图 1, .440 = 90。，.NAP8 = 90ONA3

15、O,v AG 1CE，/.ZFGE = 90%ZEFG = ZAFD = 900 - ZCED,:.ZFAD = 180°-ZAFD - ZADF = ZCED+ZABD,'：ACED = ZABD, :.ZFAD = 2ZABDi(2)证明：如图 2, .NAFO = 90ONCE£), ZADB = 900-ZABD, ZCED = ZABD,:.ZAFD = ZADF, :.AF = AD, ABF A = ZCDE, 点。为AC的中点，4>=CD, .A尸=8,:.AABF g ACED (AAS) , /.AB = CE， , CE = AC, /.

16、 AB = AC；(3)解：连接AE，过点A作A" _L A上交8。延长线于点，连接，如图4. vZAC = 90% :.ZBAE = ZCAH,设ZA5O = NCEZ) = a,则N必。=2a,ZACG = 90。2。， ：CA = CE, :.ZAEC = AEAC = 45Q+a, :.ZAED = 45°, ZAHE = 45°, AE = AH -AB = AC> A AABEhACH (SAS),/. ZAEB = ZAHC = 135°, :.ZCHD = 90°，过点 A作 AK_LED于 K, .NAKD = NC&q

17、uot;Z) = 90。， v AD = CD, ZADK = ZCDH ,：,AKDCHD (AAS) , :.DK = DH，V AK J_ DF, AF = AD, AE = AH t :.FK = DK,EK = HK,:.DH = EF = 3, :.DF = 6.【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角 形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点 多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、 灵活应用上述知识是解题的关键.5.数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角

18、为36。的等腰三角形我们称之为黄金三 角形，"黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等 腰三角形，为此，请你，解答问题：（1）已知如图1：黄金三角形AABC中，NA=36。，直线BD平分NABC交AC于点D,求 证：4ABD和ADBC都是等腰三角形；AB（2）如图，在AABC中，AB=AC, NA=36。，请你设计三种不同的方法，将ABC分割成三 个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角 的度数.（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36。，求原三 角形的最大内角的所有可能值.【答案】

19、（1）见解析：（2）见解析；（3）最大角的可能值为72。，90。，108。，126。， 132°【解析】【分析】（1）通过角度转换得到NABD=NBAD,和NBDC=72°=NC,即可判断;（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可：（3）设原4ABD中有一个角为36。，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：当分割的直线 过顶点B时当分割三角形的直线过点D时情况和过点B 一样的，当分割三角形的直线 过点A时，在分别求出最大角的度数即可.【详解】解：（1）证明：NABC= （180-36） +2=72： BD 平分NABC, NABD=72+2=36°

20、,AZABD=ZBAD,.ABD为等腰三角形，.-.ZBDC=72°=ZC,.BCD为等腰三角形：（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示:（3）设原4ABD中有一个角为36。，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：当分割的直线过顶点B时，11 ：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时NA=36O,ND=36°, ZB=72 + 36=108% 最大角的值为 108°；2：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时：ZA=36°/ZD=18 ZB=108+18=1

21、26°,最大角的值为 126°；【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况 BCD 以 B 为顶点：ZA=36% ZD=72°, ZABD=72°,最大角的值为72°： BCD 以 C 为顶点：ZA=36% ZD=54%A ZABD=90°,最大角的值为90。： BCD 以 D 为顶点：ZA=36% ZD=36°A ZABD=108°,最大角的值为108。：当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的;当分割三角形的直线过点A时，此时NA=36°, ZD=12°,

22、ZB=132°,最大角的值为132°；综上所述:最大角的可能值为72。, 90°, 108。，126°, 132°.【点睛】本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关 键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.6.如图，在平面直角坐标系中，A （ - 3 , 0）,点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上.（1）如图，若NBAO = 60。，NBCO=40。，BD、CE是aABC的两条角平分线，且BD、CE交 于点F,直接写出CF的长.（2）如图，4ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边B

23、CQ,连接QD并2延长，交y轴于点p ,当点C运动到什么位置时，满足PD=-DC?请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边aABP,点B在y轴上运动时，求OP的最小【答案】（1）6；（2 ）C的坐标为（12,0） ；（3）值.3【解析】【分析】(1)作 NOCH = 10°, CH 交 8。的延长线于 H,分别证明O8Dg2HC。和根据全等三角形的对应边相等解答；(2 )证明CB4gAQ8。，根据全等三角形的性质得到N8DQ=N847=60。，求出CD,得 到答案；(3)以04为对称轴作等边ADE,连接EP,并延长EP交x轴于点£证明点P在直线EF 上运动

24、，根据垂线段最短解答.【详解】解：(1)作/DCH = 10。，CH交BD的延长线于H ,ZBAO = 60° ,AZABO = 30° ,AAB = 2OA = 6 ,ZBAO = 60° , ZBCO = 40° ,/. ZABC = 180° - 60° - 40° = 80° ,；BD是ABC的角平分线，AZABD = ZCBD = 40° r/. ZCBD = ZDCB , ZOBD = 40° - 30° = 10° ,ADB = DC ,在aOBD和aHCD中，

25、ZOBD=ZHCD< DB = DC4ODC=4HDCAAOBDAHCD ( ASA ),AOB = HC ,EaAOBaFHC 中，ZABO=ZFCHOB = HCZAOB=ZFHCAAAOBAFHC ( ASA ),ACF=AB=6 ,故答案为6 ；(2):ABD和ABCQ是等边三角形,工 ZABD= ZCBQ = 60° f, ZABC=ZDBQf在aCBA 和2XQBD 中，BA = BD< ZABC = NDBQBC = BQ .AACBAAQBD ( SAS ),AZBDQ=ZBAC = 60° ,，NPDO 二 60。，Z.PD = 2DO = 6

26、 ,2VPD= - DC ,3A DC = 9, KP OC = OD+CD = 12 ,，点C的坐标为(12 , 0)；(3)如图3,以OA为对称轴作等边AADE,连接EP,并延长EP交x轴于点F.由(2)得，ZiAEPgZkADB , NAEP = NADB = 1200 ,，ZOEF = 60° ,/.0F = 0A = 3 ,，点P在直线EF上运动,当OP_LEF时，OP最小,1 3AOP= -OF= -2 23 则OP的最小值为一.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关犍.7.已知A8C.（1）

27、在图中用直尺和圆规作出的平分线和BC边的垂直平分线交于点。（保留作图 痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若点。、石分别是边3C和A8上的点，且CD = BE,连接OD、0E求证：OD = OE；（3）如图，在（1）的条件下，点E、尸分别是A3、8c边上的点，且班厂的周 长等于8c边的长，试探究NABC与NEOE的数量关系，并说明理由.nDf图图0【答案】（1）见解析：（2）见解析；（3） NA8C与NEOF的数量关系是ZABC + 2ZEOF = SO ,理由见解析.【解析】【分析】（1）利用基本作图作NABC的平分线：利用基本作图作BC的垂直平分线，即可完成；（2）如图，设BC的垂直

28、平分线交BC于G,作OH_LAB于H,用角平分线的性质证明OH=OG, BH=BG,继而证明EH =DG,然后可证明0E“三OQG, 于是可得到OE=OD：（3）作OH_LAB于H, OGJ_CB于G,在CB上取CD=BE,利用得到CD=BE, OEH = ODG. OE=OD, ZEOH = ZDOG,ZA8C + NHOG = 180 ,可证明 NEO£）= N/OG,故有NA8C + NEOO = 180，由4在厂的周长=BC可得到DF=EF,于是可 证明M）EF = &9GF,所以有/EOF = NDOF,然后可得到NA8C与ZEOF的数量关系.【详解】解：（1）如图

29、，就是所要求作的图形；（2）如图，设BC的垂直平分线交BC于G,作OH_LAB于H,二BO 平分NABC, OH±AB, OG 垂直平分 BC,，OH=OG, CG=BG, OB = OB, . OBH = OBG,，BH=BG,VBE=CD,A EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG,在AOEH和AODG中，OH = OG NOHE = ZOGD = 90 , EH = DG:.OEH = ODGt，OE=OD.(3) NA8C与/EOF的数量关系是NA3C + 2NEOf= 180 ,理由如下;如图，作OH_LAB于H, OG_LCB于G,在CB上取CD=BE,由可知，因

30、为CD=BE,所以OE”三OQG且OE=OD, ZEOH =4DOG, ZABC + ZHOG = 180 , ZEOD = ZEOG+ZDOG = NEOG + ZEOH = 4HOG, ZABC + ZEOD = SO ,8石/的周长=be+bf+ef=cd+bf+ef=bc.DF=EF,在 OEF和 OGF中，OE = OD<EF = FD,OF = OF:.OEF = OGF t：.ZEOF = ZDOF,：ZEOD = 2ZEOF,/. ZABC + 2NEOF = 180 .【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基 本作图.熟练掌

31、握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难 度，需要有较强的解题能力.8.（1）问题发现:如图1, 45。和ADE均为等边三角形，点8、D、E在同一直线上, 连接CE.求iiE：BD = CE;求ZBEC的度数.mi拓展探究:如图2, “15。和石均为等腰直角三角形，的C = 4石= 90。,点B、D、E在同一直线上，AF为"）£中。石边上的高，连接CE求N8EC的度数：判断线段AF、BE、CE之间的数量关系（直接写出结果即可）.（3）解决问题:如图3,和ADE均为等腰三角形，/BAC = /DAE = K1B、D、七在同一直线上，连接CE.求NAEC的

32、度数（用含的代数式表示，直接写出结果 即可）.【答案】（1）证明见解析：60° ： （2）90 ：8£=C£+ZAF； （3）ZAEC=90-ll0.2【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, NDAE=/BAC=60° ,根据SAS进一步证明 BADgaCAE,依据其性质可得8O = CE,再根据对应角相等求出NBEC的度数：（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE,NDAE=NBAC=90°,根据SAS进一步证 明BADgACAE,根据对应角相等求出N8EC的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合

33、线段的和 差关系得出结论：（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, NDAE=NBAC=n° ,根据SAS进一步证明 BADgCAE,根据对应角相等求出得出NADB=/3EC的度数，结合内角和用n表示 NADE的度数，即可得出结论.【详解】（1）:ABC和4ADE均为等边三角形（如图1）,A AB=AC, AD=AE, ZBAC=ZDAE=60%，Z BAC- Z DAC= Z DAE- Z DAC,A ZBAD=ZCAE.，ABADACAE （SAS），BD=CE.图工 由acae也Abad,，ZAEC=ZADB=180°-ZADE=120°.J Z

34、BEC= ZAEC-ZAED=1200-60<>=600.（2）©VAABCIAADE均为等腰直角三角形（如图2）,/. AB=AC, AD=AE, ZADE=ZAED=45%ZBAC=ZDAE=90，Z BAC- Z DAC= Z DAE- Z DAC,:.ZBAD=ZCAE.，ABADACAE （SAS）.，BD=CE, ZAEC=ZADB=180°-ZADE=135°.，ZBEC=ZAEC-ZAED=135°-45°=90°.图2 BE=CE+2AF.1 。(3)如图 3： ZAEC=9O°+-77 ,理由

35、如下,2:ABC和4ADE均为等腰直角三角形，AB=AC, AD=AE, ZADE=ZAED=n%/. Z BAC- Z DAC= Z DAE- Z DAC,A ZBAD=ZCAE.，ABADACAE (SAS).ZAEC=ZADB=180o-ZADE=180°-180 -18()=90 +.221 。AZAEC=9O°+-/7 .2图3【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及 由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.9. (1)操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线 段，把原三角形分割成两个等腰

36、三角形，并在图中标注相应的角的度数ZABC=23°ZABC=23°ZABC=23°ZBAC=90°ZBAC=111°N BAC=88°.（2）拓展，aABC中，AB=AC, ZA=45°,请把ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标 注相应的角的度数.BC（3）思考在如图所示的三角形中/A=30。.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分 别连接BP和PQ把ZkABC分割成三个三角形.ABP, BPQ, PQC若分割成的这三个三角 形都是等腰三角形，求NC的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】 见解析;（2）见解析;（

37、3） NC所有可能的值为10。、20。、25。，35。、 40 50 80。、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质 及外角的性质求出各角度数即可：（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O,连接 OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角 性质求出各角度数即可：（3）分 PB=PA、AB二AP、BA=BP 时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP, PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出NC的度数即可.【详解】（1）在图1、图2

38、、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图 1, VZABC=23% ZBAC=90°,A ZC=90°-23°=67%VMN垂直平分AB,ABD=AD,.ABD是等腰三角形，AZBAD=ZABC=23%，ZADC=2ZABC=46%*. ZBAC=90%，Z DAC= Z BAC- Z BAD=67，NDAC二 NC,DAC是等腰三角形，同理：图 2 中，NADC=46°, ZDAC=88% ZC=46% 2ABD 和ZkACD 是等腰三角形，图 3 中，ZBCD=23% ZADC=46", /ACD=46。，aBCD 和ZiACD

39、是等腰三角形.lBAC-WZBAC-lirZ BAC-W（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O,连接OA、OB、OC, 丁点o是三角形垂直平分线的交点，AOA=OB=OC,AAOAB> AOAC. ZkOBC是等腰三角形,TAB二AC, ZBAC=45/. ZABC=ZACB=67.5%.,.AD是BC的垂直平分线，AZBAD=ZCAD=22.5% /. ZOBA=ZOAB=22.5 ZOCA=ZOAC=22.5°, .ZOBC=ZOCB=45°.（3）如图，当 PAPA, PB=PQ, PQ=CQ 时,V ZA=30% PB=PQ,，ZABP=ZA=30，ZAPB

40、=120",VPB=PQt PQ二CQ, AZPQB=ZPBQ, NLNCPQ, .ZPBQ=2ZC,，ZAPB=ZPBQ+ZC=3ZC=120% 解得：ZC=40°.B如图，当 PB=PA, PB=BQ, PQ=CQ 时,AZPQB=2ZC, ZPQB=ZBPQ, J ZPBQ=180°-2 ZPQB=180°-4ZC, ，180°-4ZC+ZC=120 解得：ZC=20%如图，当 PA=PB, BQ=PQ, CQ;CP 时，VZPQC=2ZPBQ, ZPQC=- (180°-ZC),2AZPBQ=i (180°-ZC),4/. - (180°-ZC) +ZC=120%4如图，当 PA=PB, BQ=PQ, PQnCP 时,VZPQC=ZC=2ZPBQ/ XVZC+ZPBQ=120°, , ZC=80°；如图，当 AB二AP, BP二BQ, PQ=QC 时, ZA=30",A ZAPB=- (180°-30° ) =75°, 2二BP=BQ, PQ=CQ,AZBPQ=ZBQP, NQPC=NQCP,，NBQP = 2/C,AZPBQ=180°-