选修21 椭圆 学案

1、§2.2.1椭圆及其标准方程(1) 学习目标 1从具体情境中抽象出椭圆的模型；2掌握椭圆的定义；3掌握椭圆的标准方程 学习过程一、课前准备（预习教材理P38 P40，找出疑惑之处）复习1：过两点,的直线方程 复习2：方程 表示以 为圆心, 为半径的 二、新课导学 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，

2、即笔尖 等于常数新知： 我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 反思：若将常数记为，为什么？当时，其轨迹为；当时，其轨迹为试试：已知，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是 小结：应用椭圆的定义注意两点：分清动点和定点；看是否满足常数新知：焦点在轴上的椭圆的标准方程其中若焦点在轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：，焦点在轴上；，焦点在轴上；变式：方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围 小结：椭圆标准方程中： ； 例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是，并且经过点，求

3、它的标准方程 变式：椭圆过点 ，求它的标准方程小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 动手试试练1. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）A B6 C D12练2 方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的范围三、总结提升 学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程： 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原

4、来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长 学习评价 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1平面内一动点到两定点、距离之和为常数，则点的轨迹为（）A椭圆 B圆C无轨迹 D椭圆或线段或无轨迹2如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）A BC D3如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（ ）A4 B14 C12 D84椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程是 5如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是，它的方

5、程是 课后作业 1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在轴上，焦距等于，并且经过点；焦点坐标分别为，；2. 椭圆的焦距为，求的值§2.2.1 椭圆及其标准方程(2) 学习目标 1掌握点的轨迹的求法；2进一步掌握椭圆的定义及标准方程 学习过程 一、课前准备（预习教材理P41 P42，找出疑惑之处）复习1：椭圆上一点到椭圆的左焦点的距离为，则到椭圆右焦点的距离是 复习2：在椭圆的标准方程中,则椭圆的标准方程是 二、新课导学 学习探究问题：圆的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点的距离等于的所有点都在圆 上 典型例题例1在圆上任取一

6、点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？变式： 若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆例2设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程 变式：点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？ 动手试试练1求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程练2一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线三、总结提升 学习小结1. 注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；相关点法：寻求

7、点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程 知识拓展椭圆的第二定义：到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹定点是椭圆的焦点；定直线是椭圆的准线；常数是椭圆的离心率 学习评价 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1若关于的方程所表示的曲线是椭圆，则在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C的轨迹方程为（ ）A B C D3设定点 ，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）A椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段4与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是 5. 设为定点，|=，动点满足，则动点的轨迹是 课后作业 1已知三角形的一边长为，周

8、长为，求顶点的轨迹方程2点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1） 学习目标 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图 学习过程 一、课前准备（预习教材理P43 P46，找出疑惑之处）复习1： 椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是 复习2：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 二、新课导学 学习探究问题1：椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？图形：范围： ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（

9、 ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率：刻画椭圆 程度 椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，记，且试试：椭圆的几何性质呢？图形：范围： ： 对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率： = 反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？ 典型例题例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标变式：若椭圆是呢？小结：先化为标准方程，找出 ，求出； 注意焦点所在坐标轴例2 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 动手试试练1

10、求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在轴上，；焦点在轴上，；经过点，；长轴长等到于，离心率等于三、总结提升 学习小结1 椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 理解椭圆的离心率 知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点 学习评价 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1若椭圆的离心率，则的值是（ ）A B或 C D或2若椭圆经过原点，且焦点分别为，则其离心率为（ ）A B C D3短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）A B C D4已知点是椭圆上的一点，

11、且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是 5某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 课后作业 1比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？与 ； 与 2求适合下列条件的椭圆的标准方程：经过点，；长轴长是短轴长的倍，且经过点；焦距是，离心率等于§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2) 学习目标 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2椭圆与直线的关系 学习过程 一、课前准备（预习教材理P46 P48，找出疑惑之处）复习1： 椭圆的焦点坐标是（ ）（ ） ；长轴长 、短轴长 ；离心率 复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判

12、定？ 二、新课导学 学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？ 典型例题例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，试建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：先化为标准方程，找出 ，求出； 注意焦点所在坐标轴例2 已知椭圆，直线：。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距

13、离是多少？变式：最大距离是多少？ 动手试试练1已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离练2经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长 三、总结提升 学习小结1 椭圆在生活中的运用；2 椭圆与直线的位置关系： 相交、相切、相离（用判定） 知识拓展直线与椭圆相交，得到弦，弦长其中为直线的斜率，是两交点坐标 学习评价 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1设是椭圆 ，到两焦点的距离之差为，则是（ ）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形2设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线

14、交椭圆于点，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 3已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）A. B. 3 C. D. 4椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 5椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是 课后作业 1 求下列直线与椭圆的交点坐标2若椭圆，一组平行直线的斜率是这组直线何时与椭圆相交？当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？直线与椭圆的位置关系一、重点：直线与椭圆的三种位置关系，设而不求思想

15、.二、难点：弦长问题、最值的求法及综合运用.三、复习回顾：直线与圆、弦长问题.四、知识预授：1直线与椭圆的三种位置关系：相交；相切；相离.2判定方法：直线与椭圆的位置关系：判定方法：联立消y得关于x的一元二次方程：相交 相切 相离知识点一：点与椭圆例1 点在椭圆内部，求m.（提示：m能等于5吗？）知识点二：直线与椭圆例2 当m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？知识点三：弦长问题例3 已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.（提示：推推看，弦长公式是否为，利用两点间距离公式）知识点四：弦中点问题 AB的中点 则 ，得又例4 已知一直线与椭圆交于A、B两点，弦AB

16、中点坐标M（2，1），求直线AB的方程.(不妨试着使用)与椭圆有关的最值问题例5 已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M使值最小，求M坐标.（提示：若设，求出再计算最小值是比较复杂的，由于是椭圆上一点到焦点的距离，考虑一下它与到直线的距离的关系，可否把转化成到直线的距离呢！祝你成功）例6 如下图，已知椭圆，在椭圆上求一点P，使P到直线的距离最小，并求出最小值。（此题与上一题不一样呦，P到的距离最小借助图形观察一下，过P的直线与已知直线有什么关系.）知能提升1在中，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率2过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，

17、则的面积为 3求以椭圆内的一点为中点的弦所在的直线方程.4过椭圆的左焦点F引一倾斜角为的直线，求以此直线与椭圆两交点及椭圆中心为顶点的三角形面积.椭圆综合复习（习题课）-导学案学习目标：1、掌握椭圆的定义、标准方程、离心率和简单几何性质；2、掌握用数形结合思想解决解析几何问题和解析几何的常用的解题方法和技巧。学习重难点：重点：椭圆的定义、标准方程、离心率和简单几何性质；难点：用数形结合思想解决解析几何问题和解析几何的常用的解题方法和技巧。题型一、椭圆标准方程1、（1）已知椭圆关于坐标轴对称，长轴长是短轴长的5倍，过点P(6，2)，求椭圆的标准方程（2）已知方程表示的曲线是椭圆，求实数的取值范围

18、2、焦距为，离心率等于，求椭圆的标准方程3、已知椭圆的一个焦点坐标是（2,0），求的值题型二、求离心率：3、 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是（ ）A.B. C.D.4、 椭圆的两个焦点为、,短轴的一个端点为,且三角形是顶角为120º的等腰三角形形,则此椭圆的离心率为_.5、 过椭圆的左焦点做x轴的垂线交椭圆于点P,为右焦点,若=60°,则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D.6、 已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴, 直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 题型三、焦点三角形:7、 以、为焦点

19、的椭圆=1()上一动点P,当最大时的正切值为2,则此椭圆离心率e的大小为_8、 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D9、 已知是椭圆的两个焦点,为椭圆上的一点,且若的面积为9,则_.10、 椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则的面积为_ . 11、 已知椭圆方程为，、为椭圆的左右焦点，若点P在椭圆上，且，求的面积。题型四、相交弦长问题：12、 设斜率为1的直线与椭圆相交于不同的两点A、B,则使为整数的直线共有( ) A.4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条13、 已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆,左焦点,一个顶点坐标为(0,1)(1)求椭圆方程;(2)直线过椭圆的右焦点交椭圆于A、B两点,当AOB面积最大时,求直线方程题型五、相交弦中点问题：14、 如果椭圆的弦被点(4,2)