2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题六平面向量的数量积及其应用应用创新题组

1、2023新高考数学第一轮专题练习6.2平面向量的数量积及其应用应用创新题组1.(2022届湖北黄石9月调研,6探索创新情境)P为双曲线x2-y2=1左支上任意一点,EF为圆C:(x-2)2+y2=4的任意一条直径,则PE·PF的最小值为()A.3B.4C.5D.9答案C如图,圆C的圆心的坐标为(2,0),半径r=2,PE·PF=(PC+CE)·(PC+CF)=(PC+CE)·(PC-CE)=|PC|2-|CE|2=|PC|2-4,则当点P位于双曲线左支的顶点(-1,0)时,PE·PF最小,最小值为5.故选C.2.(2022届西安中学第一次月考,

2、11数学探究)在ABC中,AC2-AB2=2AM·BC,那么动点M的轨迹必通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心答案C取BC的中点O,则AC2-AB2=(AC+AB)·(AC-AB)=2AO·BC=2AM·BC,即(AO-AM)·BC=MO·BC=0,所以MOBC,所以动点M在线段BC的中垂线上,故动点M的轨迹必通过ABC的外心,故选C.3.(2022届黑龙江八校期中,7探索创新情境)在ABC中,若AB(AB-2AC),AC(AC-2AB),则ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案

3、CAB(AB-2AC),AB·(AB-2AC)=0,即AB2=2AB·AC,AC(AC-2AB),AC·(AC-2AB)=0,即AC2=2AB·AC,AB2=AC2,AB=AC.由AB2=2AB·AC化简得|AB|2=2|AB|AC|cos A,cos A=12,A(0,),A=3,ABC为等边三角形,故选C.4.(2022届山西长治第二中学月考,7解法创新)在RtABC中,C=90°,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上,则CP·BP的最小值为()A.-12B.0C.4D.-1答案A依题意,以C为坐标原点,分别以AC

4、,BC所在的直线为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为y=-x+2,因为点P在线段BD上,所以可设P(t,2-t)(0t2),所以CP=(t,2-t),BP=(t,-t),所以CP·BP=t2-t(2-t)=2t2-2t=2t-122-12,当t=12时,CP·BP取得最小值-12,故选A.5.(2021吉林调研三,11)已知A、B为平面上的两个定点,且|AB|=2,该平面上的动线段PQ的端点P和Q,满足|AP|5,AP·AB=6,AQ=2PA,则动线段PQ所形成图形的面积为()A.36B.60C.72D.1

5、08答案B根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),则AB=(2,0),设P(x,y),所以AP=(x,y),由|AP|5得x2+y225,又AP·AB=6,所以2x=6,即x=3,所以y216,即-4y4,因此,动点P在线段x=3且-4y4上运动,即|MC|=8,设Q(x0,y0),因为AQ=2PA,所以(x0,y0)=2(-x,-y),即x0=-2x=-6,y0=-2y,因此动点Q在线段x=-6上,且-8y8上运动,所以|ND|=16,所以动线段PQ所形成图形为图中阴影部分,其面积为12×8×3+12×16×6=

6、12+48=60.故选B.6.(2020全国卷24省4月联考,14)已知点O为坐标原点,向量OA=(1,2),OB=(x,y),且OA·OB=10,则|OB|的最小值为. 答案25解析OA=(1,2),OB=(x,y),且OA·OB=10,x+2y=10,而|OB|=x2+y2表示的几何意义是点(x,y)与原点(0,0)的距离,即原点O与直线x+2y=10上的点的距离,|OB|的最小值为点O到直线x+2y-10=0的距离,即|OB|min=|-10|12+22=105=25.7.(2022届湘豫名校联盟11月联考,15解法创新)已知在ABC中,AB=3,BC=4,ABC=3,平面内有动点E满足|BE|=2|AE|,则数量积BC·BE的最大值是. 答案16解析如图,根据已知条件建立恰当的坐标系,其中OA=1,则各点坐标分别为A(1,0),B(4,0),C(2,23),设动点E(x,y),则由|BE|=2|AE|得(x-4)2+y2=2(x-1)2+y2,化简得x2+y2=4,令x=2cos,y=2si