重积分习题课

1、第八章 重积分习题课一. 内容提要1.基本概念(1)重积分定义重积分定义在本质上与(上限大于等于下限的)定积分是一样的,都是Riemann和式的极限,统称为Riemann积分,记为.当有界闭域时,就是定积分,通常记为;当有界闭域时,就是二重积分,通常记为;当有界闭域时,就是三重积分,通常记为;一般地,当有界闭域时,称为重积分,记为. (2)存在条件必要条件是在上有界;而在上连续或分片(块)连续,则是存在的充分条件. (3)几何或物理意义 当时,二重积分表示为底面、以曲面块为顶面、母线平行于轴的曲顶柱体的体积；也可表示面密度为的平面物体的质量.三重及更多重积分没有几何意义;但三重积分的物理意义是

2、明显的: 密度为的物体的质量. (4)重积分的性质重积分具有与(上限大于等于下限的)定积分相同的性质,主要是:线性性;对积分域的可加性;保序性;估值定理;中值定理.2.重积分的计算化为累次积分(1) 二重积分在直角坐标系下的计算公式 平面面积元素. 化为二次积分当为型区域即时,化为先对后对的二次积分;当为型区域即时,化为先对后对的二次积分. 积分次序的选择与累次积分交换次序的问题当既是型区域又是型区域时,有,即在计算时可根据“既能计算出来,又尽量简单”的原则,选择一个适当的次序进行.以上等式也表明,此时可以交换二次积分的积分次序.当按一种次序积分有困难时,可将其交换次序后,再进行计算.(2)

3、二重积分在极坐标系下的计算公式(大多化为先对后对的积分的二次积分)当积分域的边界曲线以极坐标方程表示较为简单时(如圆、心脏线、双纽线、过原点的射线等),应考虑采用极坐标进行计算,特别是若被积函数为,则计算更为简单. 利用关系式,将被积函数化为. 平面面积元素,于是. 化为二次积分 当极点在域的外部时,域可表示为,故;当极点在域的边界上时,域可表示为,故; 当极点在域的内部时,域可表示为,故.(3) 一般区域上的二重积分的计算以上各种类型的积分区域,统称为简单区域.不是简单区域的区域,就称为一般区域.计算一般区域上的二重积分时,应先将分割为若干个简单区域,即,再利用重积分对区域的可加性得:.(4

4、) 利用对称性简化计算 当积分域对称于坐标轴或原点,且被积函数具有相应的对称性时,二重积分的计算可以简化. 当对称于(即轴) 时,10若（即是的奇函数）,则;20若（即是的偶函数）,则,其中为的上半部分. 当对称于（即轴）时,10若（即是的奇函数）,则;20若（即是的偶函数）,则,其中为的右半部分. 当既对称于轴,又对称于轴时,10若,或（即是的奇函数或的奇函数）则;20若且（即既是的又是的偶函数），则,其中为在第一象限的部分. 当对称于原点时,若,则. (5) 三重积分在直角坐标系下的计算公式 体积元素. “穿针法” 当用平行于(或,或)轴 的任意直线沿坐标轴方向穿过的内部时,与的边界曲面至

5、多只有两个交点,这样的区域称为简单区域.记在坐标面上的投影域为,的下边界曲面(穿入曲面)、上边界曲面(穿出曲面)的方程分别为,其中且都在上连续,则三重积分可化为先做一个定积分后做一个二重积分(简称为先1后2),即 . 进而可以将其化为三次积分或 . 类似地,有及等等. “切片法” 用平面去截,得截面,于是三重积分也可以化为先做一个二重积分后做一个定积分(简称为先2后1),即 可继续化分三次积分. (6) 三重积分在柱坐标系下的计算公式 (). 体积元素. 通常化为先对,再对,后对的三次积分 ,其中 . 注: 中的计算公式,其实只不过是在穿针法中计算二重积分时采用极坐标罢了, 可以不必去背这个公

6、式. (7) 三重积分在球坐标系下的计算公式 (). 体积元素. 通常化为先对,再对,后对的三次积分,其中 注:球坐标系也称为空间极坐标系;在后继课程数理方程中,和的含义与此处刚好相反. (8)利用对称性简化三重积分的计算 10设可积,若关于坐标面(即面)对称,则 20若三个积分变量在的方程中具有轮换对称性或地位一样,则 例如3.重积分的应用 (1) 重积分的几何应用 平面有界闭域的面积. 空间有界闭域的体积. 曲面块的面积设:在平面上的投影域为,则的面积元素为,故其面积为.(2) 重积分的物理应用 物体的质量(也称为该物体的零阶矩)面密度为的平面物体的质量,密度为的立体的质量. 物体的转动惯

7、量(也称为惯性矩或二阶矩),其中是的任一点到“转动轴”的距离.于是面密度为的平面物体对轴的转动惯量,面密度为的平面物体对轴的转动惯量,面密度为的平面物体对原点的转动惯量,显然.密度为的物体对轴的转动惯量,密度为的物体对轴的转动惯量,密度为的物体对轴的转动惯量,密度为的物体对原点轴的转动惯量,密度为的物体对面的惯性矩,密度为的物体对面的惯性矩,密度为的物体对面的惯性矩. 物体的重心坐标因为物体的质量与重心坐标之积等于该物体关于相应坐标轴(平面物体)或坐标面(空间物体)的静力矩(即一阶矩),故平面物体的重心坐标为 , .空间物体的重心坐标为 ,. 注：可妙用形心坐标公式求某些重积分： 物体对质点的

8、引力二.课堂练习(复习题8，带*号者为补充题)1.填空题(1) 若,则; 解 .(2) 若,则;解 .(3) 若,则;解 .(4) 若,则. 解 .(*5)设则 解 记则2.选择题 (1)设,(),则正确的的大小关系为 (A); (B); (C); (D). 答: (D). 解 在域上,被积函数连续且,于是,故由保序性知 (2)设,则等于 (A)倍的体积; (B); (C); (D). 答: (C).(*3)设连续,则二次积分等于(A) (B);(C) (D).答: (B).解 (*4)设连续，则二次积分等于 (A) (B) (C) (D) 答: (C).3.求,其中.解 .4.求,其中 ,

9、具有连续的导数,且.解 原式 .5.设，其中是由及所围成的闭区域：（1）作出的积分域的图形； （2）把化为不同顺序的累次积分（3）任选其中一种顺序计算值. 解 （1）积分域的图形见右图. （2）把化为不同顺序的累次积分： （i） 先对积分,的变化范围：. 在坐标面上的投影域如阴影部分所示. ;（ii）先对积分.的变化范围:,在坐标面上的投影见下左图.（iii）先对积分.此时需将域分为和两部分（是位于坐标面后面的部分,则是前面的部分）. 在坐标面上的投影域见上右图. .（3）.6设，. （1）作出的积分域的图形； （2）把改变为先对,次对,再对的累次积分；（3）把改变为柱坐标系下的累次积分； （

10、4）把改变为球坐标系下的累次积分； （5）任选一种积分顺序计算值. 解 （1）积分域的图形如右图所示. （2）先对积分.需将域分为和两部分（为位于坐标面下方的锥体,为位于坐标面上方的半球体）, 和在坐标面上投影域分别为三角形和半圆形的闭域,于是 （3）柱坐标系下,:,.因此 .（4）在球坐标系下,选择先对积分.需将域分为与两部分（为位于坐标面上方部分的半球体,为位于坐标面下方部分的锥体）.因为上半球面在球坐标系下方程为,锥面在球坐标系下方程为,因此 .（5）选择在柱坐标系下计算 .7.计算下列各式 (3)，其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与两平面，所围成的闭区域； 解 在柱坐标系下计算，令

11、, 则体积元素. 方法一：若先对积分,则需将域分为和两部分. 方法二：先对积分得 . （4）； 解 按所给次序对的积分无法进行,因此需交换积分顺序.设,其中由确定(见右图). 交换积分顺序,选择先对,次对,后对积分得 .（5）解 在球坐标系下,先对积分得 .另解：8. 计算，其中；解 利用被积函数的奇、偶性和域的对称性(见图)计算 9.若连续,则,其中. 证 左端 右端.10. 求证：，其中为连续函数.证 左端 右端.11.已知两个球体的半径分别为和,且小球球心在大球面上.试求小球体在大球体内的那部分体积. 解 如图建立坐标系, 则大球面为, 小球面为. 所求体积为 , 其中：(图中阴影部分)

12、. 在柱坐标系下计算： . 另解: 12. 设为曲面与所围空间闭区域,试求：（1）体积；（2）的表面积.解 两曲面的交线方程为： 图形如下： , 即. （1） . （2） .13. 设半径为的球的球心在半径为（常数）的定球面上,试求当为何值时,前者夹在定球内部的表面积为最大.解 如图建立坐标系,则定球面的方程为 , 中心在(0,0,),半径为的球面方程为 . 由,消去得 夹在定球内的那部分在坐标面上的投影 域(见图)的方程为 . （1）先求半径为的球面夹在定球内部的表面积 , . （2）再求表面积的最大值 , .令,解得惟一驻点;且. 由实际意义知,当时,半径为的球夹在定球内部的表面积为最大. 14. 在第一卦限内作旋转抛物面的切平面.使得该切平面与旋转抛物面及三个坐标面所围成的体积最小,求切点的坐标.解 （1）先求体积函数设所求切点坐标为.曲面在点的法矢量：, 在点的切平