二次函数在销售利润中的应用

1、二次函数在销售利润中的应二次函数在销售利润中的应用用 某商品每件成品某商品每件成品1010元，试销阶段调查发现：销售单价是元，试销阶段调查发现：销售单价是1414元时，元时，日销售量是日销售量是6060件，而销售单件每上涨件，而销售单件每上涨1 1元，日销售量就减少元，日销售量就减少1010件。件。 (1)(1)写出销售这种商品，每天所得的销售利润写出销售这种商品，每天所得的销售利润y y（元）与销售单价（元）与销售单价 x x（元）之间的函数关系式（元）之间的函数关系式； (2) (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；【例题一例

2、题一】 进货进货成本不高于成本不高于400元元 1060-10(x-14)400 解得，解得，x 16又又售价不高于售价不高于18元元 16x18又又y = -10 +300 x-2000又又 a=100 抛物线开口向下抛物线开口向下，函数有最大值，函数有最大值 对称轴为对称轴为x=15， 当当16x18时，时，在对称轴的右在对称轴的右侧，侧，y随随x的增大而的增大而减小减小.当当x=16时，时，y最大最大=（1610）（）（60-20）=240答：当答：当x=16时，有最大利润，是时，有最大利润，是240元元.18162500yx5 201502402x变式变式： 若商厦规定销售这种若商厦规

3、定销售这种商品商品的单价不高于的单价不高于18元，且元，且不低于不低于13元，当销售单价定为多少元时，获得的元，当销售单价定为多少元时，获得的利润最少？你有那些方法解决？利润最少？你有那些方法解决？ 250 xP1501813 210 160 （4）若规定销售这种若规定销售这种商品商品的利润的利润210元元 ，且为了且为了尽快的减少库存，每个尽快的减少库存，每个商品商品应卖多少元？应卖多少元？ 解：（解：（1 1）由题意知：）由题意知： 210210=-=-1 10 x0 x2 2+ +30300 x0 x-2000-2000 解得解得 x x1 1= =1313，x x2 2= =1717（

4、舍）（舍） 答：每个答：每个商品商品1313元可以每天盈利元可以每天盈利210210元。元。变式：要使利润高于210元，售价应在什么范围内？结合图形：当13x17时，利润高于210元. 210 131715250 0 x y常见错误：常见错误：（20142014青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是5050元，为了元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是100100元时，元时，每天的销售量是每天的销售量是5050件，而销售单价每降低件，而销售单价每降低1 1元，每天就可多售出元，每天就

5、可多售出5 5件，件，但要求销售单价不得低于成本但要求销售单价不得低于成本 分析：分析：（1 1）根据）根据“利润利润= =（售价成本）销售量（售价成本）销售量”列出方程；列出方程；（2 2）把（）把（1 1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；图象的性质进行解答；（3 3）把）把y=4000y=4000代入函数解析式，求得相应的代入函数解析式，求得相应的x x值；然后由值；然后由“每天的总每天的总成本不超过成本不超过70007000元元”列出关于列出关于x x的不等式的不等式5050（5x+5505x+550）

6、70007000，通，通过解不等式来求过解不等式来求x x的取值范围的取值范围反馈练习反馈练习1 1：（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； 解：（1）y=（x50）50+5（100 x） =（x50）（5x+550） =5x x2 2+800 x27500 y=5x x2 2+800 x27500（50 x100）；（2 2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？多少？ y=y=5 5x2+800 x+800 x2750027500 = =5 5（x x8080）2+4500+4500

7、 a=a=5 50 0，抛物线开口向下抛物线开口向下, ,函数有最大值函数有最大值 对称轴是直线对称轴是直线x=80 x=80，50 x10050 x100时时， 当当x=80 x=80时，时，y最大=4500=4500；答：当x=80时，有最大利润4500元.（3 3）如果该企业要使每天的销售利润不低于）如果该企业要使每天的销售利润不低于40004000元，且每天的总成元，且每天的总成本不超过本不超过70007000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本总成本= =每件的成本每天的销售量）每件的成本每天的销售量） 当当y=4000y=4

8、000时，时，5 5（x x8080）2+4500=4000+4500=4000， 解得解得x1=70=70，x2=90=90 当当70 x9070 x90时，每天的销售利润不低于时，每天的销售利润不低于40004000元元 每天的总成本不超过每天的总成本不超过70007000元，元， 5050（5x+5505x+550）70007000， 解得解得x82x82 82x9082x90， 50 x10050 x100， 销售单价应该控制在销售单价应该控制在8282元至元至9090元之间元之间【规律方法规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二

9、次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值图象求出最值. .【例题二例题二】 (2014(2014牡丹江牡丹江) )某体育用品商店试销一款成本某体育用品商店试销一款成本 为为5050元的排球，规定试销期间单价不低于成本价元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于，且获利不得高于40%.40%.经试销发现，销售量经试销发现，销售量y(y(个个) )与销售单价与销售单价x(x(元元) )之间满足如图所示的一次函数之间

10、满足如图所示的一次函数关系关系 (1)试确定试确定y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式； 解解:设设y与与x的函数关系式为：的函数关系式为：y=kx+b， 函数图象经过点（函数图象经过点（5555，6565）和（）和（6060，6060） 解得解得 y=-x+120y=-x+120bkbk606055651201bk(2)(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为Q Q元，试写出利元，试写出利润润Q(Q(元元) )与销售单价与销售单价x(x(元元) )之间的函数关系式；当销售单价定为多少元之间的函数关系式；当销售单价定为多少元时，该商店

11、可获最大利润？最大利润是多少元？时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ 单价不低于成本价，且获利不得高于单价不低于成本价，且获利不得高于40%40% 5050 xx7 70 0 Q Q(x(x50)(50)(x x120)120) x x2 2170 x170 x60006000； (x(x85)85)2 212251225，a=10，抛物线开口向下,函数有最大值 对称轴为x=85， 当50 x70时，在对称轴的左侧， Q随x的增大而增大.当x=70时，Q最大 . Q最大 =(7050)(70120)=1000答：当定价为70元，有最大利润1000元.(3)(3)若该商店试销这款排球所获得

12、的利润不低于若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600600元，请元，请确定销售单价确定销售单价x x的取值范围的取值范围 当当Q Q600600时，时， x x2 2170 x170 x60006000600600， 解得解得x x1 16060，x x2 2110110， 当当60 x60 x11110 0时，时，Q Q600600 5050 xx7 70 0 6060 xx7 70 0 故故x的取值范围是的取值范围是 6060 xx7 70 0的整数的整数反馈练习反馈练习2 2： 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售

13、，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查，调查发现这种水产品年市场行情和水产品养殖情况进行了调查，调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份的每千克售价（元）与销售月份x x（月）满足关系式；而其每千克（月）满足关系式；而其每千克成本（元）与销售月份成本（元）与销售月份x x（月）满足的函数关系如图所示（月）满足的函数关系如图所示. .（1 1）试确定）试确定b,cb,c的值；的值；（2 2）求出这种水产品每千克的利润）求出这种水产品每千克的利润y(y(元元) )与销售月份与销售月份x x（月）之间的（月）之间的函数关系式；函数关系式； (3)“(3)“五五一一”之前，几月份出售这种水产

14、品每千克的利润最大？之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？最大利润是多少？ （1 1）由题意：由题意： 解得解得cbcb44812433812522259815cb2152381)24981581(3683)2(2221xxxxxyyy11)6(81216214)3612(812152381) 3(222xxxxxya=a= 0 0，抛物线开口向下抛物线开口向下, ,函数有最大值函数有最大值 在在对称轴对称轴x=x=6 6的左侧的左侧,y,y随随x x的增大而的增大而增大增大. .由题意由题意x x 5 5，所以在，所以在4 4月份抽手这种水产品每千克的利润最大，月份抽手这种水产品每千克的利润最大，最大利润为最大利润为 （元）（元） 答：四月份出售，获最大利润为答：四月份出售，获最