真空中的静电场习题

1、第九章 真空中的静电场91如图9-1所示，电量为+q的三个点电荷，分别放在边长为a的等边三角形ABC的三个顶点上，为使每个点电荷受力为零，可在三角形中心处放另一点电荷Q，则Q的电量为。qACqBq30oQF1F30oF2图92qACqBqQ图91解：由对称性可知，只要某个顶点上的电荷受力为零即可。C处电荷所受合力为零，需使中心处的点电荷Q对它的引力F与A，B两个顶点处电荷的对它的斥力F1，F2三力平衡，如图9-2所示，即因此即解得9-2真空中两条平行的无限长的均匀带电直线，电荷线密度分别为+l 和-l，点P1和P2与两带电线共面，其位置如图9-3所示，取向右为坐标x正向，则=，=。图9-3P1

2、P2xdd2d-ll解：（1）P1点场强为无限长均匀带电直线l，-l在该点产生的场强的矢量和，即其大小为方向沿x轴正方向。（2）同理可得方向沿x轴负方向。图9-4qLqL9-3一个点电荷+q位于一边长为L的立方体的中心，如图9-4所示，则通过立方体一面的电通量为。如果该电荷移到立方体的一个顶角上，那么通过立方体每一面的电通量是。图9-5q2LBCDEFA2L2LGH解：（1）点电荷+q位于立方体的中心，则通过立方体的每一面的电通量相等，所以通过每一面的通量为总通量的1/6，根据高斯定理，其中S为立方体的各面所形成的闭合高斯面，所以，通过任一面的电通量为。（2）当电荷+q移至立方体的一个顶角上，

3、与+q相连的三个侧面ABCD、ABFE、BCHF上各点的E均平行于各自的平面，故通过这三个平面的电通量为零，为了求另三个面上的电通量，可以以+q为中心，补作另外7个大小相同的立方体，形成边长为2L且与原边平行的大立方体，如图95所示，这个大立方体的每一个面的电通电都相等，且均等于，对原立方体而言，每个面的面积为大立方体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也为大立方体一个面的电通量的1/4，即此时通过立方体每一面的电通量为。9-4如图9-6所示，在场强为E的匀强静电场中，A，B两点距离为d，AB连线方向与E方向一致，从A点经任意路径到B点的场强线积分=。图9-6ABdECD解：电场强度E沿闭合

4、路径ACBD的环流为零，即有因此qRABr图9-79-5如9-7图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点A处为电势零点，则离点电荷q为r的B处的电势为。解：以点电荷q为中心，作半径为r的球面为高斯面，利用高斯定理，有得电场强度大小为则B处的电势为9-6真空中有两无限大的均匀带电平面A，B，电荷面密度分别为+s，-s，如图9-8所示。若在两平面的中间插入另一面电荷密度为+s的无限大平面C后，P点场强的大小将为 。A原来的1/2B不变C原来的2倍D零+sCB+s-sPA图9-8解：每块无限大均匀带电平面均在空间产生均匀电场，。当只有A和B两个带电平面时，因A，B面在P点产生的场

5、强大小、方向均相同，根据场强叠加原理，方向水平向右。当在A，B面间插入C板后，A，C两带电平面在P点产生的场强相抵消。于是P点场强就等于平面B产生的场强，变为，因此，A，B面间插入C板后，P点场强大小变为原来的1/2，且方向不变。故应选（A）。9-7关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是 。A如高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷B如高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零C如高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷D如高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零E高斯定理对变化电场不适用解：高斯面上E处处为零，则只能肯定面内电荷的代数和为零，不能肯定面内一不定无电荷；如高斯面内无电荷，

6、只能说明穿过高斯面的E通量为零，即，而一个函数的面积分为零，不能说这个函数一定为零；如高斯面上E处处不为零，但有可能穿过高斯面的总通量为零，如作一个高斯面包围一个电偶极子，则在高斯面上的场强处处不为零，但面内电荷的代数和为零；高斯定理不仅适用于恒定的场，也适用于变化的场。由此可见（A）、（B）、（C）和（E）项都是错误的。根据高斯定理可知（D）项是正确的，故应选（D）。*9-8以下说法中正确的是 。A电场强度相等的地方电势一定相等B电势变化率绝对值大的地方场强的绝对值也一定大C带正电的导体上电势一定为正D电势为零的导体一定不带电解：电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验

7、电荷在该点所受的电场力为零，电势为零的点表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力做功为零，因此电场强度相等的地方电势不一定相等。电势是一个相对量，某物体电势的高低与电势零点的选择有关，因此带正电的导体上电势不一定为正，电势为零的导体也不一定不带电，如无限长均匀带电圆柱，我们可选圆柱面上一点为电势零点。由电场强度与电势变化率的关系；，可知（B）是正确的，故应选（B）。9-9电量Q均匀分布在半径为R的球面上，坐标原点位于球心处，现从球面与x轴交点处挖去面元DS， 并把它移至无穷远处（如图9-9所示），若选无穷远为零电势参考点，且将DS 移走后球面上的电荷分布不变，则此球心O点的场强E0与电势

8、U0分别为（注：i为单位矢量） 。图9-9CQDSxyzOA，B，C，D，解：球面上被挖去面元DS，根据场强叠加原理，则球心O处的场强等于带正电的闭合球面和带负电的面元DS在该点产生的场强的叠加。均匀带电闭合圆在在圆心处产生的合场强为零，由于面元DS很小，可将其视为带电为的点电荷，它在圆心处产生的场强为方向由圆心指向面元DS。球心O处的电势等于带正电的闭合球面在该处的电势和带负电的面元DS在该点产生的电势的叠加，因此ABCD-q图910故选（B）。9-10 点电荷-q位于圆心处，A，B，C，D位于同一圆周上，如图9-10。分别求将一试验电荷q0从A点移到B，C，D各点，则电场力做功是 。AA到

9、B电场力做功最大BA到C电场力做功最大CA到D电场力做功最大D电场力做功一样大解：本题是等势面特点的应用。点电荷的电场中，等势面是以为中心的一同心球面，因为A，B，C，D在同一圆周上，故。将试验电荷q0从A点移到B，C，D各点时，电场力不做功，为零。故应选（D）。911如图9-11所示，真空中边长为a的正方形的四个角，分别放置点电荷q，2q，-3q，2q（q>0），它的正中放着一个正电荷q0，求这个电荷受力的大小和方向。q2q-3qaaa2qaq0F4F2F1F3图912-3q2qq2qaaaaq0图9-11解：各点电荷在正方形中心产生的电场方向如图9-12所示，两个2q的点电荷对q0的

10、作用力相抵消，q0所受合力即点电荷q，-3q对它的库仑力的合力，其大小为：合力的方向：指向点电荷-3q。912如图9-13所示，一均匀带电直线长为L，线电荷密度为l。求下列各处的电场强度E：图9-13P3ALP2P1rrrB（1）带电直线的延长线上离中心O（直导线中点）为r处的场强;（2）带电直线的垂直平分线上离中心O为r处的场强;（3）离带电直线的一端A点垂直距离为r处的场强。解：本题是计算连续分布电荷的产生电场强度，此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒看作点电荷。可在直导线上选出电荷元，利用点电荷dq的电场强度公式求出场强。（1）对于P1点，建立如图9-14所示的坐标系。在带电直线上任取一线

11、元dx，电荷元dq=ldx在P1点的场强为图9-14dxAOLxP1dExrB电场的方向沿x轴正向。由于各电荷元在P1点产生的场强方向相同，于是整个带电直线在P1点的场强为场强方向沿x轴正向。图9-15BP2 dEOdxr´LyrxxA（2）对于P2点，建立如图9-15所示的坐标系。若点P2在带电直线的垂直平分线上，因对称性，场强dE沿x轴方向的分量叠加为零，即，因此，P2点的场强方向沿y轴，电荷元dq=ldx在P2点产生的场强大小为的y分量为由几何关系，则，于是由于，因此，代入上式因此，带电直线在垂直平分线上P2点的场强大小为，方向沿y轴正方向。图9-16 dEP3AdxrxLyx

12、B（3）对于P3点，建立如图9-16所示的坐标系。在带电直线上坐标为x处取电荷元ldx，它在P3点产生的场强大小为设场强方向与y轴成a角，dE在Ox，Oy上的分量分别为则P3点总场强E的x，y分量为写成矢量形式为场强大小为设电场强度与y轴正方向的夹角为q，则图9-17R+_xZn2+_O_-QQy913 一个细玻璃棒被变成半径为R的半圆环，沿其左半部分均匀地分布电荷+Q，沿其右半部分均匀地分布电荷-Q，如图9-17所示。（1）试求圆心O处的电场强度。（2）若在半圆中心O处放一锌离子Zn2+，求其受力大小。解：（1）建立如图9-18所示坐标系，根据对称性，整个圆环在圆心O处的电场强度方向沿x轴正

13、方向。首先求出电荷线密度为在左半段取dl=Rdq的电荷元，如图形-18所示，其电量为它在圆心O处的场强大小为+图918R+xydqdE1dE1ydE2y+-dq_OdE2_方向如图9-18所示。将dE1投影于x，y轴上，得于是，左边1/4圆周在O点的场强E1的x分量和y分量为（沿x正方向）（沿y正方向）用矢量形式表示，则为同理可算出，右边1/4圆周在O点的场强E2为故O点的合场强为（2）若在半圆中心O处放一锌离子Zn2+，由于锌离子Zn2+带电量为2，故Zn2+在O处受力为914 无限长均匀带电半圆柱面半径为R，面电荷密度s=s0cosj，式中s0是常量，j是径向与Ox方向间的夹角，如图9-1

14、9所示，试求圆柱线Oz上的电场强度。图920yxzOdjj（a）xjyOdjRdE（b）图9-19jRyxzO解：把柱面分成无数个平行于Oz轴的带电小窄条，带电体的横截面及坐标选取如图9-20（a）所示，其单位长度的电量为每一带电小窄条在轴线上产生的场强大小为方向如图9-20（b）。其分量式为积分得因此，圆柱轴线Oz上的场强为915 两个平行无限大均匀带电平面，面电荷密度分别为s1=4´1011C/m2，s2= -2´1011C/m2。求此系统的电场分布。解：无限大带电平面s1，s2激发的电场强度大小分别为V/mV/mV/mV/m由场强叠加原理得在s1板左侧电场大小为=1.

15、13 V/m方向垂直两板且背离s1板。在两板间电场大小为=3.39 V/m方向垂直指两板且向s2板。在s2板右侧电场大小为=1.13 V/m方向垂直两板且背离s2板。xP+ssxOR图921916 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为+s，在其上挖掉一半径为R的圆洞，如图9-21所示。试用场强叠加法求通过小孔中心并与平面垂直的直线上的一点P电场强度。解：由场强叠加原理，把圆洞看成是电荷面密度为+s的无限大均匀带电平面和放在圆洞处面密度为-s，半径为的圆盘的叠加。这样，P处的电场强度可看作由电荷面密度为+s的无限大均匀带电平面产生的场强E1和放在圆洞处均匀带负电-s的圆盘产生的场强E2在该处的叠加

16、。所以P处的总场强为而设OP=x，由带均匀电圆盘在轴线上一点的场强公式，得因此，P处的总场强为917 如图9-22，电场强度在三个坐标轴方向的分量为，其中b=800Nm1/2C1，设d=10cm，试求：S1xyzddddOS2d图922（1）通过立方体的总电场强度通量；（2）立方体内的总电荷量；（3）如果电场强度的三个分量变为Ex=by，Ey=bx，Ez=0，b=800Nm1/2C1，请再计算通过立方体的总电场强度通量和立方体内的总电荷量。解：由于Ey= Ez=0，则通过立方体的上、下、前、后四个侧面的电场强度通量为零。又因场强有x分量，所以，立方体上垂直于x轴的左、右两个侧面S1和S2对电通

17、量有贡献。设立方体左、右侧面场强分别为Ex1和Ex2，由于面S1的正法线矢量en的方向与Ex1的方向之间的夹角为p，故通过S1的电通量为而面S2的正法线矢量en的方向与Ex1的方向之间夹角为，故通过S2的电通量为则立方体表面的总通量为V·m（2）由高斯定理所以立方体内的总电荷量为C C（3）如果电场强度的三个分量变为Ex=by，Ey=bx，Ez=0，通过与x轴垂直的两个侧面的电通量为这两个侧面的总电通量为通过与y轴垂直的两个侧面的电通量为这两个侧面的总电通量为又由于Ez=0，则通过与z轴垂直的两个侧面的电通量Fe5=Fe6=0。则整个立方体的电通量为由高斯定理，所以此时立方体内的总电

18、荷量为918（1）设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的轴线平行，如图9-23（a）所示，试计算通过此半球面的电场强度通量。（2）若场强方向与这个半球面的轴线的夹角为p/6，如图9-23（b）所示，试计算通过此半球面的电场强度通量。图9-23ERSS´（a）ERSS´（b）解：作半径为R的平面S´与半球面S一起构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理有而则依规定：曲面上某点的法线矢量方向是垂直指向曲面外侧的，因此，通过此半球面的电场强度通量（1）（2）919（1）地球表面附近的场强近似为200V/m，方向指向地球中心。试计算地球带的总电荷量。地球的半径为m

19、；（2）在离地面1400m处，场强降为20V/m，方向仍指向地球中心。试计算这1400m厚的大气层里的平均电荷密度。解：（1）考虑到地球表面附近的场强指向地球球心，说明地球带负电。取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷。由高斯定理得地球带的总电荷量Q为C= -9.02´105C（2）在离地面1400m处，场强方向仍指向地球中心，但数值减小了，说明在这个高度内的大气层带有正电。设大气层带有正电荷q，高度为h，取与地球同心，半径为（RE+h）的球面为高斯面，由高斯定理得1400m处大气层里电荷量为C= 8.12´105C因为h<<R，大气层体

20、积近似为= 7.14´1017m3则大气层的平均电荷密度为C/m3=1.14´1012C/m3920 两个同心均匀带电球面，半径分别为R1，R2，已知外球面的电荷面密度为+s，大球外面各点的电场强度都是零。试求：（1）内球面的电荷面密度；（2）两球面之间，离球心为r处的场强；（3）小球面内各点的场强。rR1R2O+sq1q2图9-24解：（1）设小球面和大球面带电量分别为q1，q2在大球面外作一同心球面为高斯球面，如图9-24所示。已知，大球面外各点的场强为零，则该高斯面上E也处处为零，即E=0，整个高斯面上电通量。由高斯定理得于是即即图9-25+sR1R2Orq1q2由此

21、得小球的面电荷密度为（2）如图9-25，在两球面间以r为半径作同心高斯球面，由高斯定理得于是，两球面间离球心为r处的场强为图9-26R2O+sR1rq1q2（3）如图9-26，在小球中作一同心球面为高斯面，高斯面内，由高斯定理 因此小球面内各点的场强921一无限长的均匀带电薄壁圆筒，截面半径为R，面电荷密度为s，求其电场分布并画出E-r曲线。图927（a）RrhrERO（b）解：电荷分布具有轴对称性，带电薄圆筒激发的电场也具有轴对称性。如图9-27（a）所示，取高为h，半径为r，Oy轴为轴线的正圆柱面为高斯面。由于E与上、下底面的法线垂直，所以通过圆柱两个底面的电场强度通量为零，而通过圆柱侧面

22、的电场强度通量为E2prh，由高斯定理可得 （1）在圆筒内（），代入（1）式可得，则。在圆筒外（），代入（1）式可得则E-r曲线如图9-27（b）所示。922如图9-28所示，在与面电荷密度为s的无限大均匀带电平板相距d处有一点电荷q，q至平板垂线上有一P点，求P点的电势。图9-28dOPxsqx解：由于题中涉及无限大带电平板，电势零点不能选在无限远处。选取点电荷q所在位置为坐标原点，沿OP方向为x轴正方向，建立如图所示坐标系。选取x=d处为零电势点，则点电荷q及无限大带电平板在P点产生的合场强为于是，P点的电势为923 两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5cm，R2=20cm，已知内球

23、面的电势为V1=60V，外球面的电势V2=-30V。（1）求内、外球面上所带电量；（2）在两个球面之间何处的电势为零？解：设内、外球面上所带电量分别为q1，q2，由电势叠加原理，内、外球面的电势可表示为VV联立以上两式，可求得CC（2）在两个球面之间某处电势为零，有则m=0.1m924 在半径分别为R1和R2的两层同心球面中间，均匀分布着电荷体密度为r的正电荷，求：（1）离球心r处（，）的电场强度；（2）离球心处（，）的电势，并画出E-r，V-r曲线。解：（1）电荷均匀分布在两同心球面中间，电场强度应沿径向球对称分布，以两球面的球心为中心作半径为r的同心球面为高斯面，如图9-29所示。由高斯定

24、理有OR1R2OrrR2OR1EVVR1VR2rrR1R2图9-29得 （1）在内球面内（），因，代入（1）式得在两球面间（），代入（1）式得在外球外（），代入（1）式得E-r曲线如图9-29所示。（2）取无穷远处为电势零点，即，由电势可求得各区域的电势分布,当时，有特别当时，有当时，有特别当时，有当时，有V-r曲线如图9-29所示。925 一半径为R的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为r。（1）求柱内、外电场强度分布；（2）以轴线为电势零点，求柱内、外的电势分布；（3）画出电场E、电势V随距轴线距离r的E-r，V-r函数曲线。图930RRrE,VEV解：（1）电荷分布具有轴对称性，带电圆柱

25、体激发的电场也具有轴对称性。取与带电圆柱同轴，高为h，半径为r的圆柱面为高斯面。由于E与上、下底面的法线垂直，所以通过圆柱两个底面的电场强度通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度通量为，由高斯定理可得 （1）在圆柱体内（），代入（1）式可得在圆柱体外（），代入（1）式可得（2）以轴线为电势零点，柱内、外的电势分布为在圆柱体内（）：在圆柱体外（）：（3）E-r，V-r函数曲线如图9-30所示。926 一均匀带电直线长为L，线电荷密度为。求带电直线的延长线上离中心O（直导线中点）为r的P点的电势。解：如图9-31所示，取电荷元dq=ldx，它在P点产生的电势为AOLxPdxxrdq图931根据电势叠加原理，则整个带电直线在其延长线上P点产生的电势为*927 一半径R=6cm的圆盘均匀带有面密度为s=2´105C/m2的电荷，求：（1）轴线上任一点的电势；（2）根据电场强度与电势变化率的关系求该点的场强；（3）计算离盘心8cm处的电势和电场强度。OxPrdrRx图932解：（1）建立如图9-32所示坐标系。将圆盘分成许多不同半径的同心带电细圆环，其中半径为r，宽为dr的圆环面积为2prdr，此环带上的电量为dq=s2prdr，此电荷在轴线上P点产生的电势为根据电势叠加原理，轴线上任一点