第一章__函数与极限[1]

1、 第一篇 高等数学第一章 函数与极限2008考试内容 (本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质2008考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关

2、系。2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。6. 掌握极限的性质及四则运算法则。7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上

3、连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。一、函数的类型与特征 1 类 型 1.1 有界函数，如：，等等；无界函数，如。注意无界量与无穷大量的区别，比如：是一个无界量，因为；而就是一个无穷大量。无界量的特征一般存在振荡情况。1.2 单调函数（，），注意单调函数一般指严格单调函数，注意它与单调不增函数或单调不减函数的区别。1.3 周期函数，满足：，注意一般指最小的正周期。如的最小的正周期为。 狄利克雷函数，则任何有理数都是其周期。1.4 复合函数，一般形式为：，指具有中间变量的函数。1.5 反函数，存在一一映射的情况下，二者互为反函数。反函数有两种表达方式：不改变

4、记号 若为的反函数，则在某些场合，常把的反函数记为或，没有改变记号的互为反函数和的曲线重合改变记号若为的反函数，则在某些场合，常把的反函数记为或，此时已重新把视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号，一般在纯粹需要求反函数时，需要改变记号。改变记号后，互为反函数的两个函数和的曲线关于直线对称；。对偶性与反函数的定义域与值域具有对偶性，即的定义域必为的值域，而的值域必为的定义域，并且 。1.6 分段函数如： 著名的黎曼函数 1.7 隐函数，如使用，等方程表示函数（请读者画出后面四种函数的图形，在概率论中十分有用）。1.8 奇偶函数与对称性 常用的奇偶函数 奇函数 偶函数 在

5、对称区间定义的任何函数，都可以表示为奇函数和偶函数至之和，即 若的图形有对称轴， 则有，且为偶函数。 若的图形有对称中心， 则有，且为基函数。 若的图形有对称中心和，且 则 可见，为周期为的周期函数。2函数两个特性： 定义域与对应法则 自变量表示法的无关性；3函数表示方法：数学式（参数表示、方程表示、分段表示）；表格式；图形；文字叙述。还可以是极限形式、导数、积分或级数等形式表示。二、七个基本初等函数幂函数 是常数，指数函数 ，对数函数 ，三角函数 反三角函数 ，, ，, ， ， 双曲函数与反双曲函数 常数函数 初等函数：由7个基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合并能用一个数学式子表达出来

6、的函数。非初等函数：如，七个基本初等函数的定义域与值域及其图形，读者必须掌握，是考试重点。 题型1 函数定义域与值域题法【例1】。 解： 【例2】。解： 【例3】 求 。解： 题型2 求反函数题法【例4】解： 【例5】 求 的反函数。解 由于一般求反函数要求交换变量， 故 题型3 函数方程题法【例6】 设 解：令 评 注 利用函数自变量表示的无关特性。【例7】 设 求。解：令 再令 由原式和、联立即可得到 三、函数的连续与间断1、函数的连续要求 在的邻域内有定义； 存在； 2、函数的间断点 在邻域无定义； 不存在，包括至少有一个不存在的情形； 单侧极限存在时的不连续点称为第类间断点。分为以下两

7、类： 可去间断点（通过增加函数在点的定义值），如。 跳跃间断点，如。 单侧极限不存在时的不连续点称为第类间断点。分为以下两类：至少有一个不存在，包含振荡间断点与无穷间断点。四、重要结论：1分段函数不一定是非初等函数，如就是初等函数。2周期函数定义域不一定是一个区间，如的定义域为一系列离散的点；不一定有最少的周期，如没有最小正周期。3无穷小是指以0为极限的函数；无穷大是指函数的绝对值无限增大。等价无穷小是当时二者比的极限为1，在求极限时，只有在因式情况下可作部分代换。4初等函数在其定义域内不一定连续，如，任何一点都不存在邻域，故不连续。而初等函数在其定义子区间内一定连续。五、分段函数的复合方法一

8、般方法：我们把复合函数分为外层函数（如中的）和内层函数（如中）。如求1先将内层函数的代入外层函数中，便得的值域。2再解关于的不等式，确定的取值范围。3 求出2中的的取值范围与的原定义域的交集。4根据3中的交集分段把的具体函数段代入的具体函数段。题型4 分段函数的复合题法【例8】 设 求。解： 注意本题的定义域为全数轴。 【例9】 设 求。解： 【例10】 设 求。解：【例11】 求. 解：当 求交集 求交集 当求交集 求交集 所以：【例12】 设 求。解：当 求交集 求交集 ，无交集。当 求交集 求交集 ，无交集。所以：题型5 函数连续性题法【例13】 讨论的间断点。解：方法：先找出函数的全部

9、无定义点，他们一定都是间断点，然后再逐个检查无定义点的极限，再判断他们所属间断点的具体类型。无定义点 为第一类可去间断点； 为第二类无穷大间断点。【例14】 讨论的连续性。解：当时，分别在相应的区域连续；当边界点时，故为第一类跳跃间断点；而当分界点时， 都连续。【例15】 研究函数的连续性。解：方法：先检查每一个分段上有无间断段；然后检查边界点的单极限；最后检查分界点的左右极限。 时， 连续 ，在右连续同理：在连续，在左连续。在分界点： 所以为第一类跳跃间断点。六、函数的极限理论6.1 重要结论 5大标准极限标准极限1 标准极限2 注：为严格单调增加的，证明如下：陈氏第1技 标准极限3 评 注

10、 导数定义作为标准极限的应用的两个要点是：自变量有一个固定点；在固定点的 邻域函数有定义。标准极限4 标准极限5 评 注 抓高阶与抓低阶要针对具体极限的分子与分母从广义上去灵活理解。如抓高阶项就是；抓低阶项就是。 间断函数整体极限存在的7种“不定式”（注意当函数连续时是确定式，简称“定式”） 反过来，如果已知某间断函数整体的极限存在，则必为上述7种极限形式之一，此结论在考研中经常使用。求极限时，首先强行代入，如果能直接得出值，则为连续函数；反过来，如果是连续函数，求极限时就可直接代入；如果不能得出值，就是间断函数，这时，需要先定型（属于上述7类哪一种），再根据相应的方法解决它，即后定法。 的速

11、度排列（由慢到快，即无穷大阶次由低到高），此结论相当重要，务必记住，尤其对抓高阶法求极限提供了快速通道。 6.1.4 当=1时与为等价无穷小；当，且时与为同阶无穷小； 当时是的高阶无穷小； 当时是的高阶无穷小。 6.1.5 常用的等价无穷小 评 注 等价无穷小在极限中的应用，其本质上是利用泰勒公式中的佩亚若余项麦克劳林展开形式，一般使用到一级即可，但在必要的场合要使用到二级，甚至三级。上述公式中，括弧内的形式使用率较高，请读者留意。6.1.6 极限的3大特点和3大定理 极限的3大特点： 极限中变量的趋于是沿任意方向。 极限中变量的趋于可取任意方式。 极限中变量的趋于不是等于，为不定式，是近似值

12、；而相应的函数极限是等于，为定式，是精确值。利用这一特点就可以很好地理解 。 极限的3大重要定理： 保号（保序）性定理。 唯一性定理。我们说不存在，就是因为是个变量，违背了极限的唯一性。正是根据极限的唯一性，对于离散量求极限可以等价转化为连续量求极限。 局部有界性定理。6.1.7 极限的脱帽法 评 注 极限的脱帽法是解决极限的逆问题的重要方法。题型6 极限的脱帽法求极限逆问题题法【例16】 已知。 解： 【例17】已知，求。解： 【例18】已知，求。解： 【例19】设函数在点连续，且满足：，求。解：6.1.8夹逼法中可能使用的常用不等式 6.1.9 斯特令公式（必需掌握的手段）对所求极限存在阶

13、乘时，利用此公式进行等价代换很方便6.1.10 施托尔茨定理（参考方法） 若6.1.11 常用极限结论 可以等于（用施托尔茨定理很容易证明这个结论）题型7 存在阶乘时的极限题法【例20】 求 解法一：斯特令法 解法二：夹逼法 解法三：积分法 读者比较一下，就知道斯特令法最方便，另外，请放心大胆使用，不要担心阅卷问题。6.2 函数极限7大基本法 等价无穷小替换或利用泰勒公式； 取指数； 因式（包括三角和差化积或积化和差）分解或根式有理化； 洛比达法则（）； 变量变换（代数、三角、倒数、根式、同除等）； 数学归纳与递推；导数定义。 求极限一般的思想1。先把终点值强行代入，如果能得到值，则直接得到结

14、论，也说明函数连续；2。否则就要判断属于前述7类不定式的哪一类型极限，即先定型；3。再根据相应类型求极限的方法解答，即后定法。请记住下列歌诀，可能对你有帮助：陈氏第2技考点极限7大类， 强行代入试真迹；指罗泰等变两头， 定型定法多思量。评 注：指（取指数法）；罗（罗毕达）；泰（佩亚诺余项的麦克劳林形式的泰勒展开）；等（等价无穷小）；变（代数变换、三角变换、倒数变换、根式变换、同除变换，等等）；两头（对趋于无穷大型，以最高阶的系数决定极限，对趋于无穷小型，以最低阶的系数决定极限）题型8 不定型极限的题法【例21】 求解法一：利用罗比达法则 解法二：利用泰勒展开评 注 解法二：利用泰勒展开在大多数

15、情形下能简便解答极限问题，读者务必掌握。【例22】 解：原式= 【例23】已知有整数使极限存在且不为零，求。解： 此极限存在，则必为型，故不为零，则与必须为同阶无穷大，所以， 评 注 类似的题型很普遍，请读者掌握其中的解法本质。如题型9 不定型极限的题法【例24】 求 解：原式= 【例25】 求 解： 题型10 不定型极限的题法【例26】 提示：利用 解：原式=【例25】 解： 【例27】 已知在内可导，且有，求。 解： 题型11 不定型极限的题法【例28】求极限 解：这里需要搞清楚两个基本概念：1(定式)和(不定式)不是一回事。当时，在实变函数范畴没有意义；当时，；2，也就是一个有界量。，

16、的等价无穷小就是；因而 【例29】 解： 【例30】求解： 【例31】解：抓两小头，由于，分子最小头是（的等价无穷小），分母最小头是（的等价无穷小），故。【例32】设，在区间内有定义，若当时，恒有，求。解： 【例33】在上连续，且，求。解：，所以在点连续。【例34】求极限解：根据定理（见同济五版Page121）：【例35】已知存在，且，求。解: 设，利用泰勒展开，则 【例36】 。解：原式=上述极限存在，必须为【例37】 ，若是其可去间断点，求的值。解： 题型12 不定型极限的题法【例38】已知 存在，求，。解： 当且仅当时，原极限存在，故 【例39】解：此类极限的求解一般方法是，将无穷大量换

17、成无穷小量 如果分子和分母都是一个整式，则直接抓分子分母的最高次项的系数，对本题有 【例40】解法一：解法二：抓大头 评 注 抓两头方法，一般不适合解答题求极限，也不适合指数为极限趋向变量有关的情形。【例41】求解：抓两大头，由于，分子最大头是，分母最大头是，故。【例42】求解：由于指数为极限趋向变量有关，故不可直接抓大头，把它转化为。 题型13 不定型极限题法（取指数转化为罗毕达型）【例43】解： 题型14 不定型极限题法（取指数转化为罗毕达型）【例44】解：【例40】解：题型15 含参极限题法【例45】，试讨论的可导性。解：这是一个含参极限问题，一般方法是对参数分段讨论。由于每个定义区间为

18、初等函数，是连续的，故，只需讨论的可导性故两点不可导，其余均可导。【例46】求解：显然，在三个界面点处有 当； 当；综上所述 题型16 极限保序性应用题法【例47】设在上一阶可导，在内二阶可导，证明：内恰有一个零点。证：不妨设，由极限的保序性知，存在，使得又因为，所以：【例48】设在上连续，在内二阶可导，证明：（1）；（2）。证明：（1）再由极限保序性，得存在，使得 根据拉格朗日微分中值定理，使得（2）由一结论知七、数列极限4大基本法（次和，） 特殊级数求极限法； 转化为函数求极限法； 利用夹逼准则； 利用定积分定义法求极限。 注意：实际应用中注意以下两点：1一般区间为；2转换公式 题型17

19、数列极限题法【例49】 设，证明 存在，并求此极限。证明： 采用归纳法，先考虑的有界性，再考虑单调性。 假设：，则，故有界。又，故单调。 所以，存在。记。由极限的唯一性，对两边同时取极限，得 再由极限的保序性。得，所以。【例50】 解：原式=令 =故原极限=【例51】设在某邻域可导，求 解： 根据极限的唯一性，令，等价求相应函数的极限 【例52】解：【例53】 求 解：对于取整函数有以下两个结论：1） 2） 利用夹逼准则得：【例54】 解：利用定积分公式 【例55】 求解：利用定积分公式原式=由夹逼准则知，原极限=数列极限的特殊求法（参考方法）【例56】求解：令=，根据极限唯一性，在求极限时可

20、以把视为连续变量。利用数列极限的特殊求法令 由于， 故令附录1 积分中值定理及定积分极限 题型2009一、完整的积分中值定理包含下列全部内容1 函数平均值 2 第一中值定理 如果函数在积分区间上连续，则。（教材上的描述），对于加强型，则取开区间，即 如果函数在积分区间上连续，且当时，不变号，则则。3 第二中值定理（超纲内容，仅仅作为理解用）若函数在积分区间上有界并可积，当且当时，单调，则。若函数在积分区间上有界并可积，当且当时，单调递减（广义上），且为非负数，则。若函数在积分区间上有界并可积，当且当时，单调递增（广义上），且为非负数，则。二、与积分有关的求极限题型 【例1】求极限 解：利用积分比较定理 【例2】求极限 解：利用积分比较定理 对任意给定的，且设，则【例3】求极限解：当，有 【例4】求极限解：【例5】求极限，已知。解：应用第一中值定理 三、罗毕达法则3.1罗毕达法则具有下列两类等价描述1. 型