第2讲曲线和曲面的矢量方程和参数方程

1、CAD/CAM技术基础第二讲：曲线和曲面的基本理论（曲线和曲面的矢量方程和参数方程）2009年3月1/521#主题：怎样用参数来表示曲线曲面？矢量方程 参数方程？1、从形状数学基本要求出发导入曲线曲面的基本表示方法2、从矢量、位置矢量引出矢量方程、矢函数的概念3、单参数、双参数的含义，参数域的含义。*的概4、曲线的两个性能参数一一导矢、切矢的概念，曲率和挠率 念。5、曲面论（矢量方程、曲面上的曲线、切矢、法矢）#2/52#、关于形状数学描述的基本要求上课内容一、关于形状数学描述的基本要求二、CAGD中关于矢量的背景知识三、曲线和曲面的参数表示四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）五、曲面论（矢

2、量方程、曲面上的曲线、切矢、法矢）六、曲线、曲面表示的几何不变性七、参数化与参数变换3/52一、关于形状数学描述的基本要求要在计算机内表示某一工业产品的形状，其形状 的数学描述应保留产品形状的尽可能多的性质。从计算机对形状处理、便于形状信息传递与产品 数据交换的角度来看，应满足下列要求：4/523、关于形状数学描述的基本要求1. 唯一性自由型曲线曲面传统上采用模线样板法按模拟量传递，不能 保证形状定义的唯一性，才转而采用数学描述。可见唯一性是 对形状数学描述的首项要求。唯一性对所采用的数学方法的要求是，由已给定的有限信息 决定的形状应是唯一的。在参数表示下的曲线曲面，需要附加某些限制，一般地也

3、能 得到满足。5/52、关于形状数学描述的基本要求2. 几何不变性当用有限的信息决定一个形状，例如三点决定一 条抛物线，四点决定一条三次曲线时，如果这些点 的相对位置确定后，我们要求所决定的形状也就固 定下来，它不应随所取的坐标系改变而改变。若采用显函数表示，就不具有这样的性质。6/525、关于形状数学描述的基本要求、关于形状数学描述的基本要求2. 几何不变性欲保持曲线形状不变，虽然可将原曲线上点逐点旋 转得到，但曲线上有无限多点要逐点进行就行不 通了。即使旋转有限多个点，其计算量也远比仅仅 旋转三个数据点大得多。如果采用的数学方法不具有几何不变性，那么用同 样的数学方法去拟合在不同测量坐标系

4、下测量得的 同一组数据点（不考虑测量误差）就会得到不同形状 的拟合曲线。显然这是我们所不希望的。标量函数不具有几何不变性。参数曲线曲面表示 在 某些情况下具有几何不变性。 8/57、关于形状数学描述的基本要求2. 几何不变性上述三点，分别赋于参数u= 0, 0.5 , 1,则可得过这三点的一条唯一的参数三次曲线。p(u) = 2(u-0.5)(u -1 ) po-4u(u-1)pi+2u(u-0.5)p 2,其中Po, p 1, p 2,分别为上述三点的位置矢量。无论将这三点怎样同时旋转和平移，它们间的相对 位置保持不变。一、关于形状数学描述的基本要求2.几何不变性参数曲线曲面表示并不总具有几

5、何不变性。女口： p(u)=(1-u)2p0+u2p1,0 < u< 1。#、关于形状数学描述的基本要求#、关于形状数学描述的基本要求10/52#、关于形状数学描述的基本要求3. 易于定界产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。这个 要求能否得到满足也与描述形状的数学方法有关。假如在某个xoy坐标系里一条曲线，一些x值对应多个y值， 一些y值又对应多个x值。若用标量函数描述这样一条曲线，要界定它的范围会是很困难的。但若用参数矢函数p(u) =x(u) y(u) 描述，就可以简单地用a < u < b界定它的范围。这里u= a与u= b分别为曲 线在首末两端点的参

6、数值。11/529、关于形状数学描述的基本要求#、关于形状数学描述的基本要求12/52#、关于形状数学描述的基本要求4. 统一性能统一表示各种形状及处理各种情况，包括各种 特殊情况。例如曲线描述要求用一种统一的形式既能表示平 面曲线，也能表示空间曲线。对统一性的高要求是希望能找到统一的数学形式 既能表示自由型曲线曲面，也能表示初等解析曲线 曲面，从而能建立统一的数据库以便于形状信息传 递及产品数据交换。13/52M（1 "HV up,同样运用待定系数法求之！尸yG） ?p（u>T（u） y（u）J I14/525. 计算机处理简单易行使之易于在计算机上实现和易于推广应用15/5

7、2、关于形状数学描述的基本要求从形状表示与设计的角度来看，形状数学描述还 必需满足下列要求：1. 具有丰富的表达力与灵活地响应的能力 形状的 数学描述必须具有灵活地响应设计员 自由地绘制任 意形状的能力。2易于实现连接，且在许多场合要求的 光滑连接。3. 易于实现对形状的控制。4. 几何直观。16/5211曲线的表示1. 一般表示形式p(t) =x(t), y(t),z(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, t 屮,t?p(t)二a。+art +a2t2 +a3t3,t 0,1线次抛物'IH"p( 0) = cos 0,sin 0B0,2 冗圆p(t) =

8、acos?t,asin?t,vt t 0,L/v螺旋线思考题：上面空间螺旋线的非参数方程表示形式是什么？Z,Y用X表示,而参数化为Z,Y ,X均用 一个变量t表示，简便，易懂！ ！17/52、CAG中关于矢量的背景知识矢量绝对矢量相对矢量位置矢量固定矢量或常矢量变矢量矢函数：变矢量随着某个变化的标量即参数而变化，则称它为该参数的矢函数单位矢量：表示方向18/5213、CAG中关于矢量的背景知识线性插值p(u)=(1-u)p o+upi u 。，1 p(u)=(1-u 3)po+u3pi u 0,1 高次直线19/52二、CAG中关于矢量的背景知识线性插值：F0(u) = 1-u ,F 1(u)

9、=u 当 u=1/2时的直线中点，而参数三次直线，p(1/2)不 是直线段的中点。一般地， 若p(u)=F o(u)p o+F(u)p 1,满足F o(u)+F 1(u) =1,就也表示过两点p o,p 1的直线 这里F°(u) ,F1(u)称为基函数或混合函数。20/52三、曲线和曲面的参数表示空间曲线上的一个点p（位置矢量）曲线被表示成参数U的矢函数p(u)=x y x=x(u) y(u) z(u)笛卡儿分量表示p(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k, 其中 i,j,k 为单位矢量 简记为：p=p(u)15例题1x17x#例1求空间螺旋线的矢量方程 和参数方程x#x#23/

10、52x#x#空间曲线一一圆柱面x2 + y2 = a2圆柱螺线点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转;M(x,y,z)x = acost y = asin t z = bt（移动及转动都是等速进 行，所以z与 t成正比。）当t从o T 2 n螺线从点P-QPQ = 2 %b叫螺距同时又在平行于Z轴的方向 等速地上升其轨迹就是圆柱螺线。24/52x#例题2例2对于直线参数方程P(u) = F °(u) P °+Fi(u) P i,a) 当作线性插值时，写出F 0(u)和F1(u)的表达式 ，并计算出位于直线中点时，参数u的值；b) 当 F0(u) =(1 u3)和 F1(u) = u

11、3 时，再次计 算位于直线中点的参数u的值；25/52四、曲线论(导矢、自然参数方程、曲率)1.矢函数的导矢矢函数：变矢量随着某个变化的标量即参数而变化，则称它为该参数 的矢函数p(u) = Cxtu) J?<u)r. - . dpdy(u)曲线在U=%的一嫗至、|, pfw 十厶u) 一 PWJi>(u&)存 Jim 和*Au曲线在处的亟它指向曲线参数增长的方向类似地，可以给出曲线在u=u 0处的高阶导矢。26/5219四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）2. 导矢在几何上的应用导矢的物理意义也是明确的，当参数u是时间时，一阶导矢就 是速度矢，二阶导矢是加速度矢。例题3

12、,例题4 书上的15, 16页圈1-B曲妊的轻距歧27/5221四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）#四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）具有明确的几何意义<1 - uzll十示 1 + L?丿'28/52四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）3. 曲线的自然参数方程在曲线的参数方程中，由于参数选取的不同，得到的方程也会 是不同的，有的具有几何意义，有的不具有几何意义p=cos 0 sin 00 w BW 90又如p =ao+aiu+&u2+a3u3中参数u并没有有明确的几何意义3.曲线的自然参数方程一般地：当曲线取任意参数时，参数域内线 段长度之比既不等于曲线上对应

13、曲线段弧长之 比，也不等于对应曲线段的弦长之比。仅在曲线取自身弧长或弧长的线性函数为 参数时，参数域内线段长度之比才等于曲线上 对应曲线段弧长之比，但一般地仍不会等于对 应曲线段的弦长之比。可见这种对应关系与参 数选取有关。同一条曲线的参数化是不唯一的（正确）29/52用不同的曲线方程描述同一条曲线，一般地其差别在于曲线上 的点与参数域内的点之间的对应关系不同.四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）3. 曲线的自然参数方程工軽長为步检的曲践点曲线上每一点的位置与它的弧长之 间有一一对应的关系。以曲线弧长作 为曲线方程的参数，这样的方程称为 曲线的自然参数方程，弧长则称为自 然参数。曲线的参数方

14、程和矢量方程为r=rO）（5）30/5223四、曲线论(导矢、自然参数方程、曲率)3.曲线的自然参数方程自然参数方程和一般参数方程的关系自然参数方程的一个重要的性质-自然参数方程的切矢为单位矢量31/52四、曲线论(导矢、自然参数方程、曲率)3.曲线的自然参数方程例题5:已知一般参数方程 r(t)=a cost,a sin t,bt 求自然参数方程实际上求出t和s的函数关系t(s)求岡柱螺战踽询册hDW足沏 的萤畏 屏晦其燹換威 为用孤农奉数s表示的方程.''32/52253.活动坐标系和基本三棱形#33/52#四、曲线论（导矢、自然参数方程、曲率）#4.曲率#曲率的几何意义=

15、 k - AS I曲线在一点的曲率等于切线方向对于弧长 导数d 0 /ds曲率表示切线方向对于弧长的转动率。转 动越快”曲率越大，弯曲程度越厉害。曲率恒等于零的曲线是直线34/521. 曲面的矢量方程和参数方程回转面ffi 1-U回黠面询先虑35/52五、曲面论（曲面的矢量方程、曲面上的曲线、切矢、法矢）1.曲面的矢量方程和参数方程m I t L的点写廉柯董内曲直闾的朝射求乐正常情况下，参数域内的点与曲面 上的点构成 对应的映射关系。矢量方程：双参数的空间曲面方程参数方程弗W）颅冬N；鲨怖 y = j（阳wO即冬競冬轲 蛊R詆 1&）上式中如耐诙吹范盼柱欣单塚方膨20/訂2729#五、

16、曲面论（曲面的矢量方程、曲面上的曲线、切矢、法矢）2. 坐标曲线（参数曲线）当w=w r=r（u,w o）这是单参数u的矢函数, 构成曲面上的空间曲线，称为u线。U线和w线统称坐标曲线（或参数曲线）， 其特点：< 1） Q3 w<li（2 >在”级上，3址是然蠻、在劭绘上，昶倉赴常轴< n理蝮和世级蛆成妁坐标嗣榕的夹角不定為咒带】（4】M线和泪块组皿空间僧面嗣幕可以用来构造整张曲雅38/523.坐标曲线上的切矢对矢函数r（u,w）对u求偏导数r u(u,w)=. r(w +os) tCwkW)=1 Im 切矢的方向指向参数u增长的方向。39/52五、曲面论（曲面的矢量方

17、程、曲面上的曲线、切矢、法矢）4. 曲面上任意曲线及其切矢实质上：矢函数r（u,w）中u,w与t的函数变换p = p(u(t),v(t) =(x(t), y(t),z(t)5. 曲面上的法矢和法线方程（p27页例题6）40/52#上课内容一、关于形状数学描述的基本要求二、CAGD中关于矢量的背景知识三、曲线和曲面的参数表示四、曲线论(导矢、自然参数方程、曲率)五、曲面论(矢量方程、曲面上的曲线、切矢、法矢)六、曲线、曲面表示的几何不变性七、参数化与参数变换41/52本讲思考题(1)对于形状数学描述，从计算机对形状处理，便于形状信息传递与产品 数据交换的角度，应满足哪些要求，请简要说明？(2)已

18、知xoy平面第一象限，圆心在原点的1/4单位圆的参数方程p=cos 0 ,sin 0 0<0<n /2,现有一参数u, u=tg( 0 /2),试将上述的参数方程变 换成以参数u表示的参数方程，同时给岀相应的参数域。42/52思寿题：试证明具育规范基的曲线曲面 當=工側八 其中6为蕙数矢量，诈为基函数'y-6满足-I）且有几何不变性”思考题一设空丘曲线r的蓼数方程为r = KO = k +1曲-3,2?-6tiE乩求曲线卩在与嘉二2相应点处的羊位切向董"43/52思考題写出曲-F33+F在参数2 0处的切线方程和法平面方程匚 习题：已知刊y平面第一履瞰圆心在原点的

19、他单徨囲的参数方p-«5sLnQ 现有一勢数斗 沪烷£试将上述的参数方程变换成以参数u表示的参数方 程，同吋给出相应的多数域.44/52思考题：求曲线jc = ncos3/, v = a sin' r在二ta相应点处的曲率°参考答案：而(8)证明题试证明三次曲线P(t) = a0 + a1t + a2t2 + a3t3，其中参数t取弧长为参数时，只能表示直线，不能表示曲线。45/52(9)思考题：求球面x2+y2+z2 = 14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程。46/52(10)写出曲贱旳I）=他UM'在舂数（1）处的法线方程和切平面方程-4

20、7/52习JSh CJ® TjfiSft 滋HL 埋心ft區点的1 4单他Bl的參以方i（S p-R聊.p独込o ）U蜒*話畑堰育 那甦.u-bB-r试将上述的肆WU程变擾眦以势裁U我杉的星独力 26-阿时绘出和应的寥敢城，ccwtf = w#(2-(?rctew)= 2cos1(orcCgw)-1« ! -l 工-_1 + UI*"第_專廨均星正号一(/cuslia'mgs)- 丄.cos2£? =.2£r- 1)土Jl"sin E sit2-nrcfgJ l - 2右嚥卫此 客打 二 2 丁 * Vl + i3 J1+就丄

21、l+wJ(*= i,in let = 2-itinfl*'CC#ci*)±V1 + 鶴一尊限均取正号48/52X*P u的曇数城为鹅）的Ct域：.毗他劄化0"弟 思若題：试证明具有换范基的曲统曲両的，其中叫为黑数矢城诃为垒函数，?-9構足丈鼻三"具有M何不变性"/O答：不失一般件r假定坐杯系固定曲线、Ml面相对于坐标萊先離转后平抑炭料和平移 矢帚分別为阴与C.文设经旋转与平移后曲贱、肌面上的点的包置先址为严.时于规范基 有：p - pf+c =+cf-annn=斡 i = £gvz-i 曲won于是：戸=丫住;耳JO其中：4 = 计+_

22、 町见*科于规范基表示*歌获釘经旋转平核变换后的曲线、曲面表 示*仅需将原表中的系数供埜（郡是绝对矢量井相同的旋转平移变换就可.49/52这就证明规范基表示具有几何不变性.思考题谖空间曲线匸的鑫数方程为2应）叫尸+UF 入対心,“乩求曲线1 在与10=2相应点处的单位切向量.解:r,（fl = 2/,4T4/-«peJRT严打4,屯第| g |= J2+4-+卫=6由导妊的几何意义知，曲线r在与1=2相应的点处的一个单徒切丢是I"吕黑， |J其抬間片t的增长古向致；另-亍单吨切向量是-|-|S-H其指向与t的 增长方向相反.50/52思考题 耳岀曲线屯)=(3一凡討3十門在参数20肿的切线方稈和法平面方程" 解：由尹f) = 3肚3+ 2"有:尹® = W)史由 f (0) = 0,0,0 3u曲线在该点处的切线方理是：彳曲线在谨点扯的注平而方程是：x + y + z=Q51/52思君题：求曲蟻2处。宀J = (Vijiil3 r在2®相应点