第2章完全重构滤波器组

1、第二章完全重构滤波器组子波变换与多率滤波器组是有着密切的关系，Daubechies利用 离散滤波器迭代的方法构造了紧支集正交子波基，从而使子波由 滤波器的系数来决定，子波变换的内积运算转换为线性滤波(卷 积)的运算。Mallat 在多率滤波器组的基础上用多分辨率分析的概 念定义子波，利用子带编码和滤波器组的概念提出Mallat 算法， 使得子波变换成功地应用在信号处理领域。为了叙述方便和引 入子波变换的概念，首先来讨论子带编码中滤波器组的一些重要 的结论。§2 - 1子带编码和滤波器组子带编码的概念可以用图2.1来解释。分析滤波器综合滤波器NN图2.1 子带编码系统信号x(n)通过一

2、组分析滤波器组，由于要减小带宽，各滤波输出 分量用一新的奈奎斯特频率重抽样，产生子带信号。各子带信号 经过编码、传输，在到达目的地译码，为了重构原信号，必须恢复 原带宽，对由重抽样产生的各子带信号按原输入信号的抽样频率 插入零值，再经过一组综合滤波器组，将各输出的分量迭加形成 重构信号。由于信号通过不同频带的滤波器，各子带信号具有不 同频率分量，在子带分析和综合中必须解决两个问题：没有 混迭现 象和完全重构。无混迭的完全重构意味着在没有编码损失情况下 系统是位不变系统。在这种情况，也完全可 能消除幅度和 相位的 失真，而达到完全重构。子带编码系统中要解决的问题可以归纳为各不同频带的滤波 器之间

3、在频率域上没有重叠，即各子带信号不会产生混迭现象； 也即寻求各分析滤波器或综合滤波器 之间的关系；产生的子带信 号经过插入零值和综合滤波器滤波迭加后能否恢复原信号；也即 各个子带信号能否完全重构原信号，本章将环绕这两个问题来讨 论。§2-2双通道滤波器组的完全重构条件我们从最常用的双通道滤波器组系统讨论。图2.2所示两通道 完全重构滤波器组的系统，信号x(n)(它的Z变换为X(Z)经过 两通道的分析滤波器滤波产生yo和 yi再隔2抽样成为分析信 号。现在的问题是能否从抽样后的分析信号恢复成 原信号？图 2.2的重构部分是将抽样后的分析信号隔2加零后再经两通道综 合滤波器滤波迭加以恢复

4、原信号x( n)。图2.2双通道完全重构滤波器组图2.2中分析时的隔2抽样和恢复重构时的隔2加零可以看 成用f (n)调制，f ( n)由下式给出：f n =1 1 ej3 .(2.1)现讨论系统完全重构的条件。以0通道为例。对信号隔2抽样后 的信号为1nSn ) = y。(2n )= - Iy°(n)+ (1) y°(n),(2.2)其z变换为SZ2 =1YO ZYo -Z 1(2.3)若对s n隔2填零，则其Z变换为N 丄N/2 J丫0 (Z)=送一(n Z = Z S(ngn ®Z2).(2.4)n£n由式(2.3) 可知信号隔2抽样将产生混迭信号

5、 Y)(-Z)，在两样本之 间插入0值，在Z变换域中相当于将 Z代替Z,在Z变换域通道0 具有下列关系式：Y0 Z =Ho Z X Z(2.5)丫' (Z )冷H。(Z X(Z )+ H° (_Z )X(_Z )(2.6)和Xo Z =1 I.Ho Z X Z Ho -Z X -Z Go Z(2.7)显然 H>(-Z)X(-Z)是由(2.1) 式中的e j :(n-1)产生的混迭，完全重构原 信号必须消除混迭部分。通道1具有相同的关系式。因而X'(Z)可 写成1X'Z 二八HoZGoZ H1ZG1Z x Z小、2(28)Ho -Z Go Z Hi -ZG

6、1 Z X -Z /从(2.8)式可见，重构信号X'(Z)是原信号X(Z)和调制混迭信号X(-Z)的 函数，即X' (Z )= Fo(Z )X(Z )+ F1 (Z )X(-Z )(2.9)式中1Fo Z =2 Ho Z Go Z 已 ZGZ ,(2.10)1F(Z)=2 Ho(-ZGo(Z)+H1(-ZG1(Z)l(2.11)由于Fo(Z), F 1(Z)是线性时不变系统，因此，从(2.9) 式可见双通道 滤波器组的完全重构的充要条件是Fo(Z)是纯延迟系统，而F(Z)等于零。 将(2.10)，(2.11)式用矩阵表示式可写成:Zo(2.12)Fo(Z)l=Ho(Z) HTG

7、o(Z)!七匸厂2*0(百 H1(z)Fg1(z)或f Z =Hm z gZ "Z 丄 0，(2.13)式中f(Z) , Hm Z，g(Z)是式(2.12)中相应的矢量和矩阵，T表示矩阵的转置。如取g z =HmT z Z上 ol：即可满足完全重构的条件X' Z =fTZ XZX -Z T二 IZ- OHm1 Z Hm Z IX Z X -Z T(2.15)=Z -X Z式中 H(Z)是由分析滤波器 H(Z) , H 1(Z)组成的矩阵，称为分析滤波 器矩阵，又由于含有Ho(-Z)和 H(-Z)，故又称为混迭成份矩阵aliasi ng comp onent matrix或 系

8、统调 制矩阵 modulation matrix(2.16)其行列式为Hm(Z j = Ho(Z(-ZH°(-Z)H1(Z)= P(ZP(-Z(2.17)式中P(Z)二H(Z) H(-Z)，从(2.14)式可见完全重构滤波器组满足下列形式：(2.18)(2.19)(2.20)严*C(Z) H1(Z)D(Z)' H°(-Z)(2.18)式的重构条件不是唯一的，例如G°(z)匸卜乩匸Z)巴(一Z)若H Z 二Z2k丄H。-Z-,H。Z H。ZHo -Z Ho -Z 亠=2代入(2.8)式也可得到完全重构滤波器组又如H(Z)的逆矩阵为Hm' Z 二”1I

9、 H1(-Z)Ho(ZZ )- Ho(Z R(zHo(Z )-H")Ho(Z)(2.21)17如果上式的分母即H(Z)的行列式为纯延迟单元，且综合滤波器组选为G(Z)_H°(-Z) Ho(Z(2.22)#代入(2.8) 式可得(2.23)x z i=p z - p -z X z系统的传递函数为H(Z)的行列式，如将(2.2O) 式代入P Z -P -Z =2Zk(2.24)为纯延迟单元。#表2 -1为双通道常用完全重构的正交镜象滤波器组的比较 表中ALD表示混迭失真，AMD表示幅度失真，PHD表示相位失真。表2 -1 双通道常用完全重构的正交镜象滤波器组的比较公式(2.22

10、)公式(2.18)滤波器间关系式H(Z)二H(-Z) G0(Z)=H0(Z) G(Z)二-H°(-Z)G( Z) =ZL H)( Z-1)G(Z)=ZlH(Z-1)HZ)二-Z-lH(-Z-1)L是滤波器阶数r h(z)的相位响应线性非线性H( Z)的其他重要特性h0(Z-1)H3(Z)是零相位FIR半带滤波器正交镜象滤波器组 失真ALD抵销 AMD肖除 APD消除ALD抵销 AM/肖除 APD消除r滤波器的符号N=H(Z)的长度N=H(Z)的长度:实现整个分析/综合 系统所需的单位时间 的乘法次数N (直接形式，多 相位)N> (栅格式，多相位)整个分析/综合系统 的群延迟N

11、-1N2-1滤波器组的多相位表示式设滤波器的多相位表示式为Hi Z =Hio Z2ZHj1 Z2(2.25)式中Ho(Z2)表示只含H(Z)的偶标号系数(偶标号项之 H1(Z?)表示只含H(Z)的奇标号系数(奇标号项之间为0 )2Ho(Z2 )Hp(Z2)=' 22- I.H10(Z2)已*2) 2H!(Z) H-Z即可得多相位矩阵H，(Z2)和分析滤波器矩阵H<Z)之间的关系式 2 1 1 1Hp(Z )pHm(Z)H _1f分析滤波器矩阵和多相位矩阵的行列式之间有下列关系：Hm(Z$ = -ZHp(Z2 *(2.28)H01 Z21 Holz! Ho -Z 1S -_1_1(

12、I Z(2.27)间为0 ),，则2.26)Hp Z 二 Ho。Z Hu Z - Hoi Z H10 Z= Z1/2 IP Z1/2 -P -Z1/2 1(2.29)IR ) 分析滤波器后随FIR综 设H(Z)和H(Z)是分别具有长(2.30)(2.31)M+M 为 奇时，M=(1/2)( M+M+1)。若(2.32)(2.33)行列式(2.34)下面进一步说明用有限冲激响应( 合滤波器的完全重构的充要条件。 度为M和M的FIR滤波器Mo：Mi 2PZ =Ho Z Hi -ZpiZ 丄i _Q则_Ms 2PZ -P -Z =2、p2iiZ2ili _Q当 M+M 为偶时，M=(i/2)( M+

13、M)，当P2i 为任意，且10ikP2i 1|ii = k时可得PZ -P -Zi=2Z"7因此完全重构充要条件是 H(Z)的detHmZ = 2Z42k)满足(2.33) 式的约束的P(Z)称为有效多项式vilad poly no mial。从(2.29)式可见,多相位矩阵的行列式也为一纯延迟单元，再从 (2.32)式可见有效多项式P(Z)只能含有单一个非零奇项系数。从上面讨论来看，满足完全重构条件的滤波器组的设计关键 在于寻找满足约束条件的有效多项式和有效多项式的分解，从而 设计出分析滤波器。再由分析滤波器导出综合滤波器。§ - 4正交镜象滤波器组(QMF )在子波分析

14、和子波变换中通常采用下列双通道滤波器组系统 如图2.3。19若双通道均采用偶抽样，G0 Z , G1IZ 分别为 g0 -n g, -n的Z变换，贝iX'（Z 戶2 Mo （Z Go（Z）+ Hi （Z 戸（Z yx（z）+i2Ho（Gi（z）+Hi（_ZGi（z）x（_z）（2.35）若满足下列条件Ho Z Go Z Hi Z Gi Z .2H0 -Z Go Z亠 Hi -Z Gi Z =°图2.3子波变换中的双通道滤波器组系统(2.36)则系统完全重构。在正交条件下ho(n)，hi( n)组成正交滤波器组， 即满足Go(Z)=H°(Z 丄)G(Z 戶 Hi(Z)

15、1 1(2.37)Hi Z 二Z 丄H。Z 丄将(2.37)式代入(2.36)式，可得Hi Z Hi Z Hi Z Hi Z=2, i 0仁(2.38) 将(2.37)式变换成时域为（2.39）ho n = g。n ,hi n =gi -n ,1 nhi n -1ho 1 - n(2.38) 式表示滤波器的冲激响应ho( n)，hi( n)在偶平移处相互正交， 而滤波器ho( n)， g o( n)和hi( n)，gi( n)组成镜象滤波器，把满足上述(2.38) ，(2.39)式的滤波器组称为正交镜象滤波器组(QMFB)。下面再讨论双正交条件下的滤波器组，分成两种情况来讨 论，第一种情况是双

16、通道滤波后均采用偶抽样，令Go Z 二 Hi -Z , Gi Z 八Ho -Z(2.39)同样可以满足完全重构的条件(2.34) 式，转换成时域为nn十hi n = go -n , gi n =ho -n .(2.4。)上式表示分析低通滤波器和综合高通滤波器正交，综合低通 滤波器和分析高通滤波器正交。现再讨论第二种情况，即一组用 偶抽样，另一组用奇抽样。由于奇抽样相当于插入一个延迟单 元，参照图2.2的双通道滤波器组系统，已知偶抽样时2os(n)= y(2n 罔 b(n)+(_”y(n j|而奇抽样时n 1d n =2 ly n 1 1 y n ,因而双通道抽样后的输出分别为2 1S Z=2&

17、#39;HoZ X Z Ho-Z X-Z1,Z 丄DZ2=1|HiZ X Z - Hi-Z X-Z(2.41) 则双通道滤波器组的输出为X'(Z)=Go(Zp(Z2)+G1(Z；ZD(Z2)IHo Z XZ Ho Z X -Z Go Z+ 2 H1(Z X(Z )_ H1(2 )X(_Z 逅(Z)(2.42) 满足完全重构的充要条件为H°(ZGo(Z)+H1(ZG1(Z)=2, Ho -ZGqZ - H1 -Z G1 Z =0.(2.43) 时系统X'(Z)二XZ)。若G°(Z )= H1(Z ) ®(Z )= H°(Z )(2.44)即

18、可满足(2.43)式的完全重构条件。将(2.44)式转换为时域表示式n-Hn -frg° n - -1h1 -n , g1 n-1h° -n .(2.45) 同样组成双正交镜象滤波器组。§2 - 5 有限长度滤波器的边界延拓在信号的子带分析中，子带分析 重构系统必须满足下列两个条 件：完全重构性。原始信号可以由它的子带信号完全重构，由 前面的分析可知由正交镜象滤波器组组成的系统是完全重构的系 统；子带信号的数据点数的总和不应多于原始信号的数据点 数，否则子带编码的压缩效率将降低。对于无限长度的信号，它们的频带是严格受限的，根据抽样定理其子带信号进行严格的抽 样就能

19、满足条件和。然而对于有限长度的信号，信号经过子 波变换的线性滤波，子带信号的数据点数将大于原始信号的数据 点数，从而引起边界外延，如果满足条件的完全重构性，子带信 号在严格抽样时的数据点数将增加，不能满足条件。如果去掉 因线性滤波而增加的点数以满足条件，则由于信息的丢失，重 构的信号将产生畸变，不能满足条件。为了同时满足两个条 件，必须对原始信号进行边界延拓，形成一无限长信号，以减少 信息的丢失。设原始信号x(n)的长度为N，滤波器的长度为L。将原始信号 首尾各延拓(L-2)/ 2点形成延拓后的信号 n，有下列几种延拓方1 零延拓：；x(n)0 兰 n c Nx(n)f o -2) + 1 兰

20、n；0, N 兰n：N +(L/2)1(2.46)2 周期延拓：-L 21 _ n ： 00 岂 n ： NN 乞 n : N L 2 -1x(n+ N)mod N)(n)x(n)x(n mod N)(2.47)3 边界重复：x(0)(n疵x(n)x N -1-L21 _ n ： 00 Mn ： NN 乞 n : N L 2 -1(2.48)对称周期延拓：x(-n-1)n =X nx 2N 一1 一n-L 21 _ n ： 00 _ n ： NN 乞 n ： N L 2 -1(2.49)21-L 21 _ n ： 00 込 n ： NN 乞n ： N ( L/2) 1(2.50)5 .双对称延

21、拓：2x 0 -xn =x n2x(N _1)x(2N _1 _n ) 从上述公式来看，第1 , 2种延拓方法使边界不连续，第3,4,5 种 方法仍然保持信号的连续性。从符合重构条件来说，只有周期延 拓是符合重构条件的，因为周期延拓后的信号与有限长度的滤波 器卷积后的信号仍是周期信号，由于运算后仍只取一个周期，因 而在复频率 Z域仍满足卷积定理，也满足重构条件。对称周期 延拓时，若滤波器具有对称结构也可实现完全重构。其它几种延 拓方法均不能够完全满足重构原信号的条件。但由于周期延拓使 边界不连续，对低比特率量化不利。图2.4为几种延拓方法的示 意图。(1)(2)一/(4)(5)'_图2

22、.4有限长信号的边界延拓方法其中为原有限长度信号对称周期延拓可以使边界连续，但在编制软件程序时并不方 便，可以对延拓方法进行改进，使原信号x(n)首尾各延拓(L-2) 点，而不是(L-2)/ 2点，即工 xn -1-L 2 三 n ：0 n = x n0 岂 n ： Nx(2N -1 一 n) N 兰n <N + L2(2.51)分析信号由延拓后的信号(n)的后(N+L-2)点经滤波后获得；而 细节信号则由 n的前(N+L-2)点经滤波后获得，即N：；L_2S n 八 h0 2nL -1 - k k n = 01, N 2 -1k ：©(2.52)N丄d nh1 2 n 1 -

23、 k kn = 0,1, N 2 -1k亠十(2.53)经滤波后的S( n) , d ( n)的长度仍为N/2点。在进入重构系统前，对 S(n)前延拓(L-2)/2点，d(n)后延拓(L-2)/2点，如果将 S(n)和 d( n)首尾相接形成一新序列y( n)，则相当于对y( n)首尾各延拓 (L-2)/2点，其重构公式为：N 2 1N . L 2 .2x n 二 ' g° n _2k y k ' gi n N L _2 2k y k , n =0,N _1(2.54)式中yk = d N2_k0 乞 k ： ： N 2N 2 乞 k ： N(2.55)23延拓后y(

24、-k-1)y(k)ry(k)y 2N -1-k-L 21 乞 k ： 00 岂 k ： NN _ k ： N L 2 -1#(2.56)由此而得出的重构信号长度仍为N点。改进后的对称周期延拓方 法可以提高重构信号的信噪比。对周期延拓也可采取相类似的方 法，且并没有改变重构条件，故系统仍然是完全重构的。§2 - 6二维非分离型滤波器组现在讨论二维的情况，分两种情况来讨论：非分离型和分离 型。先讨论二维非分离型，即二维滤波器的冲激响应不能写成一 维滤波器冲激响应的乘积。二维信号x( ni, n 2)经过二维滤波器 h(n i, n2)和它的镜象二维滤波器(-1)ni+n2 h( n“ n

25、2)滤波后，将滤波后的信 号按五点式quincunx 二维抽样，即两个样点中只保留n+n为偶数 的点，在重构恢复时在相应点置零，如图2.5所示。#:样点保留，样点不要#五点式偶抽样 五点式奇抽样图2.5五点式二维抽样故二维偶抽样和扩展down and upsampl ing可看成用下列二维函数 f(n ,n2)调制f mm =1(1 e" ° 比)(2.57)图2.6为二维正交完全重构滤波器组系统。在Z域 H( Z1Z2)是 滤波器h(n1 ,n 2)的传递函数，而二维镜象滤波器的传递函数较一维 时简单，可写成 H(Z,-Z2)。f( m小)调制在 Z域变为卷积，所以输 出

26、信号x' ( n1 ,n 2)等于25#图2.6 二维完全重构滤波器组1X' Z1,Z2 H Z1,Z2 X Z1,Z2H -Z1,Z2 X -Z1,Z2 h Z1Z-1 H 一乙，一Z2 X Z1ZH Z1,Z2 X Z1,Z2 H Z1,Z2(2.58)二扌 I.H2 Z1,Z2 -H 2 -Z1，-Z2 X 乙,Z2从(2.58) 式可见不管传递函数 H(乙,Z2)怎样，由X(-Z1,-Z 2)引起的混 迭部分自动消除。如果H 2(乙,Z2)-H 2(-Z1,-Z 2) =2，贝V系统完全重构。现在再讨论双正交二维非分离型滤波器组的情形。图2.7为双 正交二维非分离型滤波

27、器组。x(n ,n)2:11:2g°( 口,旳-hi(nn)2:11:2g1(-ni,F )x"(n,n2)图2.7 双正交二维非分离型滤波器组系统设 G0 Z1 ,Z2G1 Z1,Z2 分 别 为go(-n1,-n 2), g1(-n1,-n 2)的 Z 变换。图2.7的系统可得#1氷 z、J =- IHo乙，乙已乙，Z2 G Z-Z2 x 乙，Z2Ho -乙,-Z2 G 乙,Z2 广 H、-乙，-Z2 G1 乙,Z2 X -乙，-乙 j#(2.59)H0 乙,Z2 G0 乙,Z2 亠 H1 Z1 , Z2 G1 乙,Z2 =2H 0 -Z1，-Z2 G0 Z1，Z2H-

28、 _Z、,_Z2 G- Z-Z i=0(2.60) 则X(乙,Z2)=X'(乙,Z2)，系统完全重构。从(2.60)式可设Go(乙乙)=H、( Z-，Z2 )G1 Z1 >Z2- H0 _Z1 LZ2，(2.61) 即n、审2十h、n 1, r)2 - -1 g 0 -n、,-n? g 1 n 1,n 2-1h 0 -n 1 -n?(2.62) 同理可以证明若低通通路取偶抽样，高通通路取奇抽样，则H0(Z1 , Z2 戶0(乙，Z2 ) + H!(乙，乙卩1 (乙,Z2 ) = 2H0 忆，-乙 G0 Z1，Z2 - H1 _Z1，-乙 G1 乙,Z2 =0(2.63) 若取G0

29、 (乙,Z2 )= -H1(-Z1 ,-Z2 )G1 乙,Z2 =-H0乙，-Z2(2.64) 即得h 1 n 1, n 2 - -1 "“2 g 0 n 1,n 2 n 1 + 2 爭.g 1 n 1, n 2 = -1 h。-n 1厂 n 2(2.65)§ -7二维分离型滤波器组现讨论图2.8 所示的分离型二维滤波器，削01,弦、H4:11:4_H g丄X(Z1，Z2jH 严1Z 11 一4:11:4_H( ZZ2.hH焙-捋24:11:4-H(N，N二 HH(Zi，Z2)4:11:4H 乙,Z2_X'i，乙图2.8 二维 分离型滤波器组系统二维信号 x(ni

30、,n2)经过四个通道二维滤波器滤波，其中一个通 道的二维滤波器的冲激响应h( ni ,n 2)，其余三个为它的镜象滤波器 分别用(-1)",(-1)ni ,(-1广"调制，滤波后的信号隔行隔列抽样( 即每 条轴隔2抽样)，对应于二维信号相当于隔4抽样，抽样后产生 y( ni ,n 2)为丫(乙,Z2 )=4 XZi1/2 ,Z2/2 )+X(Z1/2 ,z2/2 )+X(Zi1/2,z2/2 )+X(Zi1/2,Z2/2 P (2.66) 如图2.8 所示的二维系统可得下列输出1XZ1Z2 H 乙,乙 X 乙,Z2H乙,Z2 X 一乙,Z2H 乙,么 X 乙,一乙4H _Z1,Z X -乙,么 H 乙,Z2 -IH -Z1 ,Z2 XZ1 ,Z2H 乙,Z2X -Z1 ,Z2 H -Z1，-Z2 X 乙，-Z2 H 乙，-Z2 X -乙，-乙H -乙，Z2-I-H 乙，-Z2X 乙,Z2H-Z1，-Z2X -乙,Z2H Z1 ,Z2X 乙,忆H_Z1,Z2X_Z1，-Z2IHZ1，-Z2IH-乙,-乙 iX Z1, Z2 iH Z1 , -Z2 XZ1,Z2 H：-Z1,Z2 X Z1, -Z2 H Z1 , Z2(2.67)X Z,-Z2