变化率问题与导数的概念导学案

1、第一章导数及其应用号第1课时 变化率问题与导数的概念a课程学习目标1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念2,掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤3.通过构建导数概念，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验.4,通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的 重要过程.zA颦 知识记忆与理解-第一层级、上 张学区不弄不好» jjl $ *化，A 统总 ft l知识体系楂理(J H «1S»借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频,上节课我们已经学习

2、了平均变化率的问题，我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态，而运动员在不同时刻的运动状态是不同的，我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画，那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢？o知训导学问题1:根据以上情境，设陈若琳相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位:s)存在函数关系 h(t)=-4, 9t2+6. 5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动 状态，那么：(1)在0w t wo , 5这段时间里，运动员的平均速度v=.(2)在1wtW2这段时间里，运动员的平均速度 v=.问题2:函数y=f (x)从X1到X2的平均变化率公式是 ,

3、如果用X1与增量A x 表示，平均变化率的公式是 .问题3:函数f (x)在x=X0处的瞬时变化率的定义：一般地，函数y=f (x)在x=X0处的瞬时变化率是lim虫=而f帅+叼加我们称它为函数y=f( x)在x=x0处的导数,记作f (X0)或y'l ,Ar-HIJe Jt-*Dir叮二生即f'(Xo)=.匕%三=.问题4:在导数的定义中,对A x0的理解是：A x>0, Ax<0,但.修保幽生，冏比比'基础学习交流1 .已知函数 y=f (x) =x2+1，当 x=2, A x=0. 1 时，A y 的值为().A 0.40B. 0.41C0. 43D.

4、 0. 442 .设函数 f (x)在点x0附近有定义，且有f (x0+A x)-f (x°) =aA x+b( A x) 2( a, b为常数)，则 ().Af (x) =aBf' (x) =bC.f' (xo) =a D.f' (x0)=b3 .一质点按规律s( t) =2t2运动，则在t= 2时的瞬时速度为 .24 .求y=2x +4x在点x=3处的导致.思维探究与创新.导学西不议不讲£点难点探究求平均变化率(1)已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及附近一点R - 1 + A x, -2+Ay),则(2)求y=x2在x=

5、xo附近的平均变化率求物体运动的瞬时速度若一物体运动方程为s=U*笥黑求此物体在t= 1和t=4时的速度.导数定义的应用已知f'（X0） =2，求照旧誓睡.才能力靠才具体和1思维拓展应用GD"函数y=5x2+6在区间2,2 + x内的平均变化率为 .U苣用二质点M按规律s（t）=at2+1作直线运动（位移单位：m,时间单位：s）,若质点M在t=2 s时 的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.；'一二x-2；独二一二.技能应用与拓展对学区，不域不讲基础智能检测3；-一f (x)=x-8x,贝 U 耙1.自变量x从X0变到X1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(

6、).A在区间xo, xi上的平均变化率B.在xo处的变化率C在xi处的变化量D.在区间xo, xi上的导数2 .函数f (x)=x2在xo到xo+Ax之间的平均变化率为 ki,在xo- A x到xo之间的平均变化率为 k2,则ki , k2的大小关系是().Aki>k2Bk i=k2Cki<k2D无法确定3 . (i)设函数y=f (x),当自变量x由xo变化到xo+Ax时，函数值的改变量 Ay 为.2(2)设函数y=f(x)=3x,则Ay=f(i +Ax)-f (i) =胃=,触./=, f' (i) =4.已知自由下落物体的运动方程是s=gt2(s的单位是m,t的单位是

7、s),求:(i)物体在t o到t o+ A t这段时间内的平均速度；(2)物体在to时的瞬时速度；物体在to=2 s到ti=2. i s这段时间内的平均速度；(4)物体在t=2 s时的瞬时速度.川卡樵* 尢生全新视角拓展3求函数f(x)=x+2x+i在xo=i处的导数f (i).考题变式（我来改编）:第四届报*总结评价与反思-曰工思学区不恩不工思维导图构建知识体系梳理单号A4怅*,最具厚祀-学习体瞪分享第一章导数及其应用第1课时 变化率问题与导数的概念问题 1:(1)'=4. 05 m/s (2) ；：'=-8.2 m/s问题2： 二,Jr问题3: -：问题4: AxwO基础学

8、习交流1. B -.x=2, Ax=0.1, ： Ay=f(x+Ax)-f (x)=f(2. 1)-f (2) =(2.12+1)-(2 2+1) =0.41.2. C =a+bA x, f' (x0) =. .i= (a+bA x) =a.3. 8 S(2+A t)-s(2) =2(2 + A t) 2-2X 22=2( A t) 2+8 A t,Jr=1:就(2 A t+8) =8.4. 解：A y=2(3+Ax)2+4(3+Ax)-(2 X 32+4X3) =2( A x) 2+16 A x,卫=2 A x+16, ，/二 1 , = ： (2 A x+16) =16,即 y&#

9、39;| x=3=16.重点难点探究探究(1) Ay=f(-1+A x) -f (-1)=-(-1 + Ax)2+(-1 + Ax)-(-1)2+(-1) =-( Ax) 2+3 Ax,- A Y+Q局一 _- A x+3.(2)因为A y=(xo+A x) 2-% 所以雪上寺二=2xo+A x,所以y=x2在x=x。附近的平均变化率为 2xo+ A x.，但要注意Ax可正、可负、不可为零，解题的关键是弄清臼变量的增量x与【小结】1.本题需利用平均变化率的定义来解决 Ay可正、可负、可为零 .2.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解 函数值的增量 A y,求平均变化率的主要步骤是：(1)先计

10、算函数值的改变量A y=f ( Xi) -f ( Xo).(2)再计算自变量的改变量A x=xi-xo.(3)得平均变化率雪皿迪探究二：【解析】当t= 1时，s=3t 2+2,As=s(t+ At)-s(t)=3(1 +A t)2+2-(3+2) =6 A t+3( At)2,t js . 珈箱施产,.、,_=：. =i-|(6+3At)=6,当 t= 4 时，S=29+3( t- 3) 2,As=s(t+ At)-S(t)=29+3(4 + At- 3) 2-29- 3(4 - 3) 2=3( A t)2+6A t ,Min小心=_ (3 A t+ 6) =6.:物体在t= 1和t=4时的瞬

11、时速度分别是6和6.【小结】1.“典K6+3At)=6"中，“A t - 0”指At趋近于零，即自变量的变化几乎为2.求物体瞬时速度的步骤：(1)设非匀速直线运动的规律s=s(t).(2)求时间改变 At时的位置改变量 As=s(to+A t)-s(to).(3)求平均速率V.(4)计算瞬时速率：当At - 0时，心一 v(常数).探究三：【解析】由已知得鸡如产=2,当 h0,2 h0, -4h0,IEjh i-a=2问题上面的解答遵循导数的定义吗？结论没有，在导数的定义形式中，增量Ax的形式多种多样，但是无论增量 Ax选择哪种形式，A y必须保持相应的形式.即：f' ( x

12、o) =R=g'二二(其中a为非零常数).于是，正确解答为：ft=-4=-4义工rl心-北地=-4f' (X0)=-8.【小结】对极限的理解和计算，也是对导数概念的准确理解.通过此题可以看出学生是否 掌握了导数的概念.思维拓展应用应用一 :20+5Ax 因为 Ay=5(2 + Ax)2+6-5X 22-6=20A x+5( A x)2,所以平均变化率 =20+5Ax.应用二：; As=s(2+A t)-s(2) =a(2+A t)2+1-aX22-1=4aAt+a( At)2,=4a+aA t, +5； - =4a,即 4a=8, : a=2.应用三:44 -2 f' (x)=. _ =22=UhiJ3 x +3x - A x+ A x - 8)=3x2-8,：f' (2) =4.”"'=E ,二=： (2) =4.:g'=-j.u=-f' (2) =-2.基础智能检测1. A由平均变化率的定义可知应选A.2. D因为Ax可正、可负不可为 0,所以ki与k2大小关系不确定，应选D3. (1) f (x0+Ax)-f (x0)(2) 6Ax+3(Ax)2 6+3 Ax 6 64. 解:(1)平均速度为二一和、一1： J W夺：_ 4. A 4.-=J不：:-=gto+ g a