专题复习 立体几何 人教版

1、专题复习 立体几何一. 本周教学内容： 专题复习“立体几何” 重点是空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、判定与性质、角与距离的计算、侧面积与体积的计算。二. 重点与难点： （1）立体几何是在同学们学习了平面几何的基础上，为了进一步发展逻辑思维，推理论证能力，以及培养良好的空间想象能力而学习的一门课程。利用图形的直观性辅助逻辑推理是其主要特点，因此看图、识图、画图的能力在解决立体几何的问题中就显得尤为重要。 （2）立体几何研究的内容包括两大单元：直线与平面；多面体与旋转体，其中“直线与平面”单元侧重空间中直线、平面之间的位置关系的概念，判断方法及其性质，为更好地认识多面体、旋转体

2、中的线、面关系，打造基础；而“多面体、旋转体”单元侧重研究各种几何体的特性，其侧面积、体积的计算方法，通过对其中的线、面关系的研究，则深化了对公理、定理的认识与应用，因此两单元内容相辅相成，浑然一体。 （3）在高考试题中，立体几何试题一般有4道，其中选择2道，填空1道，解答题1道，共25分左右，占试卷总分的，一般地，对重点内容重点考查，如线、面平行与垂直关系的判定与性质，特别是对以多面体、旋转体为载体的线面位置关系的论证，角、距离等等进行了反复考查。因此在复习时，要重点复习这些内容与解题方法。三. 复习建议： （1）要熟练掌握线、面平行与垂直关系的判定，性质定理。 （2）要熟记多面体、旋转体的

3、侧面积与体积公式。 （3）要理解并掌握异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的概念及求解方法，理解并掌握点到直线的距离，点到平面的距离，直线与平面的距离等重要概念与求解方法。 （4）要注意折叠问题的练习。 （5）要学会正确画图，准确地表述论证、解答的语言。典型例题 例1. 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为（ ） 分析：这是一道折叠问题，首先要清楚折叠前后有关长度与角的大小的变化 故选（D） 例2. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值是（ ） 分析：显然AM与C

4、N是异面直线，而求异面直线所成的角，要依照定义将其转化为相交成角，故要将其平行移动（实际上是做平行线），如下图，作NP/AM，NP与AB交于点P，连PC，则PNC是AM与CN所成的角。 故选（D）。 例3. 用一张半径为R的圆形滤纸，做一个容量最大的过滤器（圆锥形），则将这圆形滤纸剪去一个扇形的中心角（弧度），应是（ ） 分析：题意是求使卷成的圆锥体积最大时的值，涉及到最值问题。 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长l=R 显然，由均值不等式定理，可知 故选（B） 例4. 正方体ABCDA1B1C1D1中，MN是异面直线A1D与AC的公垂线段，求证：MN/BD1。 分析：由于MNA1D且MNA

5、C联想到线面平行的性质定理，只需证明MN平面，且BD1平面，为此在图形中发现满足该要求的平面，由直觉猜测平面ACB1，即是要找的，再予以验证即可，这似乎容易证明。 证明：连结AB1，CB1 由（1）（2）及线面垂直的性质定理，知MN/BD1。 注本题看似平行问题，但要利用线面垂直的判定，性质定理，说明了平行问题与垂直问题的紧密联系。 例5. 成的二面角的大小。 解法一：（利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角） 解法二：（不必作出二面角的平面角，可采用投影法） 设D点在面ABC上的射影为E点，设二面角D-AB-C的大小为 注求二面角的方法有直接法和间接法 直接法主要有以下三种作法： （1）

6、由定义作出二面角的平面角； （2）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； （3）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 间接法主要有： （1）补角法：即从二面角内一点向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线的夹角与二面角的平面角互补； （2）投影法：即在二面角一个面上的某图形（常选三角形）的面积为S，它在另一个面上投射面积为S，则它们的关系为S=S·cos，其中表示二面角的大小，（此法把求二面角的大小的问题转化为研究投影图形的面积问题，避开了作图的难点）。 例6. 在底面ABC上的射影为O在AC上。 （1）求AB与侧面AC1所成角； （2）若O为A

7、C的中点，求此三棱柱的侧面积。 解： （2）由于该三棱柱是斜三棱柱，故求其侧面积时可以分别求出三个侧面面积，再求和；亦可选用课本中求斜棱柱的侧面积公式来求。 此处我们采用前述方法，为此需判断三个侧面形状 四边形AA1C1C中，AC=AA1=a 思考若采用公式法求该三棱柱侧面积，如何作出直截面？试用这种方法计算之。 例7. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长均为2a，D为CC1的中点，E为A1B1的中点。 （1）求证：A1B1/平面ABD； （2）求以BD为棱，以ABD与CBD为面的二面角的大小（用反三角函数表示） （3）求点E到平面DAB的距离。 解： （此题是否也可由投影法求

8、解？请思考） （3）（为避开作图带来的麻烦，不妨采用“等积法”） 设点E到平面ABD的距离为d 例8. 如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、BD两两相互垂直，且AB=BC=2， 求四面体ABCD的体积。 分析：显然四面体ABCD是一个较为特殊的四面体 到与AD相交，再解答该角的三角形即可。 解：过A作BE的平行线交CB的延长线于点F，则DAF是异面直线AD、BE所成角 一. 选择题 1. 设a、b是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ） A. 有且只有一条直线与a、b都垂直 B. 有一平面与a、b都垂直 C. 过直线a有且只有一平面与b平行 D. 过空间任一点必可作一条直线与a、b都相交

9、2. 设有不同的直线a、b和不同的平面，下列三个命题： （1）若； （2）若 （3）若。 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 对于直线m、n，和平面，的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为，该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 5. 长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆锥的底面直径和高都同一个的直径相等，则圆锥与球的体积之比为（ ） A. 1：3B. 2：3C. 1：2D. 2：9 7. 一个长方

10、体共一顶点的三个面的面积分别为，这个长方体的对角线的长为（ ） A. B. C. 6D. 8. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF/AB，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ） A. B. 5C. 6D. 二. 填空题 11. 如图，的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面

11、互相垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_。 12. 有一个实心圆锥体零件，它的轴截面是边长为10cm的等边三角形，现要在它的整个表面镀上一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.10元，则镀一个这样的零件需花费_元（） 13. 如图所示是一个体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_。 14. 如图，E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1与面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体各面上的射影可能是_。（把可能的图的序号都填上）三. 解答题 15. 已知斜三棱柱的侧面底面，BC=2，且 （I）求侧棱AA1与底面ABC所成角

12、的大小； （II）求侧面 （III）求顶点C到侧面的距离。 16. 如图，四棱锥的底面ABCD是一个直角梯形，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且。 （I）若为垂足，求证：。 （II）求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）【试题答案】一. 选择题 1. C 2. A 3. C 4. C 5. C 6. C 7. D 8. A 9. B 10. D 提示：5. 长方体的体对角线长=球的直径 7. 设长方体的长、宽、高为a、b、c，则 10. 把几何体分割成一个三棱柱与一个四棱锥。二. 填空题 11. 12. 24元13. 14. （2）（3） 提示13：由 如图，连AE并延长交BC于G，连AF并延长交CD于H，连GH 三.