切线方程教师版

1、切线方程11 .、1,已知函数f (x )的导函数为f (x)且满足f (x )=2x，f (1 )+ln x ,则f' - 1=() eA. 1 -2B. e-2C. -1D. ee【答案】B【解析】【分析】1对函数求导得到导函数，代入x=1可求得f (1)=-1,从而得到f'(x),代入x=求得e结果.【详解】，一.1由题意得：f x =2f 1 x令 x=1 得：f'(1) = 2f'(1 )+1,解得：f'(1)=1,1/1 )fx)=-2KfJ本题正确选项：B2.若函数 ,他加上则加在点J0处的切线方程为()aF°目m二。0 :卜4卜

2、1二。 B.C.【解析】【分析】 先求切线的斜率，再求切线的方程得解【详解】f 奶 1 -=2xln2r+x 由题得,工，/加所以切线的斜率k= 一 一所以切线方程为-二方-勺-J=03.曲线A 一故选：B在点处的切线方程为R匚HB .D厂版 D【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程.【详解】y = xex 1 的导数为 y = （ 1 + x） ex 1,可得曲线y = xex 1在点（2, 2e）处的切线斜率为 3e,曲线y= xex 1在点（2, 2e）处的切线方程为 y-2e=3e （x- 2）,即为尸如也故选：D.x4.曲线y=在点（1，1）处的

3、切线方程为（）2x -1A. x=1B. y =1C. xy=0 D. x+y-2 = 0【答案】D【解析】【分析】，、，一Y . . . . . . f .，求得函数y=的导数 得到y |x=-1,再利用直线的点斜式方程，即可求解.2x-1【详解】由题意，函数xy=,2x -12x 7 2x _72- 一2(2x -1)(2x -1),所以 y'1= -1,即切线的斜率为k=-1,切线方程为 y -1 = Tx _i),即 x + y -2 = 0 ,故选D.5,设 f(x)是(g,0) U(0, 十无)上的偶函数，当 XA0时，f(x) = xlnx,则 f (x)在(，f(_1)

4、处的切线方程为()A. x-y1=0B. x + y1 = 0C.x-y1=0D.x y1=0【答案】D【解析】【分析】求得在x>0时的导函数，根据偶函数的定义可求得在x = -1处的导函数；根据点斜式即可求得切线方程。【详解】当 x>0 时，f(x)=xlnx,则 f'(x)=lnx+1由f(x)是偶函数可得f(1)= f(1) = 0,结合图象特征可知f '(-1) = 一 f '(1) = -1,所以f (x)在(1,f(T)处的切线方程为y0 = (x+1),即 x y 1 = 0 ,故选D.6.过点P(2, -6)作曲线f (x) =x3 3x的切

5、线，则切线方程为()A. 3x + y=0 或 24x _ y_54=0b. 3x _y =0 或 24x _ y_ 54 = 0C. 3x + y=0 或 24x y+54=0D. 24x-y54 = 0答案】A【解析】【分析】设切点坐标，求函数的导数，可得切线斜率和切线方程，代入点P,解方程可得切点和斜率，进而得到所求切线方程.【详解】设切点为(m, m3-3m), f& x 3x的导数为 f'(x)=3x23,可得切线斜率k=3m2-3,由点斜式方程可得切线方程为y-m3+3m = (3m2-3) (x - m),代入点 P(2, 6)可得-6-m3+3m = (3m2-

6、3) (2-m),解得m = 0或m= 3,当m=0时，切线方程为3x + y = 0 ,当m=3时，切线方程为24xy54=0,故选：A.7,曲线y=2xlnx在x = e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()22A. B. C. e2D. 2e242【答案】B【解析】【分析】欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点(e,2e)处的切线方程，只需求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决.【详解】1 八y =2xln x , y' = 2 父 ln x + 2xM = 2ln x + 2 ,x所以 丫1

7、田=2 +2 =4 ,且 y(e) =2e,所以切线方程为 y2e=4(xe),即y=4x2e,e此直线与x轴、y轴交点坐标分别为(e,0),(0, -2e),21 aa2所以切线与坐标轴围成的三角形面积是S=lx-ex2e = ,2 22故选B.8,函数y = f (x )的图象在点P(5, f (5)处的切线方程是y = x + 8 ,则f (5)+ f'(5)=A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据切线斜率可得 f15),将P(5, f (5 )代入切线方程求得f (5),代入求得结果.【详解】由切线斜率可知：f 5)= 1又 P(5, f (5 )在切线

8、上: f (5 )=6 +8 =3f 5 f 5 =3-1 =2本题正确选项：B29 .在曲线y =x2上切线倾斜角为 一的点是()4J 1 、J 1、A. (0,0) B. (2,4) C.) D.(-,-)【答案】D1【解析】解：因为曲线y=x2y，=或切线倾斜角为:的点是2x=1,x=-故选D10 .若曲线f (x) =x3+x 2在点P0处的切线垂直于直线 x+4y+3=0 ,则点Po的坐标为()A. (1, 0)B. (2, 8)C. (2, 8)或(1, 4) D. (1, 0)或(1, 4)【答案】D【解析】【分析】(f(wi) = 4设广鸣由曲线f(x) =x3+x-2在点P0

9、处的切线垂直于直线x+4y+3=0列方程冲二社, 解方程组即可。【详解】设胭”由题可得：色)二犷轴由曲线f (x) =x3+x - 2在点P0处的切线垂直于直线 x+4y+3=0可得:贝那)即：心一加一？ : ；1,解得：L = 0或储=-4,所以点P0的坐标为(1, 0)或(-1, - 4)故选：D切线方程2一 一21 .已知函数f(x) = x +2f (1 )lnx ,则曲线y=f(x )在x = 1处的切线斜率为()A. - 2B. - 1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】求得f(x)的导函数，令x = 1求出f'(1),则求得曲线y= f(x)在x = 1处的切线斜率

10、。【详解】f (x ) = x2 +2f '(1 )lnx的导数为 f '(x )=2x +2f x令 x=1 可得 f '(1 ) = 2 + f'(1),解得 f'(1)=-2,曲线y = f (x )在x =1处的切线斜率为 2故选A2 .若f (x) = a 2 + asin2x为奇函数，则曲线y = f(x )在x = 0处的切线的斜率为()A. -2B. -4C. 2D, 4【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性求出a=2,再求出函数的导数和切线的斜率 .【详解】'/ f (x )是奇函数.a2 = 0, a = 2,二 f (

11、x)=2sin2x , f'(x )= 4cos2x ,f 0 =4.所以曲线y = f（x ）在x = 0处的切线的斜率为 4.故选：D3.若直线l经过点（8, 3）,且与曲线y = JX相切，则直线l的斜率为（）A. 1B.正C, 1或1D,二或484824【答案】C【解析】【分析】设切点（x0,y0）,根据导数的几何意义，表示出切线方程为一 1y-J% =l(x-%),代入2 x（8, 3）求出JX7的值，即可求解。【详解】由题意得'1， 小 ，一y =r=,(x >0),设切点2 v x(x0,yO),所以切线i为y疯= （x沏）， 2x0又l过（8, 3）,代入

12、可得x0 班?+8 = 0, 解得 jxr=2 或 jx"=4I 11 J W-所以斜率k =产=或一故选c 2 %48【点睛】本题考查 过”点型切线问题，要点在于设出切点，求出切线，再代入所过的点，考查学生对基础知识的掌握水平，属基础题。V 1. 4.设曲线y =e + ax在点（0,1）处的切线与直线 x+2y-1 = 0垂直，则头数a=（）A. 3【答案】BB. 2C. 1【解析】1 . 1试题分析：直线 x+2y1=0 的斜率为 ,y=ex+a2 2,1ny |x_0 = 1+a=2= a = 2; 一 25.已知曲线丫 = I：上一点1处的切线与直线 上=0平行，则点的坐标

13、为()A .卜1J) B / C .朗JD .朗【答案】B【解析】【分析】先设出的坐标和求出函数的导数，根据条件求出切线的斜率，根据导数的几何意义求出横 坐标，再代入函数的解析式求出纵坐标.【详解】设切点的坐标为你力由题意得切线与直线 卜:0平行，切线的斜率k二 把二代入户得尸I，故用力故选：B.1 36.已知函数f (x ) = 10sin x +-x在x = 0处的切线与直线 nx y=0平行，则二项式2n(1+x + x )(1x)展开式中x4的系数为()A. 120B. 140C. 135D. 100【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得n的值，然后结合立方和公式化简所给的二项式，最

14、后利用展开式的通项公式可得展开式中x4的系数.【详解】1 2由函数的斛析式可得：f' x =10cosx x ,1 3函数f (x ) = 10sinx+ x在x=0处的切线与直线 nxy=0平行，则n= f'(0)=10, 6则二项式(1 +x+x2 )(1x)n =(1 + x + x2 )(1 x)10 =(1x3 )<1-x)9,9 rr,(1x)的展开式的通项公式为 Tt = C9(x),故分别令r =4,r =1，可得展开式中x4的系数为C； -(-C9 )=135.故选：C.例二小厂在点烦处的切线与直线L旷：一°垂7.已知P为自然对数的底数，直，则

15、实数O'()A. B B. CC.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，求得函数在解方程可得a.【详解】解:向:流的导数为例：国-加可得曲线在点(1, ae+1)处的切线斜率为ae+2,由切线与直线人叮 & V垂直可得1 1(ae+2)K (4) =-1 ,解得 a= < .曲线D.x=1处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率相乘等-1,8.若函数f(x) = lnxax在点P(1,b )处的切线与x + 3y 2 = 0垂直，则2a + b =()A. 2B. 0C. -1D. -2【答案】D【解析】【分析】-1先求出导函数f '(x),求出f '

16、(1)的值从而得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为建立等式关系，解之即可求出a的值，再根据切点在函数图象上求出b的值，从而求出所求【详解】1.f'(x)=1a, f (1) = 1a, x即函数f(x)=lnxax在点P(1,b)处的切线的斜率是1a,1直线x +3y -2 =0的斜率是3，1所以根(1 a) = -1 ,解得 a = -2.,3点P(1,b)在函数f(x) =lnx+2x的图象上，则f(1) = 2=b,2a+b=2M(2)+2 = 2,所以d选项是正确的.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，关键是能够利用导数求出切线斜率，根据垂直关系构造出方程以及注意到切点在

17、曲线上的应用，属于基础题9.若曲线f(x) = xsinx在x =工处的切线与直线 ax+2y+1 =0互相垂直，则实数 a等于 2()A. -2B, -1C. 1D, 2【答案】D【解析】【分析】求出函数f (x) =xsin x在x=E处的导数值，这个导数值即函数图像在该点处切线的斜率， 2然后根据两直线垂直的条件列出方程即可求解实数a。【详解】由题可得：f (x) =sin x+xcosx , f'(二)=1 2，、 . n.曲线f(x)=xsinx在x =一处的切线的斜率为 1,2二曲线f(x)=xsinx在x=二处的切线与直线 ax+2y+1 = 0互相垂直，且直线2ax+2

18、y+1 =0的斜率为a, 2,a、二（一一）乂1二 -1,解得：a = 2 ；2故答案选D.【点睛】本题考查导数的几何意义，两直线垂直的条件，属于基础题。1DI+ iI 的图象在点力处的切线与直线4 -1 - °平行，则实数【解析】D.【分析】求导得例-f,押W列式得a的方程求解即可【详解】由题=一 二 故选：D【点睛】本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题切线方程3x2 a ,1.已知曲线f （x）一-在点（1,f （1）处切线的斜率为1,则实数a的值为（ x 1A. 2B, -C. -D. -124【答案】D【分析】 先求出函数的导数f'(x),再利用f'

19、(1X1，解a即可.【详解】2因为 f(x) =±_g,x 1f (x)=x2 2x -a(x 1)2因为x=1处切线余率为1,所以f '(1)=1,3-a ，一.=1，解得a = -1，故选D.4【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于基础题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(%, f (x0 )求斜率k,即求该点处的导数k = f '(% )； (2)己知斜率k求参数或切点 A(x1，f (X )即解方程f'(X )=k ； (3)巳知切线过某点M(X, f (x1)(不是切点)求切点，设出切点A(x

20、76;, f (x° ),利用f x f xk =4= f，(%)求解.为-xo.9 JI JI 一2.若曲线y =alnx+x2(a >0)的切线倾斜角的取值范围是-,-),则a=(3 21A.一243B.一8D.先对函数y=alnx+x2求导，再由切线倾斜角的取值范围是一,一I得出斜率范围)进而可3 2求出结果.【详解】因为y =alnx +x2,所以y' = +2x22石, x冗冗)因为倾斜角的取值范围是I, I,一3 2故选B3.函数 f(x)=2 ax+ sin x的图象在x =2处的切线方程为 y = x + b ,则b的值为( ,冗A. 1 一4【答案】B

21、4C. 1 -Ji【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率,进而彳#到a的值,然后再求出切点坐标，代入切线方程后可求得b的值.f (x ) = ax2 +sinx, . f <x ) = 2ax+cosx./n )nn由题意得 f . = 2a父一+cos= an =1,解得2221a =一,ji f xx231sinx .当x = 一时, 2二二12 二三22JIJI+sin - =一 +1 ,243所以斜率k =邪,因此J3 = 2 J5a，所以a =8故切点坐标为 一23131TC将切点坐标代入切线方程得 一+1 = + b ,解得b = 1 -.424故选B .4.已知函

22、数f (x) =ln(x +1) -ax，若曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y = 2x ,则实数a的取值为()A. -2B, -1C. 1D, 2【答案】B【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f'(0),求解即可；【详解】f (x)的定义域为(-1 , +8),1因为f(x)=-a,曲线y=f (x)在点(0, f(0)处的切线万程为y=2x,x 1可得1 a=2,解得a= - 1,故选：B.【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力.5 .直线2x-y+1=0与曲线y = aex+x相切，则a =()A. eB. 2eC. 1D

23、. 2【答案】C【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数求出切线方程，对比系数后求得a的值.【详解】设切点为(n, aen +n ), y' =aex +1,故切线的斜率为 aen +1 ,切线方程为y (aen +n )=(aen +1 Xx n ),即 y = (aen +1 )x + aen(1-n),依题意切线方程为nae 1-2y = 2x+1,故/n，解得 a =1,n =0 ,故选 c.aen 1 -n：1：-1【点睛】本小题主要考查曲线切线方程的求解方法，考查方程的思想，属于基础题【点睛】本题主要考查导数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型 6 .已知曲线f(x)

24、=2ln x+ax2+bx在点(1, f)处的切线方程为 y = x3,则函数f(x)的零点所在的大致区间为().1 1A. 0,-B. e,1C. (1,e)d, (e,二)【解析】【分析】求出函数的导数，计算 f (1 ), f '(1),结合切线方程求出b,c的值，从而求出函数 f ( x )的解析式，利用零点判断定理判断零点所在区间即可；【详解】2 一 一 2由题忌，函数 f(x) =2ln x +ax2 +bx ,可得 f'(x 尸+2ax + b ,则 f '= 1 + 2a + b , x在点(l,f (1 )处的切线方程为y=x3, .切线斜率为1,则1

25、+2a+b = 1,又由 f (1 )=2,得 a+b= -2,解得 b , a = 2 ,所以 f x = 2ln x 2x2 -4x ,则 f 1);=2ln1 2-4 = 2 二0, f e = 2lne 2 e2 -4 e 0 ,所以f (1 )f (e)<0,所以函数f (x)的零点所在的大致区间为(1,e).故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数的零点判断定理的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，熟练利用零点的判定定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.直线y =kx+2与曲线y =x3 +2ax + b相切于点(1,4),则4a + b

26、的值为()A. 1B, - 1C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】先由直线y =kx +2与曲线y =x3 +2ax+b相切于点(1,4),求出k = 2；再对3-. 一y=x +2ax+b求导，根据题意列出方程组，即可求出 a,b的值，得出结果.【详解】直线y=kx+2与曲线y =x3+2ax+b相切于点(1,4),所以4 =k +2,解得k =2;又由 y =x3 +2ax +b 得 y' = 3x2 +2a,由题意可得4 =1 2a b3 2a = 21一a =- 解得 2 ,b =4所以 4a b -2 4-2.故选C【点睛】本题主要考查已知曲线在某点处的切线求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.8.已知函数.若曲线存在两条过点的切线,则0的取值范围是（ab 卜丫1”口词C'D'【答案】D【解析】【分析】卜°,由题意存%；对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（1,0）代入得到在两条切线，可得方程有两个不等实数