初高中数学衔接知识点及习题

1、亲爱的2019届XX学子：恭喜你进入XX中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做 题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。从2016年开始，广东省高考数学tS题使用全国 I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这 本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的 兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。这里给大家几个学数学的建

2、议：1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从 反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由

3、一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类等，使所学的知识系统 化、条理化、专题化、网络化。8、经常在做题后进行一定的反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一

4、位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问 题。初高中数学衔接呼应版块1 .立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2 .因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。3 .二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4 .初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二 次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究

5、闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5 .二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难 度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，6 .图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、 直线的对称问题必须掌握。7 .含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8 .几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线

6、段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习， 而高中都要涉及。9 .角度问题，三角函数问题。在初中只涉及3600范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。10 .高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 .乘法公式1.1.3 .二次根式1.1.4 .分式1. 2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)2

7、.2 二次函数2.2.1 二次函数y= ax2+ bx+ c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法1.1 数与式的运算1.1.1. 绝对值、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a0,|a|0, a0,a, a0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示在数轴上，数 a和数b之间的距离.、典型例题：例1解不等式：| x 11 4解法一：由x 1 0,得

8、x 1 ； 若x 1,不等式可变为(x 1)3 ,又 x<1,x v -3;若1 x,不等式可变为(x 1) 4 ,即x 5 又x 1x 5综上所述，原不等式的解为x 3或x5。解法二：如图1. 1-1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x 1|;所以| x 1 | 4的几何意义即为小P C AD|PA|>4.I121I_L_可知点P在点C(坐标为-3)的左侧、或点P在 x -315 x 点D(坐标5)的右侧.K¥x 3或 x 5。练习A|x 1|1 .填空：图L1 1(1)若 x 5,贝U x=;若 x 4 ,贝 U x=

9、.(2)如果 a b 5,且 a 1,则 b=；若 1 c 2,则 c=.2.选择题：下列叙述正确的是(A)若(B)若(C)若练习B3.解不等式：(D)若4、化简:、复习:(1)必须记住|x 2| 3|x-5|-|2x-13| (x>5).我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式完全平方公式(a b)(a b)(a b)2 a2 2ab1.1.2.b2;b2.乘法公式立方和公式(ab)(a2ab b2)3 ab3;立方差公式(ab)(a2ab b2)3 ab3;三数和平方公式(ab c)22.2a b2 c2(ab两数和立方公式(ab)3321a 3a b3ab2b3 ;两数差

10、立方公式(ab)33 c 2a 3a b3ab2b3.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(4)有兴趣的同学可以自己去证明.bc ac);(5)寸上面列出的五个公式,、典型例题例1计算:(x 1)(x1)(x2解法一：原式= (x2 1) (x2 1)1)(x2 x 1).2x2.= (x2解法二：原式例2解：习A填空：已知2aa b2(1)(2)1)(x4=(x 1)(x2= (x3 1)(x361)= xx 1)(x 1)1 .1)(x2 x 1)(3 )选择题:(4 m(a(1)若 x2(A)6=xb c2c1 .4, (aab bcacb c)2 2(ab4,求bc2aac)b28

11、.c2的值.1b242bc)2)22a1 、3a)(一 2，16m 4m (224b c ()1一 mx2个完全平方式，则(B)(2)不论a , b为何实数,(A)总是正数(C)可以是零12-m4b2 2a1 (C) -m, 3(D)如、概念：一般地，形如4b8的值(B)总是负数(D)可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a后b2b ,后b2等是无理式，而石x2x 1,x2J2xyy2,J a2等是有理式.21.分母（子）有理化,、3 .6b互为有理把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母

12、（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次 根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如在与四，3ja与ja与,3J6,2,3 3.2 与 2 3 3,2, 等等.一'般地，a JX 与 JX,aJXbjy 与 aJXbjy ,aJ"Xb 与 aJX化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子 的有理化因式，化去分子中的根号的过程0）;而对在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式jajb JOb（a 0,b于

13、二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的 基础上去括号与合并同类二次根式.2.二次根式，丁的意义a, a 0, a, a 0.、典型例题例1将下列式子化为最简二次根式:(1) 712b;(2) Va2b(a 0)；(3) J4x6y(x 0).解：(1) 712b 2麻；(2) Va7b a|7b aVb(a 0)；(3) J4x6y 2 x3|772x3历x 0).例2计算：4(3乔).解法解法弟(3弗) = 33 ,3.3 (3 、3) _ 3,3 33(、. 3 1) _ ,3 1(33)(33)9 362,31.

14、3 1.3 13(、, 3 1).3 1(.3 1)(、,3 1)2试比较下列各组数的大小:解:（1）也布和E加；（1）.尼手"J11吊.w12 一 _ 1-(2)-=一和 2无一娓.、6 4("2布)(疝布)112 J112 ,11 5(,11 .10)( 11 ；10) 1.11 .1011 .10又12.千、.而,(2 .2- .6)(22+、6)2,2+ 6_2_2/2+ ,6又4 >20. 加+4>乖+2版,-=3< 272-娓.,6 4例 4 化简：(6 扬 2004 (6V2) 2005.解：(、3五)2004 (、.3J2) 2005=(.

15、35)2004 ( .3, 2) 2004 ( .3 2)=(.3.2) (、/3、,2) 20" (；3.2)=12004 ( -.3.2)=唐2-2.例 5 化简：(1) 79 4>/5 ;2(0 x 1).解：(1)原式=、:5 4V5 4(5)2 2 25 222.(2 S2国痣八 1所以，原式=-x .x练习A1 .填空：(x 3)V5x ,则x的取值范围是(1) 1 31=；(2)若 J(5 x)(x 3)21 .3(3) 45/24 6庖 3腐 2,/150 ;,.5 皿.x 1 , x 1 x 1 , x 1(4)若x 匚，则:=V一.(提示先简化后代入)( )

16、(D) 0 x 22 x 1 x 1 x 1 x 12.选择题：等式l-x wx=成立的条件是 x 2. x-2(A) x 2(B) x 0(C) x 2练习B,a2 1 ;1 a23 .若b ，求a b的值.a 14,比较大小：2 43,阳-木(填4”，或1.1.4.分式、概念：1.分式的意义AA形如二的式子，若B中含有字母，且B 0,则称二为分式.当MW0时,AA A M分式一具有下列性质： - ；BB B M上述性质被称为分式的基本性质.m n2mp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.二、典型例题:解:5x 4x(x 2),求常数A,B的值.2Bx 2B 5,A(x 2) Bx

17、(A B)x 2A5x 4x(x2)x(x 2)x(x2)2A 4,解得2,B3.11)试证:(2)计算:n(n11 21)(其中n是正整数)；1；10(3)证明:11对任意大于1的正整数n, 有 (1)证明:11 (n 1) n 1n n 1 n(n 1) n(n 1). 一：一 ，(其中n是正整数)n(n 1) n n 1解：由(1)可知191 =1010111(3)证明：: ， L 一1一2 3 3 4 n(n 1)111111(-) () L ()2 33 4 n n 11 1-,2 n 1又n>2,且n是正整数,1、，一T 一定为正数，n+ 111.11L <«

18、2 3 3 4 n(n 1) 2c例 3 设 e ，且 e> 1,2c2 5ac+ 2a2= 0,求 e 的值.解：在2c25ac+2a2=0两边同除以a2,得2e2 5e+ 2=0, .(2e1)(e 2)=0,1. .e= 2 <1,舍去；或 e= 2. . e= 2.练习A1 .填空题：对任意的正整数 n, 一1一(1)n(n 2) n n 22 .选择题：什 2x y2x/、右，贝 U -=()x y3y546(A) 1(B) -(C) (D)-4553 .正数x,y满足x y 2xy , 求3的值.x y4.计算199 100习题1. 1A组2 .已知x y 1,求x3 y3 3xy的值.3.填空：(1) (2 /)18(2 9 =(2)若7(1 a)2J(1 a)2 2 ,则a的取值范围是4.5.填空:3a2 ab3a2 5ab 2b23，1 .选择题:(1)若 J a b 27ab G C，则(A) a b(B)