分析电子显微学晶体衍射中的数学处理图文

1、第四章晶体衍射中的数学处理4.1 取向关系的转换矩阵4.1.1 基体仔意位向下两相取向花样的建潴4.1.2 晶住在丕同坐标E的曲向和曲面指数的转换矩售4，晶体间的重位点阵山£?品去统鬟换矩隹4.2 取向关系的理论预测42.1 原理和判据422 HCP/BCC整系423 HCP/FCC体系43S体对称性弓闻睬统汕t型1对称元索及我对应操作的矩阵4J2宏观对称元素的组合规律7EJ章晶体衍射中的数学处理4.33点群的挂号和转换矩阵43.4点群、星系和布拉菲点阵之间的关系4JJ空回越型的光婆感|近景皿等效点系437二维点阵、平面点群和平而加4J4电f折射花样的对称性4 Jl«晶体对

2、称拄在空物分折中的应用举例第四章晶体衍射中的数学处3本章要点L电子衍射花样的研究中，最经常涉及取向关系的转换矩 阵，它包括两相取向美系、同一晶体的晶面和晶向在不同 坐标中的表述、晶体间的重位点阵关系以及挛晶取向关系:2 .两相取向关系的理论预测有多种方法，本书介绍最近发展 起来的边边匹配方法，该方法物理概念简单，处理方便；3 .晶体的宏观对称性和微观对称性将会引起系统消光,这对于 也子衍射花样的分析是极其重要的，因此掌握系统消光规律 对于研究晶体结构是必需的。zt_4.1取向关系的转换矩阵 4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测、两相正空间和倒空间底矢关系的转换设加体的正空间坐标基矢为劣,

3、“),，记作”相应的倒空间 珏矢为记作4；。第二相的正空间坐标基矢为,，a；,。；，记作"；，相应的倒空间 基矢为记作“;°一体和第二相正空间坐标矢址以矩阵$相关联,即4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测基体和第二相在倒空间坐标矢量以 矩阵B相关联，即a '*=B a *i i a *=B -1a '*i i 可以证明：S和B T互为逆矩阵，即S -1=B T , B T -1=SB -1=S T , S T -1=B (4.2(4.34.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测证明如设珏体on和第二相取向关系发达式为 SNjjjgkQu(4.4)式中E

4、23& F面将找出可描述上述双向关系的转换矩阵.两相的hW晶面法线方向分别为两相的倒易矢点g*和备/的方向，分 别各向除以它们的模，则成为电位长度矢巾.故两百矢出平仃就变为不仅 平行而且相等1则得k ii'1 +*川 +.； =上配 + 此A +4。将gj移项后.再对y.5)式改用成短葬我达；4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测? ' ' '*? h 1k ' 1l 1? a 1?' 1? ? h ' ' ' '*? ? ? h 12k 2l ? 22=? d 1/dd 2/d'2?h 2?h

5、 ' ' ' ?a '*?3k3l 3?a 3 d ' 3/d3? ?h 3h' a i '*=D h a i *a -1i '*=h' D h a i *和（4.2）式比较，得到转换规律:B = h -1D h （4.9k *1l 1 ?a1? k *?2l 2? 2k l ?a *? 3(4.7 (4.8(4.6上式可简写为所以4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测?二、两相平行晶面和平行晶向指数的转换矩阵1 .两相平行晶面的转换矩阵设两相正空间基矢a i '和a i存在以下关系：a 1' =s

6、11a 1+s 12a 2+s 13a 3a 2' =s 21a 1+s 22a 2+s 23a 3a 3' =s 31a 1+s 32a 2+s 33a 3用矩阵表示：?' ?a 1?s 12s 13? a ' ?s 112s s? ? 2223? ? =? s ?a 1? ? ?a ' 3?21?s 31s 32s ?a 233? ? ? ?a 3? ?(4.10(4.11简写为a i ' =S a i 而由(4.2)式可知:(4.12?a?a? a?a?a? a?'*1,*2,*3?a?=Ba?a?1*2*3(4.13上式两边转置，

7、将（4.11）式左乘上式，即'1' 2' 3?a 1? ?*T ?'*'*'*a a a S a a a a B =1232123?根据倒易基矢的性质：当i =ja *ia j =1；当i ? 100? 100?即? 010? ? 001? =S ? 010? B T ? 001? ?所以SB T =I ,即 B =S -1T , S =B T -1这证明（4.3）式中S和B之间的关系。w j a *ia j =0（4.144.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测设两相对应指数的倒易矢量相等，则有 g h' k' l'

8、=g hk式中倒空间基矢为 a 1, a2, a3基体的晶面指数为hkl ,第二相晶面指数为h' k',故h' a +k' a +l' a =h a +k a +l a将上式分别乘（4.10）式中的三式，得'*1'*2'*3*1*2*3? h ' ? ?s 11? k ' ?=?s ?21?' l ?s 31s 12s 22s 32s 13? h ?s 23? ?k ?s 33? l ?（4.15上式简写为：h' =S h （4.16式中的S矩阵就是两相晶面平行的转换矩阵。4.1.1基体任意位向下两

9、相取向花样的预测2.两相中平行品向指数的转换矩阵设两相的某晶向矢量相等，即：丫 u' v冰碗丫 uvw,式中u' v'和uvw分别为 第二相和基体的晶向指数，它们的基矢为 a 1' a 2'租金'1 a 2 a 3故? u ' ?a 1' a 2' a 3' ? v ' ? =a 1a 2?' w ?将（4.12）式转置并代入上式得?u ?a 3? v ?w ? u ?a 3? v ?w ? ?a 1a 2?u ' ?T ?a 3S ? v ' ?=a 1a 2? w ' ?

10、u' ?u ?由此可得：？T ? , u =S u'T(4.17或? v =S ? v' ?w ? w' ? u' ? u ? v' ?=S T -1 ? v ? w',u'=S T -1u (4.18归纳上述的结果:a i ' =S a i （4.19（4.20（4.21h ' =S h u' =S u T -1由此表明（4.20）式中晶面指数的变换与（4.19）式中基矢的变换完全相同, 而（4.21）式中晶向指数的变换矩阵则为基矢转换矩阵的转置逆阵。又根据S =B ,而B为倒易基矢的转换矩阵，得T -1

11、a '= Ba *1*1（4.22（4.23（4.24h ' = BT-1h u ' =B u 由上可知：（4.24）式中倒易平面指数的变换与（4.22）式中倒易基矢的变换 完全相同，而（4.23）式中倒易矢量指数的转换矩阵为倒易基矢转换矩阵的转置逆 阵。4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测三、正、倒点阵的指数转换在立方晶体中（hkl ）晶面的法线方向的指数就是与晶面同指数的晶向hkl ,但在非立方晶体中就不满足上述关系。为了求非立方晶体中晶面所对应的法向的品 向指数，就需要知道正、倒点阵的指数转换。设正空间品向为 uvw ,与它平行并 相等的倒易矢量指数是hkl

12、 ,即为（hkl晶面法向，可得ab? u ?*c ? v ?=a ?w ?b*? h ?*?c ? k ?l ?(4.254.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测对(4.25)式两边左乘a bc T ,则?h ? ? ? ? aa ab aC? ? u ?u ?k =? ba ? ? ? bb bc ? cc ?v ? ? =G ? v ? l ? ? ? ? ca cb ?w ? ?w ?根据图4.1中基矢间夹角的定义，式中? aa ab? a 2ab cos 丫G =? ac ? ba bb bc ? ? ? ? =? ab cos y?)?2ca cb cc? ? ? ? ac cos

13、 Bbc cos a图4.1坐标中基矢间夹角的定义ac cos ? Bbc cos ? ac 2?对（4.25）式两边左乘a *b *c *,则式中：T?u ? h?v ?=G -1 ? k ?l ?*a *b *c?G -1=? a a? b *a*b *b *b *c *? ?c *a *c *bc *c *常用品系的坐标变换矩阵正交四方?2?a ?0?0?2?a?0?000? b 20? ?0c 2?00? a 20? 0c 2?2? 1/a? 0? ? 0? 2? 1/a ?0?0G -10/b 20/a 200? 0? ? /c 2?0?0?/c 2?(4.26(4.27G11114

14、.1 J基体任意位向下两相取向花样的预测常用品系的坐标变换斑阵a- 00立方 0个° 00 £L工a 02六方 一Q "000，/a2000 l/u: 000l/c?2(4.28)(4 29)4.1.1 基体任意位向下两相取向花样的预测 四、取向关系转换用阵的应川举例Inconel 718合金基体T和一一心立方结构七从基体中析出的尸相 是有序面心立方结构，尸,相姑体心四方结构.而方相是1E交结植U它 们的点阵常数和结构如表4所示。去4.1点阵常政与结构相嫡构点畔常数ran心以粘体）%0附6 rLu0 360 5Y''D©n0 6210 7

15、40 65叫U 5J54。中10 4533种析出相与基体的晶体学取向关系如下丫-'丫 丫- '丫 令100 丫/7 100 1 <100> 丫力 <100>丫 100不，100 1 001 丫“ <100>丫(010 泌111窄100 分<110>丫(4.30由于6 丫相与丫相不同，它们不具有基体高对称性的面心立方结构，导致在上 述取向关系下的多种变体出现.丫相有3种变体，其定义为：丫相的c轴平行基体相的a轴称为A变体；平行b轴为B变体；平行c轴为C变体。/目由于对称性低于丫相：因而有12种变体，详见书中列出。一幅具有析出相与基体

16、取向关系的复合电子衍射花样，可以通过两相一对平行品面及面上一对平行品向来预先画出.一对平行晶向即为两相各自衍射花样的晶带 轴方向，一对平行晶面即对应于该晶带花样中一对平行的衍射斑点。如果设(H 1K 1L 1 / (h 1k 1l 1, (H 2K 2L 2 / (h 2k 2l 2, (H 3K 3L 3 / (h 3k 3l 3, (H i K i Li和(h i k i l i ( i = 1,2, 3分别表示丫和丫的三组晶面，则丫相中UVW 方向 和丫相中uvw 方向具有平行关系的矩阵 R (d可通过两者取向关系式导出：U V W T = R (d u v w T 式中：? H -11

17、K 1L 1? 00? k 1l 1?R (d =? H K L ? d 1/D 1k ?222? 0d 0? h 12l ?2? H 3L 3?2/D 2? h ?00d 3/D 3? 2? h 3k 3l 3?如果设R (p为(HKL和(hkl晶面平行的转换矩阵，则有? H ? h ? K ? =R (p ?k ? L ? l ?(4.33为了简化计算，设两相的点阵常数有以下关系：a (丫 = a ( T = 0.3616nm = 2曲(4.31,、(4.33和(4.34式可得 丫析出相 3 种变体的R (d和R (p具体表达式；同理，对于 讲目12种变体的转换矩阵，输入 /目 的点阵常数

18、和3组与基体平行的晶面，由上述参数，可获得讲目12种变体的转换矩 阵。4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测我42在几个塔体品带中 种"变体和F的取向关系：(£71711 * wvw f f HKL) , H (hkf) f晶带轴变体A变体日变体c阿LO1O/QQ1X100)(010)WU|.1OOIHOlOr(OOjpn)|. jotJip t io； d io)H0rL一30|/|(0XH3Wll)第1 卜 ll州lU”|iUll 口川1(oo?)世期aML221lOriil li|221i 111110 Ki) 1101；P2JJ1HJKI L0> '

19、;(Hui网口.羊iiq 川ri06|.|SJO|. pJOjiUOi. <00b1叫L：ij.4ii2XiT2)/(in>421 4H21(T1Z) <llT)Ri” ” W i。1 11叱(10/21D(D30)/7(002)CM】 21Ol20i.)? 002>21。，|支卯助(001)忸3p3J； 213XM2 /(111)Gil'HOH23| |21Jlll2k ai 1)图4.2七种基体低指数晶带并含有T相的电子衍射花样示意图图4.3七种基体低指数晶带并含有丫相的电子衍射花样图 4.4 Quist等人的所示图讲目和基体丫相的取向关系有12种变体，它们

20、具有同样的花样配置，如图 4.5 所示。Sundararaman用迹线方法确定了 6相析出的惯习面为基体的111面，而 四个111面上存在三个可能的不同变体并没有实验证明。我们预测了每个111面上三种变体的合成花样，它们是相同的，如图4.6所示的基体111晶带衍射花样示意图。该花样实际上是三个 6单变体绕基体某一个111方向互相旋转60。构成 的。图4.7是Inconel 718合金从丫相中析出的三个变体 讲目的复合衍射花样，由此 可见，预测花样和实际衍射花样完全相符。4.1.1基体任意位向下两相取向花样的预测图4.5基体<111>晶带衍射花样示意图4.1.1 基体任意位向下两相取

21、向花样的预测图4.6相和6析出相具有取向关系花样示意图4.7相和三种6变体的复合花样图4.1.2 晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵 工H5和HCP的晶向指数和晶面指数的矩阵变换图4.8 HSMHCP的几何关系 小朋出力氟麻，卜力力帙取f数的转换矩阵HS的a的轴顺时针旋转30°取为HCP的a 0轴,令u ffiu 0分别为HS的晶 向指数和HCP的晶向指数的列矩阵，A是两者的变换矩阵，A -1是A的逆矩阵， 根据图4.8所示的几何关系可导出：u =A 1u 0或u 0=A 1-1u 由上图中的几何关系可得a 1 ' =a 1+(a 1+a 2=2a 1+a 2a 2

22、' =a 2a(1=-a 1+a2c 1 ' =c 1(4.37数的转换矩阵写成矩阵形式:'?a 1?210?a 1?a 1? ? ' ? ?a ? =S ?a ? =a -1101? 2? ? 2? ? ? ? 2?' ?c 1? 001? ?c 1?c 1? ? ? ? ? ? 210? ? -110S 1 = ? ? 001? ? (4.38)根据晶面指数的变换与基矢的变换完全相同，品向指数的变换矩阵为基矢转换 矩阵的转置逆阵。4.1.2晶/二乍不同坐标F的晶向和晶面指数的转换矩阵故两者的晶武转换矩阵为- 2 1 0-用:$尸- 1 1 00 0

23、, 两拧的品向转换始阵，I 1 0334=1瓦丁=-1 ； o00 14.1.2晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵?二、面心立方点阵和其简单点阵之间晶向指数和晶面指数的矩阵变换图4.9面心立方晶胞中取出简单晶胞数的转换矩阵设面心立方点阵的三个基矢分别为 a , b , c,由面心立方点阵中取出的简单点 阵的三个基矢分别为A , B , C,则有A =a /2+b 12a =A +B -C B =a /2+c /2b =A -B +C C =b /2+c /2c =-A +B +C4,1,2晶体在不同坐标卜二勺晶向和晶面指数的转换矩阵所以面心立方点阵与取出的简单点阵的晶面转换矩成为1 0

24、2 2匕】1】 N 二：° ；(4 41)oil2 2品向转换矩阵为 11-VT 二 |t= I-II(442)-1114.1.2晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵、六方点阵与菱形点阵间晶面和晶向的转换矩阵俯视图立体图图 4.10六方点阵单胞与菱形点阵单胞的关系4.1.2晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵设六方点阳单胞城矢为咻、瓦、生,菱形点必曲胞成矢为修、斗，由图4n可得4.1.2晶体在不同坐标下的晶向和晶面指数的转换矩阵所以晶面转换矩阵为211(4.43)-1 1 1-1 -2 1101晶向转换矩阵为力=51=-1110-114.1.3晶体间的重位点阵品界两侧的晶

25、粒.节一个晶粒的某（力上/）晶面以另一晶粒同指数晶面 的法线方向为轴（/）旋转某个特殊角度（两者不仅公共的原点重台.我 他的某些附点也再合而构成的超点阳就是京位点阵.例如.选择简单立方 的两个晶体.以口io作为旋转轴,然后个出体之垂直的两个。ioMA面点阵 图，如图4.11所示。4.1.3晶体间的重位点阵简单立方双晶（110晶面旋转70. 53的重位点阵单胞图 4.114.124.1.3晶体间的重位点阵绕公共轴111旋转38°的两个面心立方晶体问晶界的Frank模型图4.1.3晶体间的重位点阵Warrington等人给出有位点附数学和物理意义的描述.具体如下：令 R是两立方晶体之间对应的CSL旋转矩阵，该矩阵的：个列矢限表示月晶体屈矢在4晶体求矢中的坐标。每一个列欠辅必须基矢加.旧，/的形 式，九七/和均是整数，并有"+出+=，或=】.即 每个列矢量指数的模足也一化指数,则旋转矩阵的形式|示如P:(444)4.1.3晶体间的重位点阵上式中,hhb= h«/Xh岳.当h,k、l和没有公因f时，则