2014辽宁高考数学(理)解析版(共14页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2014·辽宁卷(理科数学)12014·辽宁卷 已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)() Ax|x0 Bx|x1 Cx|0x1 Dx|0<x<11D解析 由题意可知，ABx|x0或x1，所以U(AB)x|0x122014·辽宁卷 设复数z满足(z2i)(2i)5，则z()A23i B23i C32i D32i2A解析 由(z2i)(2i)5，得z2i，故z23i.3、2014·辽宁卷 已知a2，blog2，clog，则()Aa>b>c Ba>c>b Cc>a>b

2、Dc>b>a3C解析 因为0<a2<1，blog2<0，clog>log1，所以c>a>b.42014·辽宁卷 已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mn B若m，n，则mnC若m，mn，则n D若m，mn，则n4B解析 B解析 由题可知，若m，n，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m，n，则mn，故B正确；若m，mn，则n或n，故C错误若m，mn，则n或n或n与a相交，故D错误5、2014·辽宁卷 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b0，b·c0，则a

3、3;c0，命题q：若ab，bc，则ac，则下列命题中真命题是()Apq Bpq C(綈p)(綈q) Dp(綈q)5A解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b0时，a，c一定共线，故命题q是真命题故pq为真命题62014·辽宁卷 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120 C72 D246D解析 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，AC24.7、2014·辽宁卷 某几何体三视图如图1­1所示，则该几何体的体积为()A82 B8 C8 D8图1­17B解析 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个

4、体积相等的圆柱的一部分后余下的部分，故该几何体体积为2×2×22×××28.82014·辽宁卷 设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列，则()Ad<0 Bd>0 Ca1d<0 Da1d>08C解析 令bn2a1an，因为数列2a1an为递减数列，所以2a1(an1an)2a1d<1，所得a1d<0.92014·辽宁卷 将函数y3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A在区间上单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增9B解析 由题可知，将函

5、数y3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y3sin的图像，令2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，函数单调递增，即函数y3sin的单调递增区间为，kZ，可知当k0时，函数在区间上单调递增102014·辽宁卷 已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B. C. D.10D解析 因为抛物线C：y22px的准线为x，且点A(2，3)在准线上，所以p4.设直线AB的方程为x2m(y3)，与抛物线方程y28x联立得到y28my24m160，由题易知0，解得m(舍)或者m2，这时B点的坐标为(8，8)

6、，而焦点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF.112014·辽宁卷 当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B. C6，2 D4，311C解析 当2x<0时，不等式转化为a，令f(x)(2x<0)，则f(x)，故f(x)在2，1上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有a2.当x0时，g(x)恒成立当0<x1时，a，令个g(x)(0<x1)，则g(x)，故g(x)在(0，1上单调递增，此时有a6.综上，6a2.12、2014·辽宁卷 已知定义在0，1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y

7、0，1，且xy，有|f(x)f(y)|<|xy|.若对所有x，y0，1，|f(x)f(y)|<k恒成立，则k的最小值为()A. B. C. D.12B解析 不妨设0y<x1.当xy时，|f(x)f(y)|<|xy|(xy).当xy>时，|f(x)f(y)|f(x)f(1)(f(y)f(0)|f(x)f(1)|f(y)f(0)|<|x1|y0|(xy)<.故kmin.132014·辽宁卷 执行如图1­2所示的程序框图，若输入x9，则输出y_图1­213.解析 当x9时，y5，则|yx|4；当x5时，y，则|yx|；当x时，y

8、，则|yx|<1.故输出y.142014·辽宁卷 正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图1­3所示若将个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_图1­314.解析 正方形ABCD的面积S2×24，阴影部分的面积S12(1x2)dx2，故质点落在阴影区域的概率P.152014·辽宁卷 已知椭圆C：1，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_1512解析 取MN的中点为G，点G在椭圆C上设点M关于C

9、的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|AN|，|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.16、2014·辽宁卷 对于c>0，当非零实数a，b满足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_162解析 由题知2c(2ab)23(4a23b2)(4a23b2)(2ab)24a23b2(2ab)2，即2c(2ab)2，当且仅当，即2a3b6(同号)时，|2ab|取得最大值，此时c402.22，当且仅当a，b，c时，取最小值2.17、2014·辽宁卷 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

10、a>c.已知·2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值17解：(1)由·2得c·a·cos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B，又b3，所以a2c292×213.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理，得sin Csin B·.因为abc，所以C为锐角，因此cos C.所以cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C××.18、2014·辽宁卷 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了

11、日销售量的频率分布直方图，如图1­4所示图1­4将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)18解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)×500.6，P(A2)0.003

12、×500.15，P(B)0.6×0.6×0.15×20.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P(X0)C·(10.6)30.064，P(X1)C·0.6(10.6)20.288，P(X2)C·0.62(10.6)0.432，P(X3)C·0.630.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)3×0.61.8，方差D(X)3×0.6×(10.6)0.72.19、2014·辽宁卷 如图1

13、­5所示，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角E­BF­C的正弦值图1­519解：(1)证明：方法一，过点E作EOBC，垂足为O，连接OF.由ABCDBC可证出EOCFOC，所以EOCFOC，即FOBC.又EOBC，EOFOO，所以BC平面EFO.又EF平面EFO，所以EFBC.图1方法二，由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如图所

14、示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，1，)，D(，1，0)，C(0，2，0)，因而E(0，)，F(，0)，所以(，0，)，(0，2，0)，因此·0，从而，所以EFBC.图2(2)方法一，在图1中，过点O作OGBF，垂足为G，连接EG.因为平面ABC平面BDC，所以EO面BDC，又OGBF，所以由三垂线定理知EGBF，因此EGO为二面角E­BF­C的平面角在EOC中，EOECBC·cos 30°.由BGOBFC知，OG·FC，因此tanEGO2，从而得sinEGO，即二面角E­BF­C的正弦值为.方法二

15、，在图2中，平面BFC的一个法向量为n1(0，0，1)设平面BEF的法向量n2(x，y，z)，又(，0)，(0，)，所以得其中一个n2(1，1)设二面角E­BF­C的大小为，且由题知为锐角，则cos |cosn1，n2|，因此sin ，即所求二面角正弦值为.20、2014·辽宁卷 圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1­6所示)双曲线C1：1过点P且离心率为.图1­6(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点若以线段AB为直径的

16、圆过点P，求l的方程20解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S··.由xy42x0y0知，当且仅当x0y0时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此可设C2的方程为1，其中b1>0.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设直线l的方程为xmy，点

17、A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22 my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知·0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入式整理得2m22 m4 110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.21、2014·辽宁卷 已知函数f(x)(cos xx)(2x)(sin x1)，g(x)3(x)cos x4(1sin x)ln.证明：(1)存在唯一x0，使f(x0)0；(2)存在唯一x1，使g(x1)0，且对(1)中的x0，有x0x1<.21证

18、明：(1)当x时，f(x)(1sin x)·(2x)2xcos x<0，函数f(x)在上为减函数又f(0)>0，f2<0，所以存在唯一x0，使f(x0)0.(2)记函数h(x)4ln，x.令tx，则当x时，t.记u(t)h(t)4 ln，则u(t).由(1)得，当t(0，x0)时，u(t)>0，当t时，u(t)<0.故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)0，从而可知当t(0，x0时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0上无零点在上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u4ln 2<0，知存在唯一t1，使u(t1)0，故存在唯一的

19、t1，使u(t1)0.因此存在唯一的x1t1，使h(x1)h(t1)u(t1)0.因为当x时，1sin x>0，故g(x)(1sinx)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1，使g(x1)0.因为x1t1，t1>x0，所以x0x1<.222014·辽宁卷 选修4­1：几何证明选讲如图1­7所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.图1­722证明：(1)因为PDPG，所以PDGPGD.由于PD为切线，故PDADBA，又因为PGDEGA，所以DBAEGA，所以DBABADEGABAD，从而BDAPFA.又AFEP，所以PFA90°，所以BDA90°，故AB为圆的直径(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故BDAACB90°.在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，从而得RtBDARtACB，于是DABCBA.又因为DCBDAB，所以DCBCBA，故DCA