二,三阶系统瞬态响应和稳定性概要

1、自动控制原理实验报告（4）2011- 2012学年第1学期专业:班级:学号:姓名:2011年11月15日.实验题目:二、三阶系统瞬态响应和稳定性.实验目的:1 . 了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及I型二阶闭环系统的传递函数标 准式。2 .研究I型二阶闭环系统的结构参数-无阻尼振荡频率con、阻尼比E对过渡过程的影响。3 .掌握欠阻尼I型二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp、tp、ts的计算。4 .观察和分析I型二阶闭环系统在欠阻尼，临界阻尼，过阻尼的瞬态响应曲线，及在 阶跃信号输入时的动态性能指标Mp、tp值，并与理论计算值作比对。5 . 了解和掌握典型三阶系统模拟电路的构

2、成方法及I型三阶系统的传递函数表达式。6 . 了解和掌握求解高阶闭环系统临界稳定增益K的多种方法（劳斯稳定判据法、 代数求解法、MATLAB根轨迹求解法）。7 .观察和分析I型三阶系统在阶跃信号输入时，系统的稳定、临界稳定及不稳定三种 瞬态响应。8 . 了解和掌握利用 MATLAB的开环根轨迹求解系统的性能指标的方法。9 .掌握利用主导极点的概念，使原三阶系统近似为标准I型二阶系统，估算系统的时 域特性指标。.实验内容及步骤二阶系统瞬态响应和稳定性1 . I型二阶闭环系统模拟电路见图3-1-7,观察阻尼比E对该系统的过渡过程的影响。改变A3单元中输入电阻R来调整系统的开环增益K,从而改变系统的

3、结构参数。2 .改变被测系统的各项电路参数，计算和测量被测对象的临界阻尼的增益K,填入实验报告。3 .改变被测系统的各项电路参数，计算和测量被测对象的超调量Mp,峰值时间tp,填入实验报告，旋画出阶跃响应曲线。200KE2I0DK图3-1-7 I型二阶闭环系统模拟电路积分环节（A2单元）的积分时间常数 Ti=R1*C1=1S惯性环节（A3单元）的惯性时间常数T=R2*C2=0.1S阻尼比和开环增益 K的关系式为：临界阻尼响应：E=1, K=2.5 , R=40k Q欠阻尼响应：0< E <1，设 R=4kQ ,K=25 七=0.316过阻尼响应：E >1 ,设 R=70k Q

4、 , K=1.43 七=1.32>1实验步骤： 注：S ST'用“短路套”短接！（1）将函数发生器（B5）单元的矩形波输出作为系统输入R。（连续的正输出宽度足够大的阶跃信号） 在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中矩形波 亮）。（矩形波指示灯3秒（D1单元左显示）。调节B5单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压（2）构造模拟电路：按图 3-1-7安置短路套及测孔联线。（a）安置短路套=3V (D1单元右显示）。模块号跨接座号1A1S4, S82A2S2, S11, S123A3S8, S104A6S2, S65B5'S-ST'（3）运行、观察、记

5、录： 运行LABACT 程序,选择自动控制1信号车入rB5 (OUT) 一A1 (H1)2运放级联A1 (OUT) 一 A2 (H1)3运放级联A2A ( OUTA ) -A3 ( H1)4负反馈A3 (OUT) 一 A1 (H2)5运放级联A3 (OUT) 一 A6 (H1)67跨接兀件4K、 40K、70K兀件库A11中直读式可变电阻跨接到 A3 （H1 ）和（IN）之间89示波器联接X 1档A6 (OUT) - B3 (CH1)B5 (OUT) - B3 (CH2)（b）测孔联线 量程选择开关S2置下档，调节“设定电位器 1”，使之矩形波宽度菜单下的线性系统的时域分析 下的二阶典型系统瞬

6、态响应和稳定性 实验项目,就会弹出虚 拟示波器的界面，点击 皿即可使用本实验机配套的虚拟示波器（ B3）单元的CH1测孔测 量波形。也可选用普通示波器观测实验结果。 分别将（A11）中的直读式可变电阻调整到4K、40K、70K,等待完整波形出来后，点击停止,用示波器观察在三种增益K下，A6输出端C的系统阶跃响应。二阶系统瞬态响应和稳定性实验结果:调整输入矩形波宽度3秒，电压幅度 =3V。 计算和观察被测对象的临界阻尼的增益Ko阻尼比：匚=1,喔1 ， 因为是临界阻尼，所以 1=1,有因为Ti=1S,T=0,1S可计算K为:积分常数Ti惯性常数T增益K计算值10.12.50.21.250.30.

7、830.50.11.250.20.5实验截图:R=4K 时，t = 0.3162 ,系统处于欠阻尼状态1=0.22Q|乩。6手|04XV|R=40K量程IfiQas/tS一期率特性- r幅期寻 c相场府 r幅相忡lB0ns/3gR= 70K Q 时,t = 1.3229,系统处于过阻尼状态厂显示方式在示姓 的一屏r xy时，I = 1,系统处于临界阻尼状态演旌礼.二:CN1 4|位移二位移加M而住一 幅我特， L痈知怜1 r幅相忡1零点投制CHI位梅F位稹色时间基理后一屏；口蜕程-时间量程-显示方式r期率特性hV-.W后一解零点.按副 -后一屏厂显示方式时间里程3,086 画出阶跃响应曲线，测

8、量超调量Mp,峰值时间tp。用Matlab计算测量的结果和理论值：k=25,25,25,20,20,40;T=0.1,0.2,0.3,0.1,0.1,0.1;Ti=1,1,1,0,5,0.2,0.2;%喊际卒&出MpA=4.102,4.570,4.766,4.375,4.844,4.961;%实际输出essB=3.086,3.086,3.086,3.086,3.047,3.047;%响然频率、阻尼比、超调量、峰值时间计算值wn=sqrt(k./(Ti.*T)kesi=1/2.*sqrt(Ti./(k.*T)Mp=exp(-pi.*kesi./(sqrt(1-kesi.*kesi)*10

9、0tp=pi./(wn.*sqrt(1-kesi.*kesi)ts=3./(kesi.*wn)%g调量测量值clMp=(A-B)./B*100;%M量的峰值时间可直接由截图读取实验结果:wn =15.811411.18039.128720.000031.622844.7214kesi = 0.31620.22360.18260.25000.15810.1118Mp =35.092048.639755.801044.434460.467970.2256tp = 0.20940.28830.35000.16220.10060.0707ts =0.60001.20001.80000.60000.60

10、000.6000clMp = 32.922948.088154.439441.769358.976062.8159增益K (A3)惯性常数T (A3)积分常数Ti (A2)自然频率3 n计算值阻尼比计算值超MM Mp(%)峰值时间tP计算值一/ .戴量值计算值,.1测量值250.1115.810.316235.0吐 32.920.2Q94-0.210-0.211.180.22364殳6348：09028.83 L0-.280 一0.39.1280.182655.80 54:440.3500 -0.360200.10.520.000.250044.43-41.770.1622- -0：1700.

11、231.620.158260.46- -587980.1006 -0.1004044.720.1118702262.820.07D7-P.070K=25,T=0.1,Ti=1ieo,格K=25,T=0.2,Ti=1IIKai/IS 我理 1K=25,T=0.3,Ti=1K=20,T=0.1,Ti=0.5K=20,T=0.1,Ti=0.2K=40,T=0.1,Ti=0.2三阶系统瞬态响应和稳定性I型三阶闭环系统模拟电路如图3-1-8所示。图3-1-8 I型三阶闭环系统模拟电路图积分环节（A2单元）的积分时间常数 惯性环节（A3单元）的惯性时间常数 惯性环节（A5单元）的惯性时间常数Ti=Rl*C

12、l=1S;T1=R3*C2=0.1S, K1=R3/R2=1 ;T2=R4*C 3=0.5S, K=R4/R=500K/R该系统在A5单元中改变输入电阻R来调整增益 K,R分别为 30K、41.7K、225.2K1）.观察和分析I型三阶系统在阶跃信号输入时，系统的稳定、临界稳定及不稳定三种瞬态响应。I型三阶闭环系统模拟电路图见图3-1-8,分另将（A11）中的直读式可变电阻调整到30K Q （K=16.7）、41.7K Q （K=12）、225.2K Q （K=2.22 ）,跨接至 U A5 单元（H1 ）和（IN） 之间，改变系统开环增益进行实验。改变被测系统的各项电路参数，运用劳斯（ Ro

13、uth）稳定判据法、MATLAB的开环根轨 迹法、代数求解法，求解高阶闭环系统临界稳定增益K,填入实验报告。运用MATLAB的开环根轨迹法，求解闭环系统超调量Mp为30%的稳定增益，填入实验报告，她画出其系统模拟电路图和阶跃响应曲线。实验步骤： 注：s sr用“短路套”短接！（1）将函数发生器（B5）单元的矩形波输出作为系统输入R。（连续的正输出宽度足够大的阶跃信号）在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中矩形波（矩形波指示灯亮）。 量程选择开关S2置下档，调节“设定电位器 1”，使之矩形波宽度6秒（D1单元左 显示）。调节B5单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压=2.5V

14、（D1单元右显示）。3-1-8安置短路套及测孔联线。（b）测孔联线模块号跨接座号1A1S4, S82A2S2, S11, S123A3S4, S8, S104A5S7, S105B5'S-SL（2）构造模拟电路：按图（a）安置短路套（3）运行、观察、记录：运行LABACT程序, 统瞬态响应和稳定性实验项目 套的虚拟示波器（B3）单元的 波器观测实验结果。选择自动控制1信号车入B5 (OUT) - A1 (H1)2运放级联A1 (OUT) 一 A2 (H1)3运放级联A2A (OUTA ) 一A3 ( H1)4运放级联A3 (OUT) 一 A5 (H1)5负反馈A5B (OUTB ) -

15、 A1 ( H2)67跨接兀件30K、41.7K、225K兀件库A11中直读式可变 电阻跨接到 A5 （H1）和（IN）之间89示波器联接X 1档A5A (OUTA)-B3 (CH1 ) B5 (OUT) - B3 (CH2)菜单下的线性系统的时域分析 下的三阶典型系,就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配CH1测孔测量波形（时间量程放在X 4档）。也可选用普通示 分另1J将（A11）中的直读式可变电阻调整到30K、41.7K、225.2K ,等待完整波形出来后，点击 侵应 用示波器观察 A5A单元信号输出端 C （t）的系统阶跃响应。K=2.22时的（衰减振荡）K =12临界稳

16、定（等幅振荡）K = 16.7不稳定（发散振荡）2）.观察和验证等效于原三阶系统（图 3-1-8）的二阶单位反馈闭环系统根据主导极点的概念，建立等效于原三阶系统（图 3-1-8）的I型二阶闭环系统模拟电 路图，观察等效后的系统输出及原三阶系统输出，分析其响应曲线的相同点及区别，探讨其区别产生的原因。图3-1-9等效于原三阶系统（图 3-1-8）的二阶单位反馈闭环系统实验步骤：注：s sr用“短路套”短接！（1）将函数发生器（B5）单元的矩形波输出作为系统输入R。（连续的正输出宽度足够大的阶跃信号）在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中矩形波（矩形波指示灯亮）。 量程选择开关S2置

17、下档，调节“设定电位器 1”，使之矩形波宽度6秒（D1单元左 显示）。调节B5单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压=2.5V （D1单元右显示）。（2）构造模拟电路：按图 3-1-9安置短路套及测孔联线。（a）安置短路套（b）测孔联线模块号跨接座号1A1S4, S82A2S2, S11, S123A5S10, S114B5'S-ST'（3）运行、观察、记录:1信号车入B5 (OUT) 一A1 (H1)2运放级联A1 (OUT) - A2 (H1)3/4跨接兀件119K兀件库A11中直读式可变电阻跨接到A2A （OUTA）和 A5 （IN）之间5/6跨接兀件337K兀件库A

18、11中直读式可变电阻跨接到A5 （IN）和（OUTA ）之间7负反馈A5A (OUTA) -A1 ( H2)89示波器联接X1档A5B (OUTB ) - B3 (CH1 ) B5 (OUT) - B3 (CH2) 运行LABACT程序，选择自动控制 菜单下的线性系统的时域分析 下的三阶典型系统瞬态响应和稳定性 实验项目,就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配套的虚拟示波器（B3）单元的CH1测孔测量波形（时间量程放在X 4档）。也可选用普通示波器观测实验结果。 等待完整波形出来后，点击 震止，用示波器观察 A5B单元信号车出端 C （t）的系 统阶跃响应。示波器的截图详见虚拟示

19、波器的使用。实验结果分析：证明利用主导极点估实验结果表明上图阶跃响应曲线与衰减震荡阶跃响应图非常接近,算系统的性能指标是可行的。但是两图的过渡弧度不完全一样，导致上升时间有差别。这是由于两者相差了一个非闭环主导极点所造成的。三阶系统瞬态响应和稳定性实验结果改变图3-1-8所示的实验被测系统（三阶单位反馈闭环系统）的惯性时间常数 T1、T2（分别改变模拟单元 A3和A5的反馈电容C2、C3）。（输入矩形波宽度6秒，电压幅度=2.5V）1 .计算和观察被测对象临界稳定的增益K （ R值）。运用劳斯（Routh）稳定判据法、MATLAB 的开环根轨迹法、代数求解法，求解高阶 闭环系统临界稳定增益 K

20、 :劳斯（Routh）稳定判据法:闭环系统的特征方程为： 1 +G(S) =0,=0.05S3 +0.6S2 + S + K = 0(3-1-7)特 征 方 程 标 准 式：a0S3+a1s2+a2s+ a3 =0把式（3.1.7）各项系数代入式（3.18）建立得Routh行列表为S3%a2S30.051S2a1a3s20.6Kc1a©2 -a°a310.6 -0.05KQnQ1S0S00.6S0a30s0K0b60.05K(3-1-8)0.6 K 0为了保证系统稳定，劳斯表中的第一列的系数的符号都应相同，所以 由ROUTH稳定判据判断，得系统的临界稳定增益K=12。即：0

21、 <K <12 = RA41.7KC 系统稳定<K =12= R =41.7KQ系统临界稳定K >12=R<41.7KQ 系统不稳定代数求解法：系统的闭环特征方程D（S）=0中，令S=j co ,其解即为系统的临界稳定增益Ko用j取代式（3-1-7）中的S,则可得：0.05（ j ）3 0.6（ j ）2 j，K =0令：虚部=060.0皴3=04=20,得系统的临界稳定增益 K=12o实部 =0K -0.6a2 =0K=12用MATLAB根轨迹求解法：反馈控制系统的全部性质， 取决于系统的闭环传递函数， 而闭环传递函数对系统性能 的影响，又可用其闭环零、极点来表

22、示。在 MATLAB的开环根轨迹图上反映了系统的全 部闭环零、极点在 S平面的分布情况，将容易求得临界稳定增益 Ko线性系统稳定的充分必要条件为：系统的全部闭环极点均位于左半S平面，当被测系统为条件稳定时，其根轨迹与S平面虚轴的交点即是其临界稳定条件。模拟电路的各环节参数代入式（3.1.4）,该电路的开环传递函数为:G(S)=S(0.1S 1)(0.5S - 1)K0.05S3 0.6S2 S(3-1-6)据式（3-1-6）化简为:20KG（S）二2S3 12S2 20S该电路的闭环传递函数为：根轨迹增益 Kg =20K(S)=KgS3 12S2 20S Kg g(3-1-9)进入 MATLA

23、B- rlocus(num,den) num=20;den=1 12 20 0; rlocus(num,den) v=-11.5 0.5 -6 6;axis(v) grid,按式（3-1-9）设定:得到按式（3-1-9）绘制的MATLAB开环根轨迹图，如图 3-1-18所示Real AxisSystem. aysGain: 126wwtEUaEl图3-1-18 MATLAB 的开环根轨迹图在图3-1-18的根轨迹上找到虚轴的交点（实轴值为0）,即为系统的临界稳定增益:K（Gain）=12。当Ti, T为其他值时的K的理论值计算方法一样，不再一一详述K （R值）来改变增益）。2.运用MATLAB

24、的开环根轨迹法， 求解闭环系统超调量 Mp为30%的稳定增益，旋画出其系统模拟电路图和阶跃响应曲线（调整被测对象的增益T1=0.1 , T2=0.5时，等幅震荡G(S) =20 KS3 12S2 20S用Matlab画图计算临界增益num=20;den=1 12 20 0; rlocus(num,den) v=-11.5 0.5 -6 6;axis(v)System: sysGam: 11.9Root Locus Pole： 0 0155 + 4一45iDamping： -0.0D34Srt-.4 一 L.4 /flJ J 4 ASystem: sys4 45Gain: 2 29Pole: -

25、0 74 + 1 95iDamping: 0 355/verahoot (%): 30 4/Frequency (rai'sec): 2.09 /-I一».里登 4JWUCTEE 一Real Axis超调量Mp30%使，为其阶跃响应曲线为：(此时为闭环传递函数) num=20*2.29;den=1 12 20 20*2.29;step(num,den)Time (ate)当 T1=0.1 , T2=1 时，等幅fG(S): 310KS3 11S2 10S用Matlab画图计算临界增益 num=10;den=1 11 10 0; rlocus(num,den) v=-11.5

26、0.5 -6 6;axis(v)Root Locus®aje£6ee-Systemc sys-Gain: 1Q,9Pole： 0.0121 + 3.14iFk-g. mrh in « JI iTiilPEJJSystem., sysGain: 1.4Pole: -0.418* 1.09iDamping 0.357 /ershnot (%): 30.1Frefluency (rari/sec); 1 17Real Axis超调量Mp30%使，其阶跃响应曲线为：(此时为闭环传递函数) num=10*1.4;den=1 11 10 10*1.4;0.412-21.S.6

27、L0.0.铛 nMLLMstep(num,den)当T1=0.2, T2=0.5时，等幅震荡G(S) =10KS3 7S2 10S用Matlab画图计算临界增益num=10;den=1 7 10 0; rlocus(num,den) v=-11.5 0.5 -6 6;axis(v)Rcot LocusSystem: sys Gdl爪 7.03Otf-i is.- n n n Q0 °142 0 24一一 .SSM AJEGEE 三-System; sysGa in： 1.71Pole: -Q 605 + 1.61 iDa imping: 0.352Overshoot (%；: 30.6Frequency (rad/sec); 1 72.-10Real