空间直角坐标系

1、2. 3. 1 空间直角坐标系一、教材知识解析1空间直角坐标系的定义： 从空间某一个定点 0引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴， 这样就建立了空间直角坐标系O-xyz，点0叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面。2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向 y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书上所指的都 是右手直角坐标系。（2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135°，而z轴垂直于

2、y轴，y轴和z轴的长度单位相同，x轴上的单位长度为 y轴（或z轴） 的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。x、y、乙我们把有序实数对（x，3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为 y，z）叫做点 A的坐标，记为 A （x，y，z）。二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。例1、在空间直角坐标系中，作出M（4,2,5）.解：法一：依据平移的方法，为了作出M（4,2,5），可以按如下步骤进行：（1）在x轴上取横坐标为4的点Mi ；（2）将Mi在xoy平面内沿与y轴平行的方向向右移动2个单位，得到点M2 ；（ 3）将M2沿与z轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到

3、点 M （如图）。法二：以0为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点 0处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴、z轴的正半轴上，则长方体与顶点0相对的顶点即为所求的点 M。法三：在x轴上找到横坐标为 4的点，过此点作与 x垂直的平面壽；在y轴上找到纵坐标为 2的点，过此点作与 y垂直的平面一：；在z轴上找到竖坐标为 5的点，过此点作与 z垂直的平面 ；则平面交于一点，此交点即为所求的点M的位置。【技巧总结】：（1）若要作出点M（xo,yo,zo）的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可 直接在坐标轴上作出此点；（2） 若要作出点 M（xo,yo,zo）的坐标有且只

4、有一个为 0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐 标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。（3）若要作出点 M （Xo, yo,Zo）的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：在x轴上取横坐标为xo的点M1 ；再将M1在xoy平面内沿与y轴平行的方向 向左（yo o ）或向右（y。 o ）平移|yo |个单位，得到点 M 2 ；再将M 2沿与z轴平行的方向向上（Zo 0 ）或向下（Zo ：. 0 ）平移| Z0 |个单位，就可以得到点 M（Xo,yo,Zo）。以0为一个顶点，构造三条棱长分别为I Xo |,| yo |,| Zo I的长方体（三条棱长的位置要

5、与x0, y0,Z0的符号一致），则长方体与顶点 0相对的顶点即为所求的点 M。先在x轴上找到点 Mi（x°,0,0），过Mi作与x垂直的平面：；在y轴上找到点M2（0, y°,0），过M2作与y垂直的平面 在z轴上找到点M3（0,0, Z0），过M3作与Z垂直的平面 ，则平面、卩、交于一点，此交点即为所求的点M的位置。【变式与拓展】3#1. 2在同一坐标系下作出下列各点：A (3, 0, 0), B ( 0, 0, -3) , C (2 , 3 , 0) , D (4 , 2 ,题型2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示例2、如图，在正方体 ABCD -AjBQQj中，E

6、，F分别是BBi,BiDi的中点，棱长为 1,求E、F 点的坐标。解：法一：E点在点xoy面上的射影为 B，B（ 1，1,一 110），竖坐标为一，二 E（1,1,）。22#i i一i iF在在点xoy面上的射影为BD的中点为G（22,0）,竖坐标为i , F（22，i）法二：Bi(i,i,i),Di(0,0,i), B(i,i,0), e 为 BB 中点,f 为 BDi 的中点。ii i i i0ii0 i0 i i,i i 八故E的坐标为（_厂，_牙，_厂）珂“吵,F的坐标为（厂，厂，厂）=（22，i）【技巧总结】：（i）确定空间直角坐标系下点 M的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的

7、线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求（2 ） 空间直角坐标系下，点Pi（x-i, yi,z-i）与P2（x2, y2,z2）的中点为ziZ2)2CACBX3oMACQA则MAMyCQBCiBiBiCi2, i), Q (i, i, 0)B、C、Ci、M、Q 的坐标4, I )6,纵坐标为0 ,竖坐标和Di相x轴，y轴，z轴AZXi +X2 yi + y2(2 1【变式与拓展】2. i、如图，长方体 ABCD -AiBiCiDi 中，OA=6 , OC=8ODi =5，( i)写出点 A!, B,Ci, Di 的坐标（2）若点G是线段BDi的中点，求点G的

8、坐标解：（i） Di在z轴上，且ODi =5，即竖坐标是5,横坐标和纵坐标都为0 ,所以点Di的坐标为（0 , 0 , 5）点A在平面xoy上的射影是A,点A在x轴上，且横坐标为同，所以点A的坐标为（6, 0, 5）,同理可得Bi（6,8,5）, Ci（0,8,5）GD(O)(2)由于Di (0, 0, 5), B (6, 8, 0),贝U BDi的中点G的坐标为2. 2、如图，直三棱柱 ABC中AA 二 AB 二 AC =2, BAC =90 , M 是 CCi 的中点，Q 是 BC的中点，试建立空间直角坐标系， 写出解：分别以AB、AC、A几所在直线为建立空间直角坐标系 A-xyz ,（如

9、图）B (2 , 0 , 0), C (0 , 2 , 0), Ci0空间点的坐标的关键。2. 3、已知P (2, 1, 3)，求M关于原点对称的点 M! , M关于XOy平面对称的点 M? , M分别关于X轴、y轴对称的点M3,M4。解：由于点M与M,关于原点对称，即原点是点M与M,的中点，所以M, (-2, -1, -3);点M与M2关于xoy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2，1，-3)； M与M3关于X轴对称，则M 3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为X5X#M 的相反数，即 M3(2，-1，-3)，同理 M4(-2，1，-3)。三、基础练习1、点(2,0

10、,3)在空间直角坐标系中的位置是在()A. y轴上 B. xOy平面上c. xOz平面上D、yOz平面上答案：C 解析：由于纵坐标为 0,故在平面xOz上2、点P( 1,4, -3) 与点Q(3 , -2,5) 的中点坐标是()A. ( 4, 2, 2) B. (2, -1,2) C . (2, 1 , 1) D答案：C(4, -1,2)3、在空间直角坐标系中，点P(1八2,、3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为( )A. (0,2,0)B. (0, N 3)C. (1,0,； 3)D. (J. 2,0)X#X#答案：D 解析：由于垂足在平面 xOy上，故竖坐标为04、 在空间直角

11、坐标系中，点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是()A .关于x轴对称 B .关于xOy平面对称C .关于坐标原点对称D .以上都不对答案：B解析：由于横坐标和纵坐标不变，竖坐标为相反数，故关于xOy平面对称5、 已知 ABCE为平行四边形，且 A (4, 1 , 3) , B (2,- 5, 1), C ( 3, 7 , - 5),则点 D 的 坐标为解析：根据中点公式，AC的中点为G( 7 , 4, -1 ),又BD的中点也是 G2所以 D( 5, 13,- 3)6、如图，长方体 OABCDABC'中，OA=3, OC =4 ,OD'=3 , A

12、9;C'于BD'相交于点P .分别写出C , B', P 的坐标.解：点C在y轴上，且 OC =4，故C(0,4,0),点B'在面xoy的射影为B，且竖坐标为3，故B' (3,4,3),点P在面xoy的射影为矩形 OABC的对角线的交点，横坐标和纵坐标是矩形OABC的长和3宽的一半，竖坐标和B'的一样，故P(,2,3)。四、达标训练1在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为()A. (-3,4,5) B. (-3,- 4,5) C. (3,-4,-5) D. (-3,4,-5)答案：A2、在空间直角坐标系中，已知点P

13、(x, y, z),给出下列4条叙述： 点P关于x轴的对称点的坐标是(x, y, z) 点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x, y, z) 点P关于y轴的对称点的坐标是(x, y, z) 点P关于原点的对称点的坐标是(一 x, y, z)其中正确的个数是()A . 3B . 2C. 1D. 0答案：C3、如右图，棱长为3a正方体OABC D'A'B'C',点M在| B'C'|上，且|C'M | =2|MB'|，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点 M的坐标为.答案：(2a,3a,3a)4、 若三棱锥P-ABC各顶点坐标分

14、别为 P ( 0, 0, 5), A (3, 0, 0),B (0, 4, 0) , C (0, 0, 0),则三棱锥的体积为 。答案：105、 如右图，为一个正方体截下的一角P ABC ,|PA戶a , |PB|=b , |PC|=c，建立如图坐标系，求AB中点E的坐标a c答案：(一,o,)2 26'6、已知一长方体 ABCD -AiBiCiDi的对称中心在坐标原点O,交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A ( -2, -3, -1),求其他七个顶点的坐标。解: B(-2 , 3 , -1 ), C( 2,3 , -1 ), D( 2 , -3 , -1 ),几(23K

15、2PB1 -D17、在四棱锥P ABCD中 ,底面ABCE为正方形,且边长为2a ,棱PD丄底面ABCDPD = 2b,取各侧棱的中点 E, F , G, H，试建立空间直角坐标系，写出点 E, F , G, H的坐标.解：由图形知，DA± DC DCL DP, DP丄DA 故以 D为原点，建 立如图空间坐标系 D- xyz .则 A(2a,0,0), B(2a,2a,0), C(0,2a,0), D(0,0,0), P(0,0,2 b)DBHf因为E , F, G, H分别为侧棱中点，由中点的坐标公式可知，E(a,O,b),F(a,a,b),G(O,a,b),H(O,O, b)8、

16、四棱锥V ABCD中，底面是边长为 4且.ABC =60°的菱形，顶点 V在底面的射影是对角线的交点O, VO=3试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。解：由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO,AO,BO两两互相垂直，所以以分别以OA,OB,OV所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系(如图)菱形 ABCD 中，AB=4，且 /ABC =60°，则OA=2,OB=2 '、3，而 A,B,C,D,V 都在坐标轴上，且 A(2,0，0)，B(0,2.,3,0)，C(-2,0,0), D (0,-2.3,0),V( 0,0,3)2. 3. 2空间两点

17、间的距离一、教材知识解析1、 空间两点的距离公式：一般地，空间中任意两点(x, y1,z1), P2(x2, y2,z2)的距离为RP2 = J(X1 X2)2 +(W- y2)2 + (乙Z2)22、空间中点的轨迹常见的点的轨迹方程有：2 2 2 2(1) 方程(x-a) ，(y-b) ，(z-c) = r (r 0)表示以点(a, b,c)为球心，r为半径的球。(2) 方程x2 y2二r2在空间坐标系中表示旋转轴为z轴的圆柱面，且到 z轴的距离为r。二、题型解析题型一、直接利用两点间的距离公式解决有关问题。例1、求下列两点间的距离：(1) A (1, 1, 0), B ( 1, 1 , 1

18、)(2) C (-3 , 1, 5), D( 0 , -2 , 3)解：(1) AB (1-1)2 (1-1)2 (0-1)2 =1(2) CD =、(-3-0)2 1-(-2)2 (5-3)2 = 22【技巧总结】：使用两点间距离公式时，一定要注意公式中坐标的对应，同时注意符号。【变式与拓展】1. 1 已知 A (1 , -2 , 11) , B (4 , 2 , 3) , C (6 , -1, 4),试判断 L ABC 的形状。解：* AB =(4 -1)2-(-2)(3T1) =892 2 2 2BC =(4-6)2 -(-1)(3-4) =14X7AC? =（6 _1）2 _1 一（_

19、2）2 （4 一11）2 =75.BC2 AC AB2因此L ABC是直角三角形1. 2在空间直角坐标系中，解决下列各题：（1 ）在X轴上求一点P,使它与点P0（4，1，2）的距离为.30 ；（2）在xoy平面内的直线X y =1上确定一点 M,使它到点 N（6，5, 1）的距离最小, 并求出最小值。解：（1）由于点P在x轴上，所以设P（x,0,0），PP= .(x-4j 14 当30x 或X- -1所以点P的坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）（2）由已知可设 M （x,1x,0），则M N = x_6j (1_x _ 5)( 02 1) x2(，1)5 1所以当X =1时，MN皿山二；5

20、1，此时点M（ 1， 0， 0）1. 3求到点A（1 , 0 ,1） 与点B（3 , -2,1） 距离相等的点P的坐标满足的条件。解：设点 P 的坐标为（X ,y , Z）,则.（x1）2，（y-0）2，（z1）2 = （x3）2 （y，2）2，（z-1）2 ，化简得4x-4y-3=0即为所求.题型2、空间直角坐标系和两点间距离公式的综合应用。例2、正方形ABCD ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD与平面ABEF 互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，CM=BNa（0 : a ：。当a为何值时，MN的长度最短?若解：丁平面ABC吐平面 ABEF平面 ABCD 平面 ABEF=AB

21、AB _ BE,. BE _ 平面 ABCD-AB BC BE两两互相垂直，所以以B为原点，以BA BE, BC所在直线为x,y,Z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系。则42暑 丘込M (a,0,1a), N ( a, a,0)2 2 2 2a-a)2 (0-'2a)2(12a-0)2 2 2所以当a弋时,|MN|最短为子，此时，M N恰好为AC, BF的中点。【技巧总结】：考虑到几何图形中出现了两两互相垂直的三条直线，所以可以以此建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式可以求得线段MN的长度，并利用二次函数的最值，求出MM的长度的最小值。体现了空间直角坐标系这一重要工具的应用。【变式与

22、拓展】四棱锥S-ABCD的底面是矩形， AB=a，AD=2，SA=1，且SA_底面ABCD，若边BC 上存在异于B，C的P,使得.SPD是直角，求a的值最大值。解：以A为原点，射线AB，AD，AS分别为X, y, Z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A( 0，0，0)、S( 0，0，1 )、D( 0，2，0)。设 P(a,x,0)(0 : x :：: 2)2 2 2 2 2 2.SP =(a -0) (X-1)(0 -1) = X a 1PD2 =(a -0)2 (x -2)2(0 -0)2 =(x -2)2 a2SD2 =(0 -0)2(0 -2)2(1 -0)2 =5a - x(2 - x

23、) = 0” SPD是直角，.SP2 PD -SD2 即 x2 a2 1 (x-2)2 a2 =5，2 2.a = x(2 -x) = -(x -1)1当x =1 （0,2）时，a的最大值为1。三、基础练习:1、若已知旧 A ( 1,1,1 )，B(3， 3，3），则线段AB的长为()A.4、3B .2、3C. 4 .2D.3、- 2答案:A2.设A（3，3，1)，B (1,0，5)，C (），1，0），AB的中点M，则|CM F ()A.53B .53c.一D.1342223答案：C 解析：AB中点的坐标为（2，-，3），利用两点间距离公式可得。23、点B是点A（ 1，2，3）在坐标平面yO

24、z内的射影，贝U OB等于（B ）A.、 14B. V13C. 2 3D.、11答案:B点A在平面yOz的射影为B (0，2, 3)，利用两点距离公式可得。4、已知 A (1, 2, 3), B (3, 3, m) , C (0, - 1, 0) , D (2, 1, 1),则( )A . | AB|>|CD |B. | AB |<|CD |C. | AB | w |CD |D. | AB | > |CD |答案：D 解析：CD2 =5 , AB2 =5 (m-3)2 _55、 已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t),点B的坐标是(2 , t, t),则A与B两点间距

25、离的最小值为答案：I：5 解析：AB2 =(1 t -2)2 (1 t -t)2 (t t)2 =5t2 2t 2 =5(t -)2 -5556、 如图，已知正方体 ABCD - A'B'C'D'的棱长为a, M为BD '的中点，点N在AC'上,且 | A'N |=3| NC'|，试求 MN 的长.解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为 a,所以 B (a, a, 0), A' (a, 0, a), C' (0, a, a),D' (0, 0, a).由于M为BD'的中点，取 A&

26、#39;C'中点O',aaaaa、所以 M ( ,), O' ( , , a).22222因为|A'N | = 3| NC' |,所以N为A'C'的四等分，从而N为O'C'的中点，故N (, 3a , a).44根据空间两点距离公式，可得|Mn4R乓乎芦呼a -四、达标训练：1、已知A(a, -5,2)与B (0, 10, 2)间的距离是17,则a的值是()A、6B、-6 C、8 D、-8答案：D 解析：AB2 =a2225 0 =289= a - -82、设 A (3, 6, 9), B (-2 , 4 , 6) , C

27、 (-7 , 2 , -3),则 A , B , C 三点()A、共线且点 A在线段BC上B、共线且B在线段AC上C、共线且C在线段AB上D、构成三角形答案：D3、已知长方体ABCD -A1B1C1D1 的边长为 AB=3 , AD=6 , A =6 , M 在 AC1 上 ,且AM = 2MC1 , N为BB1的中点，则点M、N间的距离为()A、3B.2 3C.3 2D3、3答案；C解析：分别以AB、AD、AA所在的线段为X,y,Z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则可得M (2, 4, 4), N (3, 0, 3)，则 MN = J+16 +1 =3丽4. 如图，三棱锥 A BCD中，AB丄

28、底面 BCD, BC丄CD，且AB=BC=1 ,CD=2，点E为CD的中点，贝U AE的长为（）虫債C. 2 D.、5答案：B5、已知空间两点 A（-3，-1，1），B（-2，2，3），在OZ轴上有一点 C，它与 A、B两点的 距离相等，则 C点的坐标是 3答案：（0，0，6、点B是A（ 3，-1，-4）关于y轴对称的点，则线段 AB的长是答案：10解析：由题意知B（ -3, -1，4），则根据两点间的距离公式求得7、 到两定点A（2，3，0）、B（5，1，0）距离相等的点的坐标 （X, y,Z）满足的条件是 _答案：6x-4y-13=08、已知 A（1,2,-1）,B（2,0,2）（1）在X轴上求一点 P,使|PA|=|PB|;（2）在xoz平面内的点 M到A点与到B点的距离相等，求点 M的轨迹。解：（1 ）设P（a,0,0），则由已知得.（a T）2（-2）212= . （a -2）222即a2-2a 6 二 a2 -4a8=a = 1所以点P的坐标为（1，0，0）（2）设 M （x,0, z），则.（X-1）2 （-2）2 （z 1）2 = （x-2）2 （z-2）2整理得 2x 6z -2 =0即 x 3z -1 = 0故点M的估计是xoz平面内