小波阈值去噪及MATLAB仿真

1、哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文）摘 要小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时频分析，借助时频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。本文设计了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。关键词：小波变换；去噪；阈值Abst

2、ractWavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time do-mains.It makes the wavelet analysis suitable for time-frequency analysis.Wavelet analysis has played a particularly impor-tant role in denoising,due to the fact that it has the pr

3、operty of time- frequency analysis. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory th

4、rough the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory.In this paper,the method of Wavelet Analysis is analyzed.and the method of threshold denoising is

5、 a good method of easy realization and effective to reduce the noise.Keywords：Wavelet analysis；denoising；threshold目 录摘 要IAbstractII第1章 绪论11.1 研究背景和意义11.2 国内外研究历史和现状21.3 本文研究内容4第2章 小波变换的基本理论52.1 傅立叶变换52.2 加窗傅立叶变换62.3 小波变换72.3.1 连续小波变换82.3.2 离散小波变换92.4 多分辨分析12本章小结13第3章 经典噪声类型及去噪方法143.1 经典噪声类型143.2 常用滤

6、波器173.2.1 线性滤波器183.2.2 均值滤波器183.2.3 顺序统计滤波器193.2.4 其他滤波器193.3 经典去噪方法203.4 Matlab工具213.4.1 Matlab 发展历程213.4.2 Matlab 简介21本章小结22第四章 小波阈值去噪及MATLAB仿真234.1 小波阈值去噪概述234.1.1 小波阈值去噪方法244.1.2 图像质量评价标准244.2 基于MATLAB的小波去噪函数简介254.3小波去噪对比试验27本章小结34结 论35致 谢36附录1 译文38附录2 英文参考资料39-40-第1章 绪论1.1 研究背景和意义随着计算机技术的飞速发展，数

7、字图像处理技术获得了飞速的发展。去除图像的噪声是图像处理过程中的一个重要环节，其结果直接影响到图像质量和特征提取的精确性。现实中由于获取图像的环境、设备及传输过程存在不确定因素，使得图像受到噪声污染是不可避免的。现代医学中, 影像被广泛应用于诊断和治疗, 是必不可少的手段和工具. 医学图像的好坏直接影响着医生对病情的诊断和治疗. 医学图像在获得的过程中都会混有各种噪声, 因此有必要进行去噪研究。如何减少甚至消除噪声一直是图像处理研究中的课题之一。噪声是影响图像质量的重要因素；噪声的存在导致图像的某些特征细节不能被辨识, 图像信噪比下降。在图像处理中如何有效地去除噪声, 提取图像信息变得尤为重要

8、。利用计算机等设备处理图像，容易受噪声干扰造成质量下降，极大影响了人们从图像中提取信息，所以非常有必要在利用图像之前消除噪声。信号在生成和传输的过程中会受到各种各样噪声的干扰，对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。寻求一种既能有效地减小噪声，又能很好地保留信号原始信息的方法，是人们一直追求的目标。利用振动信号或状态量对设备进行诊断是设备故障诊断中最有效、最常用的方法 ,过去常用传统的基于快速傅里叶变换( FFT)的频谱分析方法进行振动信号处理,但是傅里叶分析存在着严重的不足,它只适于分析时不变系统的平稳信号 ,而不适于分析非平稳信号,且傅里叶变换对在检测信号中包含的趋势、突变事件的开始和结束

9、等特征分析时也显得无能为力。出于对非平稳信号和突变信号的分析的迫切要求 ,法国地球物理学家 Morlet 于1984 年提出了一种新的线性时频分析方法小波分析理论,为机械故障诊断中的非平稳信号分析,弱信号提取，信号滤波等提供了一条有效的途径。从数学上看，小波去噪本质是一个函数逼近问题，即如何在由小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原信号的最佳逼近，完成原信号和噪声信号的区分。由此小波去噪方法也就是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原信号的最佳恢复。从信号分析的角度看，小波去噪是信号滤波问题，尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于去噪

10、后还能成功地保留图像特征，在这一点上又优于传统的低通滤波器，所以小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合。小波变换能够很好地保留边缘(这是因为小波变换的多分辨率特性)，小波变换后，由于对应图像特征(边缘等)处的系数幅值较大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。相对于早期的方法，小波去噪对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而更利于理论分析。小波去噪的成功主要在于小波变换有如下特点:(1)低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；(2)多分辨率特性。由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辨

11、率下根据信号和噪声分布特点进行去噪；(3)去相关性。因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；(4)选基灵活性。由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同相应场合，可以选择不同的小波母函数。小波分析是时频分析方法，具有良好的时频局部性，并且有快速算法(Mallat算法)加以实现。这样，小波变换理论就为噪声消除问题提供了一个新的思路，其应用也日渐广泛。1.2 国内外研究历史和现状在早期，人们通过对边缘进行某些处理，以缓解低通滤波产生的边缘模糊。在这一点上，虽然这种方法同小波去噪很相似，但是小波变换之所以

12、能够很好地保留边缘，是因为小波变换的多分辨率特性，小波变化后，由于对应图像特征(边缘等)处的系数幅值变大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。相对早期的方法而言，小波噪声对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而便于系统的理论分析。在许多国内外研究学者的努力下，小波去噪技术在信号处理领域中不断得到发展和完善。早期的小波去噪工作类似有损压缩技术，即先对含噪信号进行正交小波变换，再选定一个固定的阈值与小波系数比较进行取舍，低于此阈值的小波系数设为零，然后进行小波重构恢复原信号，上述算法中的阈值选取完全取决于经验和实际应用。Mallat是最早从事小波在信号处理中的

13、应用的研究者之一，他提出的利用小波变换模极大值原理进行信号去噪的方法是小波去噪中最经典的方法。其基本原理是在小波变换域内去除由噪声对应的模极大值点，仅保留由真实信号所对应的模极大值点。然而仅仅利用这些有限的模极大值点进行信号重构，误差是很大的。因此，基于模极大值原理进行信号去噪时，存在一个由模极大值点重构小波系数的问题。Mallat提出的交替投影方法较好地解决了这个问题。然而，交替投影方法计算量很大，需要通过迭代实现，有时还不稳定。陈德智、刘贵忠、赵瑞珍等人分别对小波系数的重构问题作了进一步的研究和改进，提出了较易实现的算法。 Xu等人于1994年提出了一种基于空域相关性的噪声去除方法，根据信

14、号与噪声的小波变换系数在相邻尺度之间的相关性进行滤波，该方法虽不够精确，但很直接，易于实现。在该算法的实现过程中，噪声能量的估计非常关键。潘泉等人推导出噪声能量阈值的理论计算公式，并给出了一种估计信号噪声方差的有效方法，使得空域相关滤波算法具有自适应性。赵瑞珍等人在相关去噪的基础上，提出了一种基于区域相关的小波滤波算法，克服了通常相关算法中由于各尺度间小波系数的偏移导致的判断准确率低的缺点。 Stanford 大学以Donoho为首的一个学术群体致力于信号的去噪，取得了大量的成果。Donoho和Johnstone等人于1994年提出了信号去噪的软阈值方法和硬阈值方法(WaveShrink)，还

15、给出了t=2ln(N)的阈值，并从渐进意义上证明了WaveShrink的最优性；同年Coifman和Donoho提出了平移不变小波去噪。Gao和Bruce把软阈值和硬阈值方法进行推广，提出了semisoft阈值方法，研究了不同收缩(shrinkage)函数的特性，推导出最小最大阈值，并给出阈值估计的偏差、方差等的计算公式。 Johnstone等人1997年给出一种相关噪声去除的小波阈值估计器。Nowak于 1997年提出Cross Validation方法进行最优信号估计，同年Jansen等人采用GCV(Generalized Cross Validation)估计器来估计小波阈值，从而对图像

16、中的相关噪声进行去除。Nowak 等人1999年提出了针对光子图像系统的小波变换域滤波算法，在该系统中的噪声属于Poisson噪声Nowak提出了PRESS-最优非线性小波滤波方法，根据图像局部区域的大小，来调整PRESS-最优滤波器，使其与Poisson噪声的方差水平相匹配。事实上PRESS-最优非线性小波滤波方法也是介于软阈值和硬阈值之间的一种方法。 Speckle 噪声实际上是一种乘性噪声，其去除方法由 Fukuda 等人提出，随后又有不少学者对乘性噪声的去除作了进一步的研究。Chang等人在2000年将自适应阈值和平移不变量去噪思想结合起来，提出一种针对图像的空域自适应小波阈值去噪方法

17、，所选阈值可随图像本身的统计特性而作自适应改变。 Oktem等人提出了一种Film-grain型噪声的去除与含噪图像压缩的变换域方法。赵瑞珍等人提出了一种Poisson噪声去除的小波变换局部域复合滤波算法。Chen等人根据图像小波系数在小波分解后的相关性，提出了使用邻域小波系数的图像阈值去噪算法。Zhang等人提出了基于神经网络的图像去噪算法。Jansen提出了对于重噪声的最小风险阈值方法。 总之，目前小波去噪方法的研究非常活跃，不断有新的方法出现，尤其是有关 Gaussian噪声的去除已取得了不少好的结果。1.3 本文研究内容目前，小波去噪的基本方法有：（1）利用小波变换模极大去噪；（2）基

18、于各尺度下小波系数相关性进行去噪；（3）采用非线性小波变换阈值法去噪、平移不变量小波去噪。此外，还有基于投影原理的匹配追踪（matching persuit）去噪法以及多小波（multiwavelet）去噪法等。阈值法由于具有能得到原始信号的近似最优估计、计算速度快以及具有广泛适应性等优点，是小波去噪方法中应用最广泛的一种，因此是本论文中主要研究的去噪方法。本文内容安排如下：首先，介绍小波变换基本理论。对傅里叶变换和小波变换进行了分析，分析了它们各自之间的区别和联系，指出小波变换适合信号处理的原因，同时介绍了小波变换的数学背景，这是后面讨论的理论基础。 其次，介绍了几种经典的噪声的类型，并介绍

19、了几种经典的去噪方法和Matlab仿真工具，接着给出了小波消噪综述。介绍小波变换消噪的优势、原理以及基函数的选取问题。 再次，为一维信号和二维图像小波变换去噪算法的研究。第四步是Matlab仿真实验。给出了图像去噪的一般模型和图像质量评价标准，通过编程实现小波阈值去噪，得到去噪后信号的直观图形，以及去噪的信噪比和最小平方误差，从而直观地证明了基于小波阈值消噪方法的优越性。 最后为全文的工作的总结。第2章 小波变换的基本理论小波分析（Wavelet Analysis）是数字信号处理中非常有力的一种工具。它是20世纪80年代初，由Morlet在分析研究地球物理信号时提出来的，是一种刚刚发展，但具有

20、强大生命力的新学科技术。近些年来，小波分析成为信号处理研究的热点，不仅仅在理论上取得了很多突破性的进展，而且还在图像处理、语音信号处理、地震信号处理以及数据压缩处理等许多领域中得到了极广泛的应用。小波分析，是泛函分析、傅里叶分析及数值分析等多个学科相互交叉、相互融合的结晶。小波分析属时频分析的一种。它是一种多尺度的信号分析方法，使分析非平稳信号的强有力的工具。它克服了短时傅里叶变换固定分辨率的缺定，即能分析信号的整个轮廓，又可以进行信号细节的分析。一般说来，传统上使用Fourier分析的地方，现在都可以用小波分析并能够取得更好的结果，小波分析能对几乎所有的常见函数空间给出简单的刻画，也能用小波

21、展开系数描述函数的局部性质。小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化特性，克服了传统Fourier分析的不足，由于小波分析对高频采取逐渐精细的时域步长，从而可以聚焦到被分析信号的任意细节。这一优越的局部分析性能，使小波分析在数据压缩、边缘检测、信号处理和语音分析等领域得到了广泛应用。近年来小波理论得到了进一步的发展，人们构造出同时具有多种优良性质的小波，同时也从另外一个角度去放宽正交小波基的条件，去研究更一般的非正交向量族，使得小波理论不断完善。随着小波理论的不断完善，它的应用领域也越来越广泛。小波分析与Fourier分析的区别在于，Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单

22、个变量（时间或频率）的函数表示信号，时频分析在时频平面上表示非平稳信号，小波分析则联合时间，尺度函数分析非平稳信号，小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上，但不是在时频平面上，而是在时间尺度平面上，在小波分析中，人们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号分析的多尺度观点是小波分析的基本特征。本章给出了关于小波分析的一些基本概念、定理及算法。2.1 傅立叶变换自Fourier提出了Fourier分析这一全新的观点后，傅立叶变换在分析领域内产生了极为重要的影响，使数学和物理等学科发生了很大的变化，引起了众多科学家的广泛关注。FFT(快速Fourier变换)的提出更使Fourier方法从理论走向实

23、践，成为大们进行分析的强有力工具。傅立叶变换（Fourier Transform）定义为：给定信号，如果它满足 (2-1)那么可对其进行傅立叶变换 (2-2)其逆变换为 (2-3)与是一一对应的变换对。傅立叶变换在信号分析和图像处理等领域里有着重要的应用，能将信号的时域特征和频域特征联系起来，是信号分析与信号处理的重要工具。傅立叶变换有很强的频域定位和频域局部化能力，但是没有时间定位和时间局部化能力。傅立叶变换反映不出信号频率随时间变化的非平稳信号，即时变信号，它只能给出一个总的平均效果。受海森堡测不准原理的制约，时间分辨率和频率分辨率不可能同时达到最好，也无法根据信号的特点来自动调节时域及频

24、域的分辨率。为了从模拟信号中提取频谱，就要取出无限的时间量，使用过去的和将来的信息只为计算单个频率的频谱。由定义可知属于某一给定的区间反映不出在其时间区域上的信息。因为信号的频率反比于其时间周期长，因此对高频谱信息而言，时间区域应相对窄，而对低频谱信息而言，时间区域应相对宽，即应给一个可调时频窗，Fourier分析不能做到这一点，从而不适于做局部分析。2.2 加窗傅立叶变换由于傅立叶变换不能将信号的时域特征和频域特征有机结合起来，DennisGabor于1946年提出了短时傅立叶变换(Short Fourier Transform)，也称为加窗傅立叶变换(Windowed Fourier Tr

25、ansform)。设,而且，如果，则称是一个窗函数。的中心和半径分别定义为： = (2-4)如果窗函数的傅立叶变换也满足窗函数的条件，的频率中心和频窗半径分别定义为： = (2-5)对任意固定的t和w，加窗傅立叶变换给出了信号在时频平面上的一个时频窗 (2-6)选定窗口函数之后，这个时频窗是时频平面上的一个具有固定面积的矩形。加窗傅里叶变换发展了傅里叶变换，能够满足信号处理的某些特殊需要。但是当窗口函数选定以后，它不能随着所要分析的的信号成份在高频信息和低频信息而相应变化，对非平稳信号的分析能力是很有限的，不适合分析频带较宽的频谱。而我们希望对高频信号进行分析时窗口要窄一些，对低频信号分析时窗

26、口要宽一些，而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口的宽度，具有敏感的变焦距特性，能够满足我们分析的需要。2.3 小波变换令（表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），其傅里叶变换为。当满足下面的允许条件时 (2 -7)则就是一个基本函数，令式中，a，b均为常数，且a>0。a称为尺度因子，b为位置参数，若a，b不断地变化，可得到一组函数。则x(t)的小波变换（wavelet transform, WT）定义为 (2-8)小波变换可理解为用一组分析宽度不断变化的基函数对x(t)做分析，这一变化正好适应了对信号分析时在不同频率范围需要不同的分辨率这一基本要求。令x(t)的傅里叶变换为，

27、的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为 (2-9)由Parseval定理可得 (2-10)此式即为小波并变换的频率表达式。可以看出当减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且b的窗口中心向增大方向移动。这说明连续小波的局部是变化的，在高频时分辨率高，在低频时分辨率低。这便是它优于短时傅里叶变换与经典傅里叶变换的地方。总的来说，小波变换具有更好的时频窗口特性。2.3.1 连续小波变换设是平方可积函数，即，若的傅立叶变换满足条件： (2-11)则称为一个基本小波或小波母函数，称式(2-11)为小波函数的可容许性条件。将小波母函数进行伸缩和平移得小波基函数： (2-12) 其中a为伸缩因

28、子（又称尺度因子），b为平移因子。连续小波变换(CWT)定义为：设函数f(t)平方可积，表示的复共轭，则f(t)的连续小波变换为： (2-13)由CWT的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换。由于小波基不同于傅立叶基，小波变换与傅立叶变换有许多不同之处，其中最重要的是，小波基具有尺度a、平移b两个参数，将函数在小波基下展开，就意味着将一个时间函数投影到二维的时间，尺度相平面上。从频率域的角度来看，小波变换已经没有像傅立叶变换那样的频率点的概念，取而代之的是本质意义上的频带概念，从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的时间点处的变化，而是体现了原信号在某个时间段内的变化情

29、况。CWT系数具有很大冗余量，从节约计算量来说，这是它的缺点之一，但是从另一方面来讲，我们可以利用CWT的冗余性实现去噪和数据恢复的目的，其冗余性又成为CWT不可替代的优势。连续小波变换是一种线形变换，它具有以下几方面的性质：（1）叠加性：设，是任意常数，x(t)的CWT为，y(t)的CWT为，则z(t)的CWT为： (2-14)（2）时移不变性：若x(t)的CWT为，则的CWT为。x(t)的时移对应于WT的b移。（3）尺度变换：若x(t)的CWT为，则的CWT为。此性质表明，当信号在时域作某一倍数伸缩时，其小波变换在a,b两轴上也作同一倍数伸缩，形状不变。（4）内积定理（Moyal定理）：设

30、，它们的CWT分别为和，则有： (2-15)式中。任何变换只有存在逆变化才有实际意义。对连续小波而言，若采用的小波满足可容许性条件，则其逆变换存在，即根据信号的小波变换系数就可以精确地恢复原信号，并满足连续小波变换的逆变换公式： (2-16)其中。2.3.2 离散小波变换通常用冗余度这一概念来衡量函数族是否构成正交性，若信号损失部分后仍能传递同样的信息量，则称此信号有冗余，冗余的大小程度称为冗余度。连续小波变换的尺度因子a和移位因子b都是连续变化的，冗余度很大，为了减小冗余度，可以将尺度因子a和移位因子b离散化。现在的问题是，怎样离散化才能得到构成空间的正交小波基。由连续小波变换的时频分析得知

31、小波的品质因数不变，因此我们可以对尺度因子a按二进的方式离散化，得到的二进小波和二进小波变换，之后再将时间中心参数b按二进整数倍的方式离散化，从而得到正交小波和函数的小波级数表达式，真正实现小波变化的连续形式和离散形式在普通函数形式上的完全统一。由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量a ，b进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取，这时 (2-17)常简写为：。变换形式为：为了能重构信号，要求是的Riesz基。一个函数称为一个R函数，如果在下述意义上是一个Risez基：的线性张成在中是稠密的，并且存在正常数A与B，使对所有二重双无限平方可和序列成

32、立，即对于的成立。假定是一个R函数，那么存在的一个唯一的Riesz基，它在意义上与对偶。这时，每个有如式(2-18)的唯一级数表示： (2 -18)特别地，若构成的规范正交基时，有重构公式为： (2 -19)图像可以看作是二维的矩阵，一般假设图像矩阵的大小为，且有（ 为非负的整数）。那么每次小波变换后，图像便分解为4个大小为原来尺寸1/4的子块区域，如图2-1所示，分别包含了相应频带的小波系数，相当于在水平方向和坚直方向上进行隔点采样。进行下一层小波变换时，变换数据集中在频带上，图2-2所示为3层小波变换的系数分布。 1111图2-1 一次离散小波变换后的频率分布3321332211图2-2层

33、小波变换后的频率分布2.4 多分辨分析Mallat使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。空间的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列，使其具有以下性质：(1) 单调性（包容性）:(2) 逼近性：(3) 伸缩性： (4) 平移不变性：(5) Riesz基存在性：存在，使得构成的Riesz基。在定义2.4-1中，对应于分辨率，有时候对应于分辨率，这时，性质（1）、（3）中子空间的下标要做相应的变化。本章小结小波分析来源于傅里叶分析，它不能代替傅里叶分析，它是傅里

34、叶分析的新发展，二者的互补优势和相辅相成的良好效果已被科研实践所证实，对于长时间内比较稳定的信号，用傅里叶分析比较适合，小波变换由于具有时-频局部化，具有自适应性，在低频段采用高的频率分辨率和低的时间分辨率，在高频段采用低的频率分辨率和高的时间分辨率，非常适合于分析有突变的信号。本章是小波分析的理论基础。首先从小波定义谈起继而介绍连续小波变换和其特殊化形式离散小波变换，然后较为详细地介绍了多分辨分析。第3章 经典噪声类型及去噪方法3.1 经典噪声类型噪声是造成图像退化的重要因素之一，数字图像的噪声主要来源于数字化过程和传输过程。噪声对图像信号的幅度和相位的影响十分复杂，有些噪声和图像信号相互独

35、立不相关，有些事相关的，噪声本身之间也有可能是相关的。因此要减少图像中的噪声，必须针对具体情况采用不同的方法，以达到满意的处理效果。 设g(x)表示图像。我们将图像分解成所需要的部分，用f(x)表示，噪声部分用n(x)表示。最常用的分解就是加性分解，即 (3-1)例如，高斯噪声就常常被认为是加性结构的。 第二常用的分解就是乘性的，即 (3-2)散斑就是通常被模拟为乘性噪声的一个例子。下面，将介绍几种经典的噪声模型：（1） 高斯噪声高斯噪声是一种具有正态分布，也称为高斯分布，概率密度函数的噪声。加性高斯噪声可能是出现概率最大的一类噪声了。高斯噪声广泛应用于热噪声和某些理想情况，在这些情况下它限制

36、其它噪声的作用。如，光子计数噪声和影片颗粒噪声。 均值为方差为的一元高斯噪声密度函数n为 (3-3)X的取值为。高斯分布最重要的性质应该是中心极限定理，这个定理陈述了大量的独立、小随机变量和的分布函数具有高斯分布的特性。注意，对于单个随机变量不需要它们自己有高斯分布函数，也不需要是同分布。（2） 重尾噪声 很多情况下，中心极限定理的条件都只是差不多满足而不是十分满足和函数中的项可能不是足够的多，或者那些项不是充分的独立，或者其中小部分的项对和提供的数据不均衡。在这些情况下，噪声可能就只能近似为高斯型。这是一种值得注意的情况。甚至当某个密度函数的中心接近高斯型，但其尾部有可能不是。 “重尾”就是

37、对于值很大的x，其密度趋近0的速度比高斯型慢很多。例如，对于大值的x，高斯型以的速度趋近于0，而二重指数密度会以的速度趋近于0。二重指数密度就是所谓的重尾噪声。 重尾噪声的一个有趣、应该熟悉的例子是在暴风雷电的天气下由微弱广播调幅电台所产生的静电干扰。大多数时间，中心极限定理的条件还是很好的被满足，而噪声也是高斯型。然而，在某些情况下，也存在晴天霹雳。闪电淹没了微电子的作用主宰了和函数。 （3） 椒盐噪声 椒盐噪声指的是广泛存在于多种处理过程，这些过程导致了相同的图像退化：仅仅小部分的像素被噪声污染，但是噪声非常严重。这种噪声影响就像少量黑白点即盐粒和胡椒粉在图像上。 有椒盐噪声产生的一个例子

38、就是在有噪数字链接中的图像传输。利用多种顺序统计滤波器可以很容易将椒盐噪声消除，特别是中心加权中位值滤波和LUM滤波器。（4） 均衡和量化噪声 量化噪声产生于连续随机变量被转换成离散型的过程或者离散随机变量转换成另一个更少等级的离散随机变量过程。在图像中，量化噪声常常出现在数据收集过程。可能最初图像是连续的，但是，被处理过后就会变成一幅数字图像。 就像我们应该知道的那样，量化噪声通常都被建模为均衡噪声。一些学者用均衡噪声来模拟其他图像损坏，例如，混色信号。均衡噪声与上面所讨论的重尾噪声的完全相反。其尾部噪声是极其轻的。 较小量化级数图像的普遍特征也许就是所谓的“圆齿状”。密度明显的分级的地方就

39、会丢失。有连续不变颜色的很大区域被清晰的边界分隔。其影响与将平滑的斜坡变成一组离散阶梯相似。（5） 光子计数噪声 基本上，获得图像的设备都是光子计数器。以a表示图像中某些地方（一个像素）的所计的光子数目。那么，a的分布函数常被模拟为参数为的泊松分布。该噪声也被称为泊松噪声或者播送技术噪声。 (3-4)其中k=1，2，.我们就可以清楚泊松分布的一个最重要的性质，即其方差与期望值相等。当值很大的时候，就能够用到中心极限定理。而此时泊松分布就与均值和方差值都等于的高斯分布很接近。(6) 摄影颗粒噪声摄影颗粒噪声是摄影胶片的特殊产物。它限制照片的扩放效果。以下是一个摄影过程的简单模型：摄影胶片是由数百

40、万个晶粒组成的。当灯光打在胶片上的时候，有些晶粒吸收光子而有些却没有，那些吸收了光子的微粒改变了样子变成了金属银。在这个变化的过程中，那些没有改变的晶粒就被清除了。在给定的区域A，假设有L个晶粒，每个晶粒改变的概率为p，p与入射光子的数目成比例。则发生改变的微粒数N就是一个二项分布 (3-5)因为L很大，当p很小但是适中，该概率就可以用泊松分布很好的近似 (3-6) 且当p更大的时候也可以用高斯分布近似。 (7) CCD成像 大约在过去的20年，CCD（电荷耦合装置）成像已经作为主流的成像形式取代了摄影成像。CCD按光电原理完成工作。入射光子被吸收，引起电子增加至更高的能量级。这些电子完全被颗

41、粒捕获。过后，这些电子被“读出”装置计算出来。被计数的电子数目N可以写成： (3-7)其中是图像的电子数，是热噪声的电子数，是读出噪声的影响。是期望值的泊松分布，且与入射图像密度成比例。的方差也是因此其均方差是。信噪比（忽略其他噪声的影响）是。增大信噪比的唯一办法就是增加图像的电子数量。有时可以增加图像的密度（例如，摄影师的闪光）、增加开槽（例如，大望远镜）或者延长曝光时间。(8) 散斑 散斑是更复杂的图像噪声模型之一。它依赖于信号，非高斯，且与空间相关。当相干光射到物体表面时，就会反射回去。由于物体表面（以像素为单位）粗糙程度的有微小变化，使得接受到的信号的相位和振幅就产生随机变化。其中的一

42、些相位变化对原信号补充加强，也有些却适得其反，使得信号减弱。这种变异被称为相干光引起的散斑。恒星的闪烁与相干光引起的光斑相似，但是也有很大的不同。从地球上看恒星（除了太阳）是点光源。如果求恒星多图的平均，那么将会得到模糊的图像。近年来，消除大气引起的斑纹（“闪烁”）的最好方法是将观察者移出大气层，也就是说，移到太空。有一类叫做“ 干涉测量法”。它是用各种短时（特别是每个都少于1秒）图片和邻近星球来估计随机散斑。一旦估计完成，散斑就可以被消除，得到无模糊图像。3.2 常用滤波器当一幅图像被加性噪声污染时，其表达形式为: (3-8)通常可以选择空域滤波的方法进行去噪处理。常见的空域滤波器有均值滤波

43、器、顺序统计滤波器、自适应滤波器等。滤波器的输入为受噪声n(x,y)污染而退化的图像g(x,y)，如式（3-8）所示。而滤波器的输出为恢复后的图像f(x,y)即原始图像f(x,y)的近似估计。下面分别予以介绍。 3.2.1 线性滤波器 线性滤波器是通过取样值的线性组合来计算得到估计值。令表示中心为点(x，y)，尺寸为的矩形图像窗口，下面列出了滤波器的I/O方程: (3-9)如果，该估计就是无偏估计。在这种条件下，假设En=0，无偏估计的必要条件就是。整个图像滤波中的线性估计更加复杂，有两个重要的原因：第一，噪声可能不是独立同一分布，第二，更常见的是无噪图像没有被很好的模拟为恒值。如果无噪图像部

44、分服从高斯分布而且噪声也是高斯模型，那么最好的估计是著名的维纳滤波器。3.2.2 均值滤波器 均值滤波器包括算术均值滤波器、几何均值滤波器、谐波均值滤波器和逆谐波均值滤波器。令表示中心为点（x,y）尺寸为的矩形图像窗口,下面列出了各种滤波器的I/O方程：算数均值滤波器： (3-10) 几何均值滤波器： (3-11)谐波均值滤波器： (3-12)逆谐波均值滤波器： (3-13)算术均值滤波器简单地平滑了一幅图像的局部变化，在模糊了结果的同时减少了噪声。几何均值滤波器所达到的平滑度可以与算法均值滤波器相比但在滤波过程中会丢失更少的图像细节。谐波均值滤波器善于处理高斯噪声，它对于正脉冲(即盐点)噪声

45、效果比较好，但是不适合于负脉冲(即胡椒点)噪声。逆谐波均值滤波器适合减少或者消除脉冲噪声，当Q值为正数时，滤波器适用于消除“椒盐”噪声；当Q值为负数时，滤波器适用于消除“盐”噪声。当Q=O时，逆谐波均值滤波器蜕变为算术均值滤波器，当Q=一1时，它蜕变为谐波均值滤波器。3.2.3 顺序统计滤波器顺序统计滤波器的输出基于由滤波器包围的图像区域中像素点的排序，滤波器在任意点的输出由排序结果决定。下面列出几种常见的顺序滤波器的I/O方程：中值滤波器： (3-14)最大值滤波器： (3-15)最小值滤波器： (3-16)中点滤波器： (3-17)其中最著名的顺序统计滤波器是中值滤波器，因为它对很多随机噪

46、声都有很好的去噪能力，且在相同尺寸下比线性平滑滤波器引起的模糊更小，所以中值滤波器应用很普遍。中值滤波器对单极或双极脉冲噪声效果非常好。最大值滤波器在发现图像中的最亮点时非常有用，同时特别适用于滤除椒盐噪声；而最小滤波器在发现图像中的最暗点时非常有用，同时特别适用于滤除盐噪声。中点滤波器将顺序统计和求均值相结合，对于高斯和均匀随机分布噪声有最好的效果。3.2.4 其他滤波器 在数字图像处理领域中，通常还有一些滤波器设计方法。像空间域低通滤波器、加权中值和LUM滤波器、迭代递归结构滤波器、自适应滤波器、形态学滤波器、偏微分方程图像去噪等对某些噪声有良好的效果，这里就不再赘述。3.3 经典去噪方法

47、图像的频域去燥是对图像进行某种变换，将图像从空间域转换到频域，然后对频域中的变换系数进行处理，最后反变换将图像从频域转换到空间域来达到去噪的目的。将图像从空间域转换到变换域的方法很多，如傅立叶变换，余弦变换，小波变换等。每种变换域得到的系数都有不同的特点，合理地处理变换系数通过反变换到空间域的图像可以有效的达到去噪目的。频域低通滤波器是基于傅立叶变换的去噪方法，而对于数字化的图像，采用的是二维离散傅立叶变换，下面简单介绍二维傅立叶变换。定义二维离散傅立叶信号的傅立叶变换对为 (3-18) (3-19)其中，。频域低通滤波滤波算法是一种图像变换域处理法采用的变换方法是二维离散傅立叶变换。对于一幅

48、图，其边缘、细节和跳跃部分部分代表图像的高频分量，而大面积的背景区和缓慢变化部分则代表图像的低频分量，用频域低通滤波法去除其高频分量就呢个去除噪声，从而使图像得到平滑。利用卷积定理，得到如下式子： (3-20)式中，F(u,v)是含噪声图像的傅立叶变换,G(u,v)是平滑后图像的傅立叶变换,H(u,v)是低通滤波器的传递函数。下面介绍几种常用的低通滤波器:（1）理想低通滤波器(ILPF) 一个理想的低通滤波器的传递函数由下式表示 (3-21)其中是一个规定的肺腑的量，称为理想低通滤波器的截止频率。代表从频率平面的原点到(u,v)点的距离。即： (3-22)（2）巴特沃斯低通滤波器（BLPF)

49、巴特沃斯低通滤波器又称作最大平坦滤波器。与ILPF不同，它的通带与阻带之间没有明显的不连续性，因此其空域响应没有“振铃”现象发生，模糊程度减少，一个n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为： (3-23) (3-24) 与理想低通相比，它保留有较多的高频成分，所以对噪声的平滑效果不如理想低通滤波器。3.4 Matlab工具3.4.1 Matlab 发展历程20世纪70年代，美国新墨西哥大学计算机科学系主任Cleve Moler为了减轻学生编程的负担，用FORTRAN编写了最早的MATLAB。1984年由Little、Moler、Steve Bangert合作成立了的MathWorks公司正式把MAT

50、LAB推向市场。到20世纪90年代，MATLAB已成为国际控制界的标准计算软件。3.4.2 Matlab 简介 MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软

51、件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C+，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导

52、入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。本章小结本章主要介绍了几种经典得噪声类型以及几种常用的滤波器，并阐述了几种经典的去噪方法，并简单地介绍了MATLAB工具以及它的发展历程。第四章 小波阈值去噪及MATLAB仿真4.1 小波阈值去噪概述在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为： (4-1) （opt代表最优解） (4-2) ，为原图像，为噪声图像 (4-3) ，

53、(4-4) (4-5)由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波滤波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图4-1所示。图4-1 小波去噪的等效框图4.1.1 小波阈值去噪方法 小波阈值去噪的基本思路是：（1）先对含噪信号f(k)做小波变换，得到一组小波系数；（2）通过对进行阈值处理，得到估计系数，使得与两者的差值尽可能小；（3）利用进行小波重构，得到估计信号f(k)即为去噪后的信号。 Donoho提出了一种非常简洁的方法对小波系数进行估计。对f(k)连续做几次小波分解后，有空间分布不均匀信号s(k)各尺度上小波系数在某些特定位置有较大的值，这些点对应于原始信号s(k)的奇变位置和重要信息，而其他大部分位置的较小，对于