_信号与系统_课程四种傅里叶变换讲授方法的探讨

1、“信号与系统”课程四种傅里叶变换讲授方法的探讨安成锦，张磊，吴京（国防科技大学电子科学与工程学院，湖南长沙410073）【摘要】 傅里叶变换是“信号与系统”课程中的重要教学内容，该部分变换类型较多，公式较复杂，学生容易混淆。针对这些问题，本文利用“信号可以分解成不同频率单频信号的加权叠加”、“一个域离散，另一个域周 期”等知识点，将傅里叶变换、反变换的几种类型紧密联系在一起，从而帮助学生理解和掌握傅里叶变换， 加深对时频关系的理解。【关键词】信号与系统；傅里叶变换；连续时间信号；离散时间信号【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】2095-5065（2014）08-0026-03性系

2、统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到了广泛而普遍的应用2。因此傅里叶变 换在电子信息类专业“信号与系统”课程的教学 中尤为重要。该部分教学中，学生需要掌握的傅里叶变 换大致包括：连续时间周期信号的傅里叶级数 （CTFS）、连续时间非周期信号的傅里叶变换（ CTFT ）、离散时间周期信号的傅里叶级数 （DTFS）和离散时间非周期信号的傅里叶变换（DTFT）。根据笔者的教学体会，学生在学习过 程中，经常混淆各种傅里叶变换、反变换的计算 公式，搞不清各种傅里叶变换的适用范围，更不 要说不同傅里叶变换间的融会贯通了。在傅里叶分析理论中有以下结论：频域上，信号可以看成不同频率单频信号的加权叠加

3、3；信号在一个域（时域或频域）离散，则另一个 域（频域或时域）必然是周期的，反之亦然；另0引言“信号与系统”课程主要讲授三大变换方 法，即傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。其中 最重要的内容就是傅里叶变换1。在通信与控制 系统的理论研究和实际应用中，采用频域的分析 方法较之经典的时域方法有许多突出的优点。傅 里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制 领域中，而且在力学、光学、量子物理和各种线收稿日期：2014-1-24作者简介：安成锦（1982），女，河南民权人，讲师，主 要从事信号处理的教学科研工作； 张磊（1981），男，山东东营人，副教授，研究方向为空 间信息网络； 吴京（1964），

4、女，安徽合肥人，教授，主要从事信号处 理的教学科研工作。 基金项目：国家自然科学基金项目（项目编号：61101073）。2627专业与课程建设2014年8月刊 Major Construction & Course Construction 一方面，若信号在一个域（时域或频域）连续，则另一个域（频域或时域）必然是非周期的，反 之亦然。可以利用以上结论，把握各种傅里叶变 换间的区别与联系，理解大量数学公式的物理含 义和对称之美。连续时间周期信号的傅里叶级数是学习其他类型傅里叶变换的基础，需要保证学生理解该变 换的推导过程及公式蕴含的物理意义。2连续时间非周期信号的傅里叶 变换1连续时间周

5、期信号的傅里叶级数当 T ®¥ 时，周期信号过渡到非周期信号。因此连续时间非周期信号傅里叶变换的推导可借 助式（5）。由于当 T ®¥ 时，一般为0，因此一般把式（5）等式右边的分母 T 乘到等式左边，根据前面的结论，时域周期对应频域离散。所以对信号进行频域分析时，周期信号多数采用 傅里叶级数的方法，非周期信号多数采用傅里叶 变换的方法。“信号与系统”教材2-6 大多从周期信号的傅里叶级数入手，引入傅里叶变换。周期为 T 的连续时间周期信号 x(t ) 在虚指数信号集5。从而，傅里叶变换（6） 上可以分解为一系列 之和7：要注意的是，时域非周期对应频域连

6、 续，所以该傅里叶变换是积分而不是求和； 由于时域上是非周期信号，要利用所有信息的 不同频率的虚指数信号（1）话，必须保证积分限是 (-¥, ¥) ；是频域 连续时间周期信号的傅里叶级数在高等数学中已经有所介绍，学生一般容易接受此分解式， 需要注意的是k的取值范围。时域连续对应频域非 周期，既然频域上是非周期信号（也可看成周期 为无穷大的周期信号），要体现其所有信息，求和限必须为 (-¥, ¥) 。至于虚指数信号的系数，可以借助虚指数 信号集是完备的正交信号集，即上的函数，故积分变量必须是时域自变量 t ；，因此傅里叶变换是频谱密度，是相对大小。与周期信

7、号不同，非周期信号的频谱是连续的，故非周期信号 x(t ) 的频谱展开式为积分的形式5（7）与式（1）相比多了系数，可以理解为由于率 f，此举是为了保证将积分变量换成频后，积分前面的系数为1。（2）其中为取共轭。对式（ 1 ）等式两边同 乘以 得到，并在一个周期内关于 t 进行积分， 3离散时间周期信号的傅里叶级数周期为 N 的离散信号，其基频 ，（3）所以 e jk W0 n = e j ( k + N ) W0 n ，即仅存在 N 个独立的谐波。故连续、离散时间周期信号的傅里叶级数的区别在于求和区间从 (-¥, ¥) 变成了在一个周期N 内5，代入式（2）得到，（4）式

8、（4）中，积分一般取对称区间，即åke jk W0 nx(n) =X（8）k =< N >（5）27工业和信息化教育 Industry and Information Technology Education 2014年8月刊也可以从时域离散周期对应频域离散周期来理解。正因为频域上是周期信号，故一个完整的 谐波周期即可表示为 x(n) ，所以求和区间有了上述改变。比较式（1）、（7）、（8）、（11）对应的傅里叶变换和式（5）、（6）、（9）、（10）对 应的傅里叶反变换可以发现： 傅里叶反变换是将信号分解成不同频率单 频信号的加权叠加，式（1）、（7）、（8）、（11）

9、中虚指数信号的指数部分符号均为正，并 都是频域自变量的积分或求和； 傅里叶变换借助傅里叶反变换乘以虚指数 信号的共轭推导出来，式（5）、（6）、（9）、（10）中虚指数信号的指数部分符号均为负，并 都是时域自变量的积分或求和； 当积分变量是角频率时，前面有系数1/2 ； 一个域周期时，其到另一个域上的变换只取 一个周期的信息即可；否则，区间要取 (-¥, ¥) ； 计算周期信号的FS时，积分或求和后都要 除以周期；而非周期信号的FT则不用。根据式（5）推导时，要注意时域上从连续变成了离散，故积分要变成求和，即1ån =< N >x(n)e- jk W

10、nX =（9）0kN4离散时间非周期信号的傅里叶变换离散时间非周期信号的傅里叶变换可以借 助连续时间非周期信号的傅里叶变换推导。由 于时域上都是非周期的，所以两个傅里叶变换 没有大的区别，只是连续上的积分变成了离散上 的求和：¥X (W) = å x(n)e- jWn 6结语（10）n =-¥时域离散对应频域周期，与连续时间傅里叶 反变换相比，离散时间傅里叶反变换一定要注意根据笔者的教学体会，在傅里叶变换的推导过程中牢牢把握不同傅里叶变换的时域、频域特点，将 不同傅里叶变换、反变换关联起来，有助于学生加 深对傅里叶变换过程的理解，取得了较好的效果。一个完整的频域周

11、期2式（7）相比5，即可表示所有信息，故与（11）郑君里教与写的记忆信号与系统评注M北京：高等教育出版社，2005 郑君里 ，等 信号与系统上册 （第 2 版 ）M 北 京：高等教育出版社，2000 吴京，等信号与系统分析（第二版）M长沙： 国防科技大学出版社，2004 陈后金，等信号与系统（第2版）M北京：清 华大学出版社，北京交通大学出版社，2005 吴京，等信号分析与处理M北京：电子工业出 版社，2008Alan VOppenheim信号与系统（第二版）M 刘树棠，译西安：西安交通大学出版社，1998 Simon Haykin，等信号与系统（第二版）M林 秩盛，等译北京：电子工业出版社，200415总结2通过前面的推导可以看出，CTFS最基础；CTFT的续化； DTFS 的，反变换是CTFS的频域连求解是 CTFS 的时域