东北三省三校2017届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题

1、师大附中、东北师大附中、省实验中学2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷第I卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的x |1.x1.已知集合Ax|-xA. (1,2)B.(1,2C.1.2D.1,2)2 .设复数z满足（1i)zA.1 iB.C.D.r3 .设向量a (1,2)(m, m1),a/b,则实数m的值为（）A. 1B.D.34 .双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的31 -,则此双曲线的离心率是（4A. 2C. 3D. 45.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（恻（左）

2、视图B. 2C. 3D. 46.检测600个某产品的质量（单位:g）,得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5105.5之间的产品数为150,则质量在115.5120.5的长方形高度为（）1230DW7.已知数列an是等差数列，满足ai2a2S5,下列结论中错误的是（A.S90B.S5最小C.S3S6D.a508.函数f(x)sin(x0,一）在区间（一,一）是增函数，则（242B.f（x）的周期为一2C.的最大值为4D.9.如图是用二分法求方程20近似解的算法的程序框图，则两处应依次填入()B.bm,amC

3、.af(m),bf(m)D.bf(m),af(m)10.过抛物线y22Px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A'B右Soaf4SOBF,则直线AB的斜率为()B.511.已知四面体A BCD中,5ABC和3C. 一4BCD都是边长为4D. 一36的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是A. 60B.30C.20D. 15f'(x),满足 f'(x) f(x),且 f(0) 212.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为则不等式f(x)2ex0的解集为()A.(2,)B.(0,)C.(1,)D.(4,)第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，

4、将答案填在答题纸上)xy40,13 .已知实数x,y满足x3y60,则zx2y的最大值为.2x3y120,13214 .右0a2,0b2,则函数f(x)-xTax2bx3存在极值的概率3为.15 .若a0,b0,且2ab1,且2JOb4a2b2的最大值是.16 .各项均为正数的数列an和斗满足：an,bn,an1成等差数列，bn,an1,bn1成等比数列，且a11,a23,则数列an的通项公式为三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知在ABC中角A ，B, C的对边分别为a, b, c且ac a bsin A sin Bsin(A B)(I)求

5、角B的值;(n)若ABC的外接圆半径为1,求ABC面积S的最大值.18 .某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示:支持保留不支持30岁以下90012028030岁以上(含30岁)300260140(I)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研(不同态度的群体中亦按年龄分层抽样)，已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；(n)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中

6、任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率.19 .已知正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA2,点D为AC的中点，点E为AA上.(I)当AA4AE时，求证：DE平面BDC1;(n)当AAi2AE时，求三棱锥CiEBD的体积.x2y2.一120 .已知椭圆C：-y'1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,其离心率e,点a2b22P为椭圆上的一个动点，PAB面积的最大值为2J3.(I)求椭圆的标准方程；(n)动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M,N两点，试问在x轴上是否存uuurLuur在定点D,使得DMDN为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由.21 .

7、已知函数f(x)2lnxx2ax2(aR).(I)讨论函数f(x)的单调性；(n)若存在x0(0,1,使得对任意的a2,0),不等式2a.f(xo)a3a22me(a1)(其中e是自然对数的底数)都成立，数m的取值围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 .选彳4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1：yJ3x,曲线C2的参数方程是x百cos(y2sin为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求Ci的极坐标方程和C2的普通方程；(n)把Ci绕坐标原点沿顺时针方向旋转一得到直线C3,C3与C2交于A,B两点，求3|AB

8、|.23 .选彳4-5:不等式选讲已知a0,b0,函数f(x)|xa|xb|的最小值为4.(i)求ab的值；,、，、121.2(n)求一a一b的最小值.49师大附中、东北师大附中、省实验中学2017年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷答案、选择题1-5: ACAAB二、填空题6-10:DBCAD 11、12： AB13.814.-15.4三、解答题17.解：(I) Q A B C16.an由正弦定理得即 b2 a2 c2 ac ，sin( A B) sin C ,a c sin A sinBa b sinC1_结合余弦定理，有-cosB -,B (0, ), . B 23(n) 2R 2 一，

9、解得 b J3,sin 一3所以，b2 3 a2 c2 2accos 2ac ac ac (-当且仅当 a c 时取等)， 3所以S1.3.3一acsin - .23418.解：(I.)设在 支持”的群体中抽取n个人,，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人.由题意r120 26019900 3003，得 n 60 .贝U x n 45 人.n4所以在 支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取.(n )设所选的人中，有 m人年龄在30岁以下.则 一侬一 2 m , m 4. 280 140 36即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取 2人.分别记作 A,A2,A3, A4,B1,B2.则从

10、中任取2人的所有基本事件为(A1,A2),(A,AJ,(A,A4),(A,B1),(A1,B2)(A2, A3),(A2，A/,(A2,B1),(4,B2)（%A）,（A3，Bi）,（A，B）,（A4，Bi）,（A4，B2）,（Bi，B2）,共15个其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个.分别是（A,Bi）,（A,B2）（A2，Bi）,（A2,B3（A，Bi）,（A3，B2）,（A4，Bi）,（A4，bj,（Bi,B2）.93所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为3.15519.（I）证明：QABC为正三角形，点D为AC的中点，BDAC,BD面ACC1A1,从而BDDE

11、.连接EC1,QAA4AE,ABAA12,.EA1,ED,EC1122-,22:42C1D5,222_则EC1EDC1D,.EDC1D,又GDIBDD,.DE平面BDC1.qAA2Ae,，ED女,GDGE"，Scdef,由（I）知BD面ACC1A,所以BD为三棱锥BC1DE的高，1、,31 2ab ab 2向，且 a2 b2 c2. 2所'VC1EBDVBC1DE3sC1DEBdnC1_、20.解：（I）由题息，e,（SPAB）maxa2解得a2,b,3,c1.22椭圆的标准方程为1.43uuuuruuur（n）假设存在定点D（m,0）,使得向量DMDN为定值n.ty 1 .

12、联立当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点Fi（1,0）,设直线l的方程为x22L匕10.43，消去x,得（3t24）y26ty9xty16t9仅M（。y。N（x2,y2）,则%V222314314uurDMuuur(Xm,y1),DN(x?m,y?)uurDMLLULTDN(x1m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)(ty11)(ty21)m(t(yiy)2)2myy2(t21)yiy2(m1)t(yi1)2-29(t1)3t24-26t(m1)3t24_2一/八2(6m15)t9(m1)23t24(m1)2-uuurUULT若DMDN为定值n,则6m159135当直线l的斜率为0时,A

13、(11uuur2,0),B(2,0),D(?0),DM8UULTDN645278-8135立，亦64符合题意;，存在点D(11,0),使得向量8DMDN为定值n1356421.解:f(x)2x2x22xax2,a(x令h(x)2x2ax2,a216.当a0时,ax0,f(x)函数f(x)在(0,)上单调递增;当0a4时,a2160,所以h(x)0,函数f(x)在(0,)上单调递增;.当a4时,令h(x)0,得x1a21640?2a216°，f(x)(0,x1)U(x2,f(x)0x(x1,x2).所以,f(x)在0,x1和x2,+上单调递增，在(X,x2)单调递减.综上,1o当a1时

14、，函数f(x)在(0,)上单调递增;2o当a1时,f(x)在0,x1和x2,上单调递增，在(x，x2)单调递减.(注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性,不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上.扣1分)(n)由(I)知，a2,0)时，函数f(x)在区间(0,1上单调递增.，所以当x(0,1时,函数f(x)的最大值是f(1)3a,对任意的a2,0),都存在X0(0,1,使得不等式2mea(a1)f(%)a23a2成立,a_2_即对任息的a2,0),2me(a1)f(&)maxa3a2都成立，0都成立,即对任意的a2,0),不等式2mea(a1)a24a1记 h

15、( a)2mea(a 1) a2 4a 1 ,贝U h (a)2mea(a 2) 2a 4 2(a 2)( mea 1).Qa2,0),ea,1),且a20.e当m1时，mea10,h(a)0,即a2,0)时，h(a)单调递减.工11h(a)0,只需h(0)0,解得m-,/.m-,1.22当m1时，令h(a)0得a2或aInm,因为a2,0),所以2(a2)0.(1)当1me2时，Inm2,0),当a(2,Inm)时，h'(a)0；当a(Inm,0)时，h'(a)0,1-h(a)minh(Inm)In2m2lnm30,一一1ac斛得m(-,e)，.二m(1,e).e21aa(J当me时，因为2a0,所以下e1,所以me1,所以h'(a)0,e则h(a)在2,0)上单调递增，得h(2)52me20,即m2-，.二me2,5e-).22一八一一15e综上，m的取值围是1,5).22R)22.解：(I)直线G：sinV3cos曲线C2的普通方程为(xM)2(y2)21.(n)C3：(R),即y73x.3圆C2的圆心到直线C3的距离d所以|AB2,121V3.23.解：