第四章 方程与不等式 第四讲

1、第四章第四章 方程与不等式方程与不等式 第四讲解不等式解不等式等式等式 、不等式、不等式 恒等式，绝对等式恒等式，绝对等式 证明证明n等式等式 条件等式条件等式 解解 恒不等式，绝对不等式恒不等式，绝对不等式 证证明明n不等式不等式 条件不等式条件不等式 解解对绝对不等式的认同对绝对不等式的认同设设a、b、c、d、m都是正数，都是正数，n对不等式对不等式 的认同的认同可看作是有可看作是有两杯甜度不一样的糖水倒在一起，两杯甜度不一样的糖水倒在一起，甜度会怎样变化？甜度会怎样变化？n对不等式对不等式 的认同的认同可看作是向糖水中再放糖可看作是向糖水中再放糖 m，糖水甜度会怎样，糖水甜度会怎样变化？

2、变化？,acaaccbdbbdd则,bbmabaam则经常从长度、经常从长度、面积、体积、面积、体积、浓度等角度来浓度等角度来考虑考虑345456对绝对不等式的认同对绝对不等式的认同n对不等式对不等式 的认同的认同2222abcdacbdsin,cos,aba ba ba babab 1),(),(则令dcba条件不等式解的几何意义条件不等式解的几何意义在讲究效益的社会在讲究效益的社会,何时取得最大利润、何时支付最何时取得最大利润、何时支付最小成本这些问题是极其常见的，这使得中学不等式小成本这些问题是极其常见的，这使得中学不等式部分的学习与线性规划之间的关系密切了。线性规部分的学习与线性规划之

3、间的关系密切了。线性规划问题是在一组线性不等式约束条件下求极大（小）划问题是在一组线性不等式约束条件下求极大（小）值。值。n在平面上标出在平面上标出 的解集的解集242xyxy8642-2-4-6-8-10-5510n定理：若一个线性表达式定理：若一个线性表达式p=ax+by其自变其自变量的允许值范围是一个凸多边形区域，则量的允许值范围是一个凸多边形区域，则p的最大值和最小值（如果有的话）必在该的最大值和最小值（如果有的话）必在该区域的顶点上取到。区域的顶点上取到。n设设p=3x+2y，（，（x,y）的取值范围）的取值范围是右图中的黄色部分，求是右图中的黄色部分，求p的最值。的最值。从图上可以

4、看到，在每一条从图上可以看到，在每一条3x+2y=k的斜的斜线上，每一点的线上，每一点的p值都等于值都等于k，随着，随着k的增的增大，得到一系列平行的斜线，位于上方的大，得到一系列平行的斜线，位于上方的斜线其上点的斜线其上点的p值大于该斜线下方的斜线值大于该斜线下方的斜线其上点的其上点的p值，在（值，在（6，3）处）处p取得最大值取得最大值24，在（，在（0，0）处）处p取得最小值取得最小值0。一家生产电视机的小公司，每生产一台彩电盈利一家生产电视机的小公司，每生产一台彩电盈利60元，一台黑元，一台黑白机盈利白机盈利40元。生产一台彩电需要用元。生产一台彩电需要用A机器机器1小时、小时、B机器

5、机器1小小时、时、C机器机器4小时；生产一台黑白机需要用小时；生产一台黑白机需要用A机器机器2小时、小时、B机机器器1小时、小时、C机器机器1小时。假设一天中小时。假设一天中A、B、C三台机器分别最三台机器分别最多能工作多能工作16、9和和24小时，那么每天应生产多少彩电多少黑白小时，那么每天应生产多少彩电多少黑白机才能使每天的盈利达到最大呢？机才能使每天的盈利达到最大呢？ 解：解： 设每天生产设每天生产x台彩电，台彩电，y台黑白机，则台黑白机，则 P(0,0)=0, P(0,8)=320, P(2,7)=400, P(5,4)=460, P(6,0)=360所以，每天生产所以，每天生产5台彩

6、电台彩电4台黑白机能使每天的盈利台黑白机能使每天的盈利达到最大。达到最大。p=60 x+40y002169424xyxyxyxy某人每天需要补充某人每天需要补充4毫克的维生素毫克的维生素A，11毫克的维生素毫克的维生素B和和100毫克的维生素毫克的维生素C。他来到药房，看到有两种牌子。他来到药房，看到有两种牌子的药片出售。每种牌子每片药片的含量和售价如下：的药片出售。每种牌子每片药片的含量和售价如下： A牌牌B牌牌每天需要量每天需要量维生素维生素A2毫克毫克1毫克毫克4毫克毫克维生素维生素B3毫克毫克4毫克毫克11毫克毫克维生素维生素C25毫克毫克50毫克毫克100毫克毫克每片售价每片售价6分

7、分8分分 为了保证摄入所需补充的维生素，为了保证摄入所需补充的维生素，他每天应服用每种牌子的药片各他每天应服用每种牌子的药片各几片能使总的花费最少？几片能使总的花费最少？-22468654321F: (1.00, 2.00)D: (0.00, 4.00)B: (4.00, 0.00)A: (3.00, 0.50)E（1 1，2 2）或者（）或者（3 3，0.50.5），取（），取（1 1，2 2）不等式的基本性质不等式的基本性质 n在不等式的基本性质中，一些只能用来证明在不等式的基本性质中，一些只能用来证明不等式，而不能用来解不等式。如，不等式，而不能用来解不等式。如，因为因为x3, x5,

8、所以所以 2x8, 得得x4.虽然从运用不等式性质的角度来说，上面推虽然从运用不等式性质的角度来说，上面推理每一步都可行，但是这样求出的解显然是理每一步都可行，但是这样求出的解显然是不正确的。这是因为，证明不等式（或等式）不正确的。这是因为，证明不等式（或等式）只要求每一步的结论须是前提的必要条件，只要求每一步的结论须是前提的必要条件，但解不等式（方程）要求尽量做到同解变形，但解不等式（方程）要求尽量做到同解变形，即每一步的结论与前提的关系尽可能是充分即每一步的结论与前提的关系尽可能是充分必要条件。必要条件。 n已知：已知： ，求，求4a-2b的取值范围。的取值范围。 错解：错解： （1） （

9、2） （1）（）（2） 32a6 64a12 (3)由（由（2）得）得 2a+b-1 (4)(1)+(4) 02b3 -3-2b0 (5) (3)+(5) 34a-2b12. 24,ab12ab24,ab12ab正确答案是正确答案是54a-2b1054a-2b1010241, 352421,23),( 3)(24取最大值时，当，取最小值时，当法一：bababababababa法二： 写出一方程，其解的数目是无限的写出一方程，其解的数目是无限的 写出解集为写出解集为2x3的不等式或不等式组。的不等式或不等式组。 对于命题对于命题“a、b是实数，若是实数，若ab,则则a2b2”，请，请分别修改结论

10、但保持条件和修改条件保持结论使之分别修改结论但保持条件和修改条件保持结论使之成为真命题。成为真命题。 设设，是方程是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，的两个实根，问当问当m为何值时，为何值时，2+2有最小值。有最小值。m=-1n一家旅社有一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的观察，旅社间相同的客房，经过一段时间的观察，旅社经理发现在客房定价和住房率之间有如下的关系，请就此信经理发现在客房定价和住房率之间有如下的关系，请就此信息为旅社经理决定一个房价，使其能够盈利最多。息为旅社经理决定一个房价，使其能够盈利最多。n如果只考虑这四种定价，计算后便可知定价如果只考虑这四种定价，计算后便

11、可知定价160元时，盈利元时，盈利最多。但是，房价可以由经理自己定，不必局限于这四档，最多。但是，房价可以由经理自己定，不必局限于这四档，所以，所以，160元并不一定是盈利最多的房价。从经理积累的数元并不一定是盈利最多的房价。从经理积累的数据来看，住房率有这样一种变化程式：房价每降低据来看，住房率有这样一种变化程式：房价每降低20元，住元，住房率会提高房率会提高10。若这是一种连续的变化，可以设法求出盈。若这是一种连续的变化，可以设法求出盈利更大的房价。利更大的房价。 每 间 房 的每 间 房 的定价定价200元元180元元160元元140元元住房率住房率65758595 每降2元住房率提高1

12、%，165元解不等式的一些常用方法解不等式的一些常用方法 解不等式的主要工作在于同解变形，将解复杂的不解不等式的主要工作在于同解变形，将解复杂的不等式问题转化为解与之等价的但比较简单的不等式等式问题转化为解与之等价的但比较简单的不等式问题。问题。常用的同解变形有：常用的同解变形有：1若在若在f(x)g(x)的允许值集中的允许值集中h(x)有意义，则有意义，则 加加f(x)g(x)与与f(x)h(x)g(x)+h(x) 同解。同解。2在在f(x)g(x)的允许值集中，若的允许值集中，若h(x)0,则则 乘乘若若h(x)0,则则f(x)g(x)与与f(x)h(x)g(x)h(x) 同解；同解；若若

13、h(x)g(x)与与f(x)h(x)0同解于同解于 f(x)0, f(x)0; g(x)0.f(x) g(x)0, f(x)0, g(x)0.4f(x) / g(x)0 与与 f(x)g(x)0同解；同解；f(x)/g(x)0 与与 f(x)g(x)1，则，则|f(x)|g(x)|与与| f(x)|n|g(x)|n同解同解.积转换积转换商转换商转换绝对值乘方绝对值乘方解不等式：解不等式：1实系数的整式不等式实系数的整式不等式先求出先求出f(x)0的所有实数根，它们将的所有实数根，它们将x轴分为若轴分为若干个区间，确定在每个区间中干个区间，确定在每个区间中f(x)的正负号，求出的正负号，求出解集

14、。解集。 例如，解整式不等式例如，解整式不等式 x3+2x2+11x-120 2分式不等式分式不等式转化为整式不等式来解。例如，解分式不等式转化为整式不等式来解。例如，解分式不等式 (x-5)/( x2-2x-3)3. 法1 以2和3为断点，分3个区间分别脱去绝对值符号.法2 两边平方，只剩下一个绝对值符号，再脱去.X24无理不等式无理不等式两边同时乘方转化为有理不等式，但必须注意它两边同时乘方转化为有理不等式，但必须注意它的允许值集和两边值的符号，有时也作三角代换，的允许值集和两边值的符号，有时也作三角代换，或考虑结合图像求解。例如，解无理不等式或考虑结合图像求解。例如，解无理不等式2221011tttt解3 令 ,则t=y/x2211ttt221,11txytt33t 22221,0,1124xyxxy 解1 转化为 分t,=,0讨论解2 令t=tg(-0.5pi0arccos3arccos1,0arccos3arccos,1cos3xorxxxx 5超越不等式超越不等式（2）