1.2多元函数的极限.ppt课件

1、6-2 多元函数的极限多元函数的极限1. 二元函数的极限概念二元函数的极限概念定义定义1 设设 在点在点 的某个空心邻的某个空心邻域内有定义域内有定义,若有一常数若有一常数A,对任意给定的正数对任意给定的正数都存在正数都存在正数 ,使得当使得当,z f xy00,xy22000 xxyy,f x yA时，就有时，就有, x y00,xy,f x y则称趋于则称趋于 时以为极限时以为极限,),(lim),(),(00Ayxfyxyx记作.),(lim00Ayxfyyxx或者. P),(,),(000为而动点为记定点yxPyx述：叙述可以改用邻域的叙上述不等式的.A邻域内的则落在)(PP, 0,

2、00Pf的空心邻域内时，点在使得当换句话说 )(00PPUf).(AU2020)()(0yyxx).,(),(,|,|0000yxyxyyxx且则下面定义则下面定义2 定义定义1定义定义2 设设 在点在点 的某个空心邻的某个空心邻域内有定义域内有定义,若有一常数若有一常数A,对任意给定的对任意给定的都存在一个都存在一个 ,使得当使得当,z f xy00,xy00,f x yA时，就有时，就有0000,xxyyx yxy 且 证证Ayxfyyxx),(lim:200定义0,则0,使得当定义定义2定义定义1),(),(|0000yxyxyyxx且，,|),(| Ayxf时，中一定满足定义这样的10

3、的要求， 因为当2020)()(yyxx时，必有.|00yyxx与从而推出，当时，2020)()(0yyxx.|),(| Ayxf有按照这表明函数),(yxfz .A1为极限也以定义定义定义1定义定义2：Ayxfyyxx),(lim:100定义0,则0,使得当时，就有，取2),(),(|0000yxyxyyxx且，这时，当.)()(02020yyxx.|),(| Ayxf.|),(| Ayxf2020)()(0yyxx时，就有从而推出按照这表明函数),(yxfz .A2为极限也以定义例例1时，证明当设)0 , 3(),(.sin),(2yxyxyxf. 9,的极限为yxf证证因为|9sin|9

4、),(|2yxyxf|0sin|9|2yx|3|3|yxx，3x限制在所以不妨将x的范围内，1|3|x. 42 x即. |3|7yx),8min(1,0,取所以时，则当|0| ,|3|yx.8187|9),(|yxf例例2 设设,sin),(22yxyxyxf求证.0),(lim)0, 0(),(yxfyx证证),(21|sin|22yxxyyx故. 0),(lim)0, 0(),(yxfyx,0 0),( yxf,)0()0(022时当yx,2取总有.2221|0),(|yxyxf 必须注意 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时, 函数都无限接近于A . (2)如果当P以两种不同

5、方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论 函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(0 0)有无极限？ 例例 3 问函数问函数22|),(yxxyxf?)0 , 0(),(时是否有极限当yx解解 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,则有222000|lim),(limxkxxyxfxkxyx.112kk 值不同极限不同值不同极限不同 !),(yxf故在 (0,0) 点极限不存在 . 2. 二元函数的极限运算法则与基本性质二元函数的极限运算法则与基本性质定理定理1 设设 与与 在点在点 的一个的一个空心邻域

6、内有定义空心邻域内有定义, 假设假设 ,f x y,g x y00,x y0000,lim,lim,x yx yx yx yf x yAg x yB 那那么么 00,1lim,;x yxyf x yg x yAB 00,2lim,;x yxyfx yg x yA B 30B00,lim.,x yxyf x yAg x yB 当时当时定理定理,f x y0000,lim,lim,.x yxyx yxyf x yg x y定理定理(夹逼定理夹逼定理),f x yg x y设设 与与 在点在点 的一个的一个空心邻域内有定义空心邻域内有定义, 且且并且当并且当 , 及及分别以及为极限，那么即分别以及为

7、极限，那么即,g x y00,x y00,x yx y,g x yABAB,f x y,f x y设设 与与 在点在点 的一个的一个空心邻域内有定义空心邻域内有定义, 且且,g x y00,x y,.f x yh x yg x y0000,lim,lim,x yxyx yxyf x yg x yA假假设设00,lim,.x yxyh x yA那那么么 定理定理4 (复合函数的极限定理复合函数的极限定理) 设设 及及 在点在点 的的一个空心邻域内有定义一个空心邻域内有定义, 且有极限且有极限:,xg u v,yh u v000000,lim,lim,.u vu vu vu vxg u vyh u

8、 v, 00,u v又设又设 在点在点 的一个空心邻域内有定义的一个空心邻域内有定义,且使得当且使得当 在在 的空心邻域内时的空心邻域内时,函数函数 有定义有定义;并且当并且当 时时, 函数函数 的极限为的极限为,f x y00,x y, u v00,uv ,f g u v h u v00,x yx y,f x y. A则当则当 时时,复合函数复合函数也有极限也有极限,并且等于并且等于00,u vuv,fg u vh u v.A0000,lim,lim,.u vuvx yxyfg u vh u vfx y定理定理5 设设 是定义在是定义在 点的一个空心邻域点的一个空心邻域内的一元函数内的一元函

9、数,且有极限且有极限 zf u0u 0lim.uuf uA又设又设 是定义在是定义在 点的一个空心点的一个空心邻域内的二元函数邻域内的二元函数,且且,ug x y00,xy000,lim,x yxyg x yu那那么么00,lim,.x yxyf g x yA.)1 (lim22122)0, 0(),(eyxyxyx例例4 证明证明证证,u22yx 令0.u0, 0时，当yx那么22122)0, 0(),()1 (limyxyxyxuuu10)1 (lim. e解解令,)(2sin),(2222vuvuvux,sin),(22vuvuvuy再由定理5及例2可知, 2),(lim)0, 0(),

10、(vuxvu, 0),(lim)0, 0(),(vuyvu那么，由定理4我们得到22sin2222)0, 0(),()(2sin(limvuvuvuvuvuyyxx)0, 2(),(lim02. 1例例 5 求极限求极限?)(2sin(lim22sin2222)0, 0(),(vuvuvuvuvu3. 累次极限与全面极限累次极限与全面极限 0lim,;xxf x yA y 000lim lim,limyyxxyyfx yA y累次极限累次极限 000limlim,limxxyyxxfx yB x 0lim,.yyf x yB x例例),sin(),(yxxyxf),sin(),(limyyxf

11、x).1sin()sin(lim),(limlim11yyxfyxy全面极限全面极限累次极限与全面极限是两个完全不同的概念累次极限与全面极限是两个完全不同的概念),(lim),(),(00yxfyxyx例例 6 函数函数22),(yxxyyxf2200limlimyxxyxy0lim0y, 02200limlimyxxyyx, 02200limyxxykxyx但22220limxkxkxx.12kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !),(yxf故在 (0,0) 点极限不存在 .若两个累次极限存在, 但不相等：),(limlim),(limlimyxfyxfaxbybyax. ),( lim 不存在则二重极限yxbyax例如，函数例如，函数00; 0,1sin)(),(xxxyxyxfxyxyx1sin)(lim)0, 0(),(全面极限；, 0累次极限：xyxxy1sin)(limlim00)1sinlim1sinlimlim000