第四章 线性方程组

1、2022-2-131第四章第四章 线线 性方程组性方程组将方程组得解与空间联系起来；将方程组得解与空间联系起来；进一步剖析方程组解集的结构。进一步剖析方程组解集的结构。2022-2-1324.1 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组对于线性方程组（未知量的个数与方程的对于线性方程组（未知量的个数与方程的个数相等）个数相等）nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121112022-2-133 a.)如果其系数行列式不等于零，可由利用如果其系数行列式不等于零，可由利用克拉默法则来求解。此时只有唯一解。克拉默法则来求解。此时只有唯一解。那么就

2、没有必要去考虑解空间。那么就没有必要去考虑解空间。 b.)否则，有如下两种情况：否则，有如下两种情况：2022-2-134（1）系数行列式等于零；）系数行列式等于零；（2）线性方程组的未知量个数与方程的个）线性方程组的未知量个数与方程的个 数不相等；数不相等；方程组有无穷多解。我们想要把这些解分方程组有无穷多解。我们想要把这些解分分类。分类。 下面讨论一般的线性方程组的求解问题。下面讨论一般的线性方程组的求解问题。首先讨论奇次的线性方程组的情况首先讨论奇次的线性方程组的情况2022-2-135 设有线性方程（它有如下三种表达方式）设有线性方程（它有如下三种表达方式） (4.1)00022112

3、2221211212111nnmmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa2022-2-136引引 进进 矩矩 阵阵则齐次线性方程组可以写成则齐次线性方程组可以写成 (4.2) 其中其中0代表代表m个分量都为零的列向量或列矩个分量都为零的列向量或列矩阵。阵。nmmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxx210Ax2022-2-137 若把若把 看作由列向量组成的矩阵，设看作由列向量组成的矩阵，设则方程组则方程组 可写成可写成 （4.3） A),(21nA0Ax02211nnxxx2022-2-138 上面给出了齐次线性方程组的三种不同形上面给出了齐次线性方程组的三种不

4、同形式，它们表示同一个方程。可根据需要进行式，它们表示同一个方程。可根据需要进行选择使用。选择使用。 2022-2-139 齐次线性方程组永远有解，零解齐次线性方程组永远有解，零解 就是它的一个解。就是它的一个解。 若若 为方程组的解，为方程组的解，则称则称 021nxxx1212111,nnxxx12111nx2022-2-1310为该方程组的为该方程组的解向量解向量。以解向量的形式表示。以解向量的形式表示线性方程组的解线性方程组的解 更方便。更方便。2022-2-1311一、一、 齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质 性质性质1 如果如果 都是齐次线性方程组的解都是齐次线性方程组的

5、解向量，则向量，则 也是该方程组的解向量。也是该方程组的解向量。证证 因因 所以所以 为为 的解向量。的解向量。 证毕。证毕。21,210)(2121AAA210Ax2022-2-1312 性质性质2 如如 果果 是是 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 解解 向向 量，量， 则则 也是也是 该该 方方 程程 组组 的的 解解 向向 量，其量，其 中中 为为 任任 意意 常常 数数 。0Axkk证证 明明 ： 因因 满满 足足 方方 程程从从 而而 即即 也也 是是 解解 向向 量量 。证毕。证毕。0A0)(kAkAk2022-2-1313n叠加原理叠加原理 ： 设设 是齐次线性方

6、程组是齐次线性方程组 的解，则的解，则 也是该方程也是该方程组的解（其中组的解（其中 为任意常数）。为任意常数）。n记记 为为 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 全全 体体 解解 的的 集集 合。由合。由 性性 质质 1和和 2 知知 道道 可可 看看 成成 一一 个个 向向 量量 空空 间，称间，称 为为 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 解解 空空 间间。l,210Axllkkk2211lkkk,21SSS2022-2-1314二、齐次线性方程组的基础解系二、齐次线性方程组的基础解系定定 义义 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 解解 空空 间间 的

7、的 一一 个基，称个基，称 为为 此此 方方 程程 组组 的的 一一 个个 基基 础础 解解 系系。由由 此此 可可 知，知， 如如 果果 向向 量量 是是 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 一一 个个 基基 础础 解解 系，系， 则则 它它 一一 定定 要要 满满 足足 以以 下下 条条 件件(有哪些？有哪些？)0Axl,210Ax2022-2-13151) 是是 方方 程程 组组 的的 线线 性性 无无 关关 解解 向向 量。量。2) 方方 程程 组组 的的 任任 一一 个个 解解 均均 可可 由由 线线 性性 表表 示，即示，即 0Axl,21llkkkx2211l,212

8、022-2-1316三、齐三、齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 求求 解解 如如 果果 能能 够够 找找 到到 方方 程程 组组 的的 一一 个个 基基 础础 解解 系系 ，则，则 它它 的的 任任 一一 个个 解解 都都 可可 以以 表表 示示 为为 其其 中中 为为 任任 意意 常常 数，数， 称称 为为 方方 程程 组组 的的 通通 解解。0Axl,21llkkk2211lkkk,21llkkkx22110Ax2022-2-1317 也就是说，要求解方程组，只要知道其基础解也就是说，要求解方程组，只要知道其基础解系，所有的解，连同其构造，就一清二楚了。系，所有的解，连同其构造

9、，就一清二楚了。那么如何求出基础解系？那么如何求出基础解系？2022-2-1318 设设 方方 程程 组组 的的 系系 数数 矩矩 阵阵 为为 矩矩 阵阵 的的 秩秩 ， 则则 。 不不 妨妨 假假 设设 矩矩 阵阵 前前 列列 线线 性性 无无 关。对矩阵关。对矩阵 进行初等行变换把它化为行最进行初等行变换把它化为行最简形矩阵简形矩阵 。 0AxnmmmnnaaaaaaaaaA212222111211ArAr)(rmrn,ArA2022-2-13190000000000100010001,1, 221, 111rnrrrnrnbbbbbbB2022-2-1320此此 时时 齐齐 次次 线线

10、性性 方方 程程 组组 与与 以以 为为 系系 数数 矩矩 阵阵 的的 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 （4.4）同同 解。解。 任任 给给 一组值，则一组值，则唯一确唯一确定定 的一组值，于是得到方程组的一组值，于是得到方程组(4.4)的一个解。的一个解。0AxBnrnrrrrrrnrnrrnrnrrxbxbxbxxbxbxbxxbxbxbx,2211, 22221212, 12121111nrrxxx,21rxxx,212022-2-1321令令 取下列取下列 组数：组数： 由方程组由方程组(4.4)依次可得依次可得从而得到方程组从而得到方程组(4.1)的的 个解向量。个解向量。

11、rnrrxxx,21rn100,010,00121nrrxxxrnrrnrnrrrbbbbbbbbbxxx, 2, 1222121211121,rn2022-2-1322 下证下证 构成方程组构成方程组(4.1)的一个基的一个基础解系。（证明两点）础解系。（证明两点）rn ,21100,010,001,2,1222122121111rnrrnrnrnrrbbbbbbbbb2022-2-13231) 因为因为 的后的后 个分量组成的向个分量组成的向量构成的向量组线性无关，从而可知量构成的向量组线性无关，从而可知 线性无关线性无关。2) (要证要证线性表示线性表示)设设 为为方程组方程组(4.1)

12、的任意一组解，记为的任意一组解，记为 ，则，则rn,21rnrn ,21nnxxx,22112022-2-1324 考虑向量考虑向量由解向量的性质由解向量的性质1和和2知，知， 是是 的解。的解。（注意如果到（注意如果到 和和 相同，那就证明了线性表相同，那就证明了线性表示）示）n21rnnrr22110Ax2022-2-1325rnnrr2211nrrrnrnrrrrrnnrrrnnrrbbbbbbbbb21,2211, 2222211, 11221112022-2-1326 比比 较较 和和 知，它知，它 们们 的的 后后 个个 分分 量量 完完 全全 一一 样，由样，由 于于 它它 们们

13、 都都 满满 足足 方方 程程 组组（4.4)，从，从 而而 推推 知知 与与 的的 前前 个分个分 量量 也也 应应 该该 完完 全全 一一 样样（为什么？），从（为什么？），从 而而 。 这就证明了这就证明了 是是 解解 空空 间间 的的 一一 个个 基，即基，即 基基 础础 解解 系，因系，因 此此 有有rnrrn,21rnSdim2022-2-1327定定 理理 1 设设 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 的的 系系 数数 矩矩 阵阵 的秩的秩 ，则，则 方方 程程 组组 的的 基基 础础 解解 系系 中中 含含 有有 个个 解解 向向 量，或量，或 者者 说说 它它 的的 解解 空空

14、 间间 的的 维维 数数 为为 。n0AxnrAr)(rnrn综合上述分析，有如下定理：综合上述分析，有如下定理：2022-2-1328说明（说明（3点）：点）：1 1） 基基 础础 解解 系系 不不 是是 唯唯 一一 的，如的，如 果果 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 系系 数数 矩矩 阵阵 的的 秩秩 为为 ，则，则 它它 的的 任意任意 个个 线线 性性 无无 关关 的的 解解 向向 量量 均均 构构 成成 一一 个个 基基 础础 解解 系。系。 2 2）如）如 果果 ，方，方 程程 组组 只只 有有 零零 解，故解，故 不不 存存 在在 基基 础础 解解 系。系。 0A

15、xrrnnAr)(0Ax2022-2-1329说明（说明（3点）点） ：3) 3) 如如 果果 是是 方方 程程 组组 的的 一一 个个 基基 础础 解解 系，则系，则 此此 方方 程程 组组 的的 任任 一一 个个 解解 均均 可可 以以 表表 示示 为为 其其 中中 为为 任任 意意 常常 数，称数，称 为为 方方 程程 组组 的的 通通 解解。 上上 面面 的的 证证 明明 提提 供供 了了 一一 个个 求求 基基 础础 解解 系系 的的 方方 法。法。rn ,210Axrnrnkkkx2211lkkk,210Ax2022-2-1330四、四、 用初等行变换求解齐次线性方程组用初等行变换

16、求解齐次线性方程组 只只 对对 系系 数数 矩矩 阵阵 进进 行行 初初 等等 行行 变变 换，换，不不 可可 以以 进进 行行 列列 初初 等等 变变 换换(why) 例例 1. 求求 解解 方方 程程 组组: 解解: 对对 系系 数数 矩矩 阵阵 进进 行行 初初 等等 变变 换换032030432143214321xxxxxxxxxxxx2022-2-1331 2100420011113211311111111312rrrrA0000210010114200210011112321322rrrrrr 0000210010112) 1(r 行最简型行最简型2022-2-1332可可 见见

17、系系 数数 矩矩 阵阵 的的 秩秩 是是 2，方，方 程程 组组 的的 基基 础础 解解 系系 中中 含含 4-2=2 个个 向向 量。原量。原 方方 程程 组组 与与 下下 列列 方方 程程 组组 同同 解解:取取 作作 为为 自自 由由 未未 知知 量量, 得得 一一 般般 解解 为为:02043421xxxxx42, xx434212xxxxx2022-2-1333取取 ，则，则 取取 ，则，则 分分 别别 得得 两两 个个 线线 性性 无无 关关 的的 特特 解解:0, 142xx0, 131xx1, 042xx2, 131xx2022-2-1334此此 即即 原原 方方 程程 组组

18、的的 一一 个个 基基 础础 解解 系系.所所 以以 通通 解解 为为: ( 为为 任任 意意 实实 数数)1201,0011212211kkx21, kk2022-2-1335 例例 2. 求求 解解 方方 程程 组组: 01117840246303542432143214321xxxxxxxxxxxx2022-2-1336解解: 对对 系系 数数 矩矩 阵阵 进进 行行 初初 等等 变变 换换 57001121354211178424633542A00005700112157001121570000007/51007/202100007/51001121 2022-2-1337 可可 见见

19、 系系 数数 矩矩 阵阵 的的 秩秩 是是 2, 方方 程程 组组 的的 基基 础础 解解 系中系中 含含 2 个个 向向 量量.原原 方方 程程 组组 与与 下下 列列 方方 程程 组组 同同 解解: 取取 作作 为为 自自 由由 未未 知知 量量, 得得 一一 般般 解解 为为:075072243421xxxxx42, xx4342175722xxxxx2022-2-1338取取 和和 即分即分 别别 得得 两两 个个 线线 性性 无无 关关 的的 特特 解解:此此 即即 原原 方方 程程 组组 的的 一一 个个 基基 础础 解解 系系.所所 以以 通通 解解 为为: ( 为为 任任 意意

20、 实实 数数)7, 042xx7502,0012212211kkx21, kk0, 142xx2022-2-1339 例例 3. 求求 解解 方方 程程 组组(4个方程，个方程，5个个未知数未知数): 036220230205421542154315432xxxxxxxxxxxxxxxx2022-2-1340解解: 对对 系系 数数 矩矩 阵阵 进进 行行 初初 等等 变变 换换即即36022230111210111110A3602223011111101210100000100000111002101 025432431xxxxxxx2022-2-1341写写 成成通通 解解 为为 为任意实

21、数为任意实数 43543443343243100 1 0 0 11121xxxxxxxxxxxxxxx212154321,0102200111kkkkxxxxx1k2k2022-2-1342 例例 4. 问问 取取 何何 值值 时，方时，方 程程 组组有有 非非 零零 解，并解，并 求求 其其 通通 解。解。 解解: 对对 系系 数数 矩矩 阵阵 进进 行行 初初 等等 变变 换换0)3(14202)8(023)2(321321321xxxxxxxxx3142281232A3142232281 2022-2-1343 1) 1(20) 1(21310028121) 1(20) 1(213100

22、28121) 1(2) 1(21310) 1(22) 3)(1( 2022-2-1344当当 时，由时，由 得得 方方 程程 组组通通 解解 为为 为为 任任 意意 实数实数 10000402710000102013322102xxxxxkkx,1022022-2-1345当当 时，由时，由 得得 方方 程程 组组 通通 解解 为为 为为 任任 意意 实实 数。数。324048025100021102101 3332123211xxxxxxkk,121212022-2-1346例例 5. 设设 是是 一一 个个 三三 阶阶 非非 零零 矩矩 阵，它阵，它 的的 每每 一一 列列 是是 齐齐 次

23、次 线线 性性 方方 程程 组组的的 解，求解，求 的的 值值 和和 。 B0302022321321321xxxxxxxxxB2022-2-1347解解: 由由 于于 是是 一一 个个 三三 阶阶 非非 零零 矩矩 阵，所阵，所 以以 中中 至至 少少 有有 一一 列列 向向 量量 不不 是是 零零 向向 量，又量，又 因因 的的 每每 一一 列列 是是 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 解，由解，由 该该 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 有有 非非 零零 解解，从，从 而而 得得 .BBB05511312221A12022-2-1348当当 时，时， ，解，解 空空

24、 间间 的的 维数为：维数为：即即 方方 程程 组组 的的 基基 础础 解解 系系 只只 有有 一一 个个 解解 向向 量，量，因因 而而 的的 三三 个个 列列 向向 量量 线线 性性 相相 关，关，得得 . 12)(ArS123dimSB0B2022-2-1349例例 6. 设设 是是 实数矩实数矩 阵，证阵，证 明明 证证 设设 为为 维维 列列 向向 量。下量。下 证证 方方 程程 组组 与与 同同 解（如是，则解空间维数相同）。解（如是，则解空间维数相同）。 若若 满满 足足 ，则，则 有有 ，即，即nmA)()(ArAArTxn0Ax0)(xAAT0Axx0)(AxAT0)(xAA

25、T2022-2-1350反过来，若反过来，若 满满 足足 ，则，则 有有 即即 从从 而而 .由由 于于 方方 程程 组组 与与 同同 解，因解，因 而而 它它 们们 的的 解解 空空 间间 的的 维维 数数 相相 同，即同，即进一步得进一步得 证毕。证毕。x0)(xAAT0)(xAAxTT0)()(AxAxT0Ax0Ax0)(xAAT)()(AArnArnT)()(AArArT2022-2-1351n作业作业. Page 123, 1(1).2022-2-13524.2 非非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 设设 有有 非非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 (4.1)mn

26、nmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121112022-2-1353同样，有另外两种表示形式：引同样，有另外两种表示形式：引 进进 矩矩 阵阵 则则 线线 性性 方方 程程 组组 和和 可可 以以 分分 别别 写写 成成 (4.2)其其 中中 常常 数数 项项 不不 全全 为为 零。零。 nmmmnnaaaaaaaaaA212222111211 mnbbbbxxxx2121,bAxmbbb,212022-2-1354把把 看看 作作 由由 列列 向向 量量 构构 成成 的的 矩矩 阵，设阵，设 则则 方方 程程 组组 可可 写写 成成 （4.

27、3） A),(21nAbAx bxxxnn22112022-2-1355 称称 为为 方方 程程 组组 的的 系系 数数 矩矩 阵，阵， 称称 为为 方方 程程 组组 的的 增增 广广 矩矩 阵阵。 下下 列列 结结 论论 是是 等等 价价 的的 （1）方）方 程程 组组 有有 解；解； （2） 可可 由由 线线 性性 表表 示；示； （3） 和和 等等 价；价； （4） 与与 的的 秩秩 相相 等。（随后证明）等。（随后证明）A)|(bAB bAx n,21 bn,21bn,21),(21nA),(21bBn2022-2-1356定定 理理 2 非非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组

28、 有有 解解 的的 充充 分分 必必 要要 条条 件件 是是 .证明：证明：必要性必要性. 有解意味着有解意味着 能被能被 的列向量组线性表的列向量组线性表示，从而示，从而 与它的增广矩阵的列向量组等价，与它的增广矩阵的列向量组等价，向量组的秩相等，故得结论。向量组的秩相等，故得结论。充分性充分性. ， 秩相等意味着他们的列向量组有秩相等意味着他们的列向量组有相同的极大无关组。相同的极大无关组。 能被能被 的列向量组线性表的列向量组线性表示，故得结论。示，故得结论。证毕。证毕。 bbAx )()(BrArAAABbA2022-2-1357在在 方方 程程 组组 中中 令令 则则 得得 到到 齐

29、齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 ，称，称 为为 对对 应应 的的 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组，或组，或 称称 为为 的的 导导 出出 组组。性性 质质 3 如如 果果 都都 是是 方方 程程 组组 的解的解,则则 是是 的的 解解 。证证 显然。显然。bAx 0b0AxbAx bAx 21,0Ax21bAx 2022-2-1358定定 理理 3（结（结 构构 定定 理）理） 设设 非非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 有有 解，则解，则 其其 一一 般般 解（通解（通 解）为解）为 其其 中中 为为 此此 方方 程程 组组 的的 一一 个个 特特 解解， 为为 其

30、其 导导 出出 方程组方程组 的的 一一 般般 解解。证证 明明 设设 是是 方方 程程 组组 的的 任任 一一 解，解，由由 性性 质质 3 知知 是是 齐齐 次次 方方 程程 组组 的的 解，设解，设 则则 bAx *x*bAx xbAx*x0Ax *x*x0Ax2022-2-1359上述定理给出非齐次方程组求解的办法。上述定理给出非齐次方程组求解的办法。 设设 矩矩 阵阵 的的 秩秩 为为 ，为，为 求求 非非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 通通 解，应解，应 先先 求求 它它 的的 一一 个个 特特 解解 ，再，再 求求 其其 导导 出出 组组 的的 一一 个个 基基

31、 础础 解解 系系 ，则，则 此此 非非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 的的 通通 解解 为为xAr*0Axrn,21bAx2022-2-1360 其中其中 为为 任任 意意 常常 数。数。 *2211rnrnkkkxrnkkk,212022-2-1361 非非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 解解 的的 情情 况：况： 1. 时，非时，非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 无无 解；解； 2. 时，则时，则 方方 程程 组组 有有 解；解； （1） 时，方时，方 程程 组组 有有 唯唯 一一 解；解； （2） 时，方时，方 程程 组组 有有 无无 穷穷 多多 解

32、。解。（其其 中中 为为 方方 程程 组组 中中 未未 知知 量量 个个 数数）)()(BrArbAx bAx nBrAr)()(nBrAr)()(nbAx r(B)r(A)2022-2-1362例例 1. 求求 下下 列列 方方 程程 组组 的的 解解:解解: 对对 增增 广广 矩矩 阵阵 进进 行行 初初 等等 行行 变变 换换 2132130432143214321xxxxxxxxxxxxB2132111311101111B21210014200011110000021210001111 000002121002110112022-2-1363由由 于于 ，方，方 程程 组组 有有 解。

33、得解。得 同同 解解 方方 程程 组组 即即 令令 ，则，则 。原。原 方方 程程 组组 的的 一一 个个 特特 解解 为为: 2)()(BrAr2122143421xxxxx2122143421xxxxx042 xx2131 xx2022-2-1364对对 应应 的的 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组 为为 基基 础础 解解 系系 为为021021*4443224212xxxxxxxxx1201,0011212022-2-1365所所 以以 原原 方方 程程 组组 的的 通通 解解 (或或 一一 般般 解解) 为为: 为为 任任 意意 实实 数数 也也 可可 由由 直直 接接 写写

34、出出 通通 解解为为 任任 意意 实实 数数*2211kkx21, kk44432242121221xxxxxxxxx0210211201001121kkx21, kk2022-2-1366例例 2 求求 解解 方方 程程 组组解解: 对对 增增 广广 矩矩 阵阵 进进 行行 行行 变变 换换: 32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx322122351311321B104501045011321 2022-2-1367 可可 见见 , 故故 方方 程程 组组 无无 解解.2000010450113213)(,2)(BrAr2022-2-1368 例例3 设设 与与 都都 是是 阶阶 矩矩 阵阵, 试试 证证: 如如 果果 , 那那 么么 .证证 如如 果果 , 那那 么么 的的 列列 向向 量量 都都 是是 齐齐 次次 方方 程程 组组 的的 解解, 设设 , 那那 么么 最最 多多 有有 个个 线线 性性 无无 关关 的的 解解, 所所 以以即即证毕。证毕。（直观上，考虑