求数列通项公式的八种方法

1、、公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项、累加、累乘法1、累加法 适用于： an 1 an f (n)a2 a1 f(1)若 an 1 an f(n) (n 2) ，则a3 a2 f(2)LLan 1 anf(n)n两边分别相加得 an 1 a1f(n)例 1 已知数列 an满足 an1k1an 2n 1，a1 1，求数列 an 的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1得 an 1 an 2n 1 则an(anan 1)(an 1an 2) L(a3 a2)(a2 a1)a12(n 1) 1 2(n2) 1 L(2 21) (2 11) 12(n 1) (n 2)L 2 1(n

2、 1) 12(n 1)n (n 1)12(n 1)(n 1) 1 2n所以数列 an 的通项公式为 an n2 。例 2 已知数列 an满足 an1an 2 3n 1，a1 3，求数列 an 的通项公式。解法一：由 an 1 an 2 3n 1得 an 1 an 2 3n 1 则n(2 3n11)(2n23n 2 1)L(2232 1) (2 3n12(3n 13n2L2132 31)(n1)33(13n1)2(n1) 313n3n 3n13n3n n1an (an an 1) (an 1 an 2) L(a3 a2) (a2 a1) a11) 3所以 an 3n n 1.解法二： an 13

3、an2 3n1两边除以 3n 1 ，得 ann 113n 1an 2n3n 3an 13nan23n 31，n1，1an3nan 1 ) an 1an 1an 13n3nan3nLa1331n)13n221)1n2)L332(n1)3n13n13nL因此 a3nn2(n3 1)31n (13n 1)2n 1 13 2 2 3n3n则 an2、累乘法 适用于： an 1 f(n)anan 1 若f (n) ，则 a2a1f(1)，aa32f(2) ，L L ，an 1f (n)an两边分别相乘得，an 1a1na1f (k)k1例 3 已知数列 an满足 an12(n 1)5n an， a13，

4、求数列 an 的通项公式。解：因为 an 1 2(n 1)5n an， a13，所以 an 0，则 an1 2(n 1)5n ，故ananaan aan1 L aa3 aa2 a1an 1 an 2a2 a12(n 1 1)5n 12(n21)5n 2L 2(21) 522(1 1) 51 32n 1n(n 1) Ln(n 1)3 2n 1 5 23 25n 1) ( n 2)L 2 1 3n!n(n 1)所以数列 an 的通项公式为an3 2n152n!.、待定系数法 适用于an 1qanf(n)分析：通过凑配可转化为an 11f (n)2an1f (n) ;解题基本步骤：1、确定 f(n)

5、2、设等比数列 an 1 f (n) ，公比为 23、列出关系式 an 1 1 f (n) 2an 1 f (n)4、比较系数求 1， 25、解得数列 an 1 f (n) 的通项公式6、解得数列 an 的通项公式例 4 已知数列 an 中， a1 1,an 2an 1 1(n 2) ，求数列 an 的通项公式。 解法一： Q an 2an 1 1(n 2),an 1 2(an 1 1)又Qa1 1 2, an 1 是首项为 2，公比为 2的等比数列an 1 2n ，即 an 2n 1解法二： Q an 2an 1 1(n 2),an 1两式相减得 an 1an2(anan1)(n2) ，故数

6、列an1an是首项为2，公比为 2的等比数列，再用累加法的n1例 5 已知数列 an满足 an1 2an 4 3n 1，a1 1，求数列 an 的通项公式。解法一：设 an 1 13n2(an3n 1) ，比较系数得 1 4, 2 2，n 1 1 1则数列 an 4 3n 1 是首项为 a1 4 31 15，公比为 2 的等比数列，注意： 例 6 已知数列 an 满足 an 12an解：2设 an 1 x(n 1) y(n 1) z2(an比较系数得 x 3,y 10,z 18 ，所以2an 1 3(n 1)2 10(n 1) 182(an由 a1 3 12 10 1 18 1 31 32 0

7、 ，23n2 4n 5，a1 1，求数列 an 的通项公式。2xn yn z)23n2 10n 18)2得 an 3n2 10n 18 0所以 an43n 152n 1，即an43n1 52n 1解法二：a 2 a 4两边同时除以 3n 1 得： ann 11 2 ann 42 ，下面解法略3n 1 3 3n 32则 an 1 3(n 12) 10(n 1) 18 2，故数列 an 3n2 10n 18 为以 an 3n2 10n 18 n2a1 3 12 10 1 18 1 31 32为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2 n 1n 4 2注意：形如 an 2an3n210n 18 32

8、2n 1 ，则 an2n 43n210n 18。pan 1 qan 时将 an 作为 f (n) 求解分析：原递推式可化为an 2an 1 (p )(an 1 an) 的形式，比较系数可求得，数列an 1an 为等比数列。例7 已知数列 an满足an 2 5an1 6an,a11,a2 2，求数列 an的通项公式。解：设 an 2an 1(5)(an 1an)比较系数得3或2，不妨取2，则 an 2 2an 13(an 12an) ，则 an 12an 是首项为 4，公比为 3 的等比数列an 1 2an 4 3n 1，所以 an 4 3n 1 5 2n 1 四、迭代法例 8 已知数列 an满

9、足 an13(n 1)2 n an3(n 1)2 ，a15，求数列an 的通项公式。解：因为 an 1 an3(n 1)2 ，所以3n 2n 1anan 1an3(n21)2n 23n232(n 1)n 2( an 22) (n 1)a3(n 2) 2n 332(n 1)n2(n 2) (n 1)3) (n 2) (n 1)33(n 2)(n 1)n 2(n 3) (n 2)(n1) an 33n 1 23L L (n 2) (n 1) n21 2 L L ( a1n(n 1)3n 1 n! 2 2 a1又 a15 ，所以数列 an 的通项公式为 an3n53n(n 1)n! 2 2注：本题还

10、可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例9 已知数列 an满足an1 2 3n an5，a1 7，求数列 an的通项公式。n5解：因为 an 1 2 3n an5， a1 7，所以 an 0，an 1 0 。两边取常用对数得 lg an 1 5lg an nlg3 lg2设 lg an 1 x(n1) y5(lg an xn y)（同类型四）比较系数得，xlg3 ,y lg3 lg2416 4由 lg a1lg31lg3lg2lg3 lg71 lg3lg20，得416441 164所以数列 lganlg3nlg3lg2是以 lg7 l

11、g3lg3lg241644164则 lg anlg3nlg3 lg 2(lg7 lg43lg3 lg2)5n 1，因此41644164lg an(lg7lg3 lg3lg 2)5n 1 lg3lg3 nlg24 164 )5 464111n11lg(734316 24)5n1 lg(3 4 31624)111n11lg(734316 24)5n 1lg(34 316 24)5n 4n 15n 115n 1lg(73 1624)5n4n 15n 1 1则 an5n 175n 1316 24。为首项，以 5 为公比的等比数列，lgan lg43 n l1g63 lg42 0，4 16 42、倒数变

12、换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项10 已知数列an 满足 an2anan2,a11，求数列an 的通项公式。解：求倒数得an 1anan 1anan 11111为等差数列，首项11 ，公差为1 ，ana12a111(nan 21),an2n13、换元法 适用于含根式的递推关系例 11 已知数列 an满足 an1116(14an1 24an ），a1 1，求数列 an 的通项公式。解：令 bn1 24an ，则 an214(bn2 1)代入 an 1 116(1 4an 1 24an )得12(bn 124 n 11)11164 1 (bn2 1)24 n即 4bn2 1(bn3)2因

13、为 bn124an0，则 2bn 1bn3，即13 bn 1bn22可化为 bn13112(bn 3) ，所以 bn3 是以 b13 1 24a1bnbn 313 1 24 1 3 2 为首项，以 为公比的等比数列，因此22(12)n1 (21)n 2，则bn (12)n2 3，即 124an(21)n 2 3，得2 an3(14)n (21)n 31。六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例 12 已知数列 an满足 an1 an8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2， a18，求数列 an 的通项公式。9解：由an 18(n

14、1)an 2 2 n (2n 1)2 (2n 3)28及 a1，得98(1 1)8 8 224a2a1(2121)2(2 13)2992525a28(2 1)248348a3(2221)2(2 23)225254949a4a38(3 1)488480(2321)2(2 33)249498181由此可猜测 an(2n 1)2 12 ，下面用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)21)当 n 1 时，a1 (2 1 1) 2 1 8 ，所以等式成立。1 (2 1 1)292）假设当 n k 时等式成立，即 ak(2k 1)2 1(2k 1)2，则当 nk 1 时，8(k 1)(2k 1)2(2k 3

15、)2(2k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2 (2k 3)22 2 2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2k 3)2 1(2k 3)22(k 1) 12 122(k 1) 12由此可知，当 n k 1时等式也成立。根据（ 1），（ 2）可知，等式对任何 n N* 都成立。七、阶差法1 、递推公式中既有 Sn ，又有 an分析：把已知关系通过 anS1,nSn Sn 1,n转化为数列2an或 Sn 的递推关系，然后采用相应的方法求解。例 13 已知数列 an 的各项均为正数，且前n 项和 Sn 满足 Sn16(an 1)(an 2)

16、，且 a2,a4,a9成等比数列，求数列an 的通项公式。解：对任意N 有 Sn 6(an1)(an2)当 n=1 时，S11a1 61(a1 1)(a12) ，解得 a1 1 或 a1 2当 n 2 时，Sn 116(an 1 1)(an12)- 整理得：(anan 1)(anan 13) 0an各项均为正数， an an 1 32当 a1 1时， an 3n 2 ，此时 a4 a2a9 成立2当 a1 2时， an 3n 1，此时 a42 a2a9 不成立，故 a1 2舍去所以 an 3n 22、对无穷递推数列例 14 已知数列 an 满足 a11， an a12a23a3L(n解：因为

17、an a1 2a2 3a3L (n 1)an1(n2)所以 an 1 a1 2a2 3a3 L(n 1)an 1nan用式式得 an 1 an nan.1(n 2) ，求 an 的通项公式。则 an 1 (n 1)an(n 2)an 1ann 1(n 2)由 ana1 2a2 3a3 L(n 1)an 1(n2)， 取n 2得a2则 a21 ，代入得 an13 4 5L nn!。2所以，an 的通项公式为n! an.an 1 an 2a2222a2 ，则 a2 a1 ，又知 a1 1 ，使 f (x0) x0 成立，则称 x0 为an an 1a3n!所以 ann n 1 L 3 a2 n(n

18、 1) L 4 3a2a2.八、不动点法不动点的定义：函数 f (x) 的定义域为 D，若存在 f(x)x0 Df ( x)的不动点或称 (x0, f(x0)为函数 f (x)的不动点。分析：由 f(x) x 求出不动点 x0 ，在递推公式两边同时减去 x0 ，在变形求解。类型一：形如 an 1 qan d例 15 已知数列 an 中， a11,an 2an 1 1(n 2) ，求数列 an 的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为f (x) 2x 1，由 f (x) x 得，不动点为 -1 an 1 1 2(an 1) ，类型二：形如 an 1a an bc an d分析：递归函数为f(x)1)若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ，再将两式相除得an 1 p k an p ，其中 k an 1 qan q2) 若有两个 相同的不动点a pc ， a (a1q pq)kn 1 (a1p pq)ann 1a qc n(a1 p)kn 1 (a1 q)p，则将递归关 系式两边减去 不动点 p，然后 用 1 除， 得1an 1 pk ，其