高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法含答案

1、.个 性 化 辅 导 教 案授课时间：授课时段：科目：数学课题：函数学生：授课老师：M教学目标课堂检测听课及知识掌握情况反馈：教学需：加快 保持 放慢 增加内容教学反思及下节课内容安排学生意见教学过程（内容）高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数fg（x

2、）的表达式，求f（x）的表达式时可以令tg（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（x）（或f（1/x）即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，

3、位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数yfg（x）的定义域的求解，应先由yf（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出yg（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求

4、并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例1. 已知，试求。解：设，则，代入条件式可得：，t1。故得：。说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。例2. （1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。（2）由条件式，以x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，

5、不需要另外给出。例4. 求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；（2）已知，求，；（3）已知，求；（4）已知，求。【思路分析】【题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。（3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个方程就行了。【解题过程】设，由得，由，得恒等式，得。故所求函数的解析式为。（2），又。（3）设，则所以。（4）因为用代替得解式得。【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶

6、点式和标根式的选择；（2）已知求的问题，方法一是配凑法，方法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（4）。若函数方程中同时出现，则一般将式中的用代替，构造另一方程。特别注意：求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3. 求的定义域。解：由题意知：，从而解得：x>2且x±4.故所求定义域为：x|x>2且x±4。例2. 求下列函数的定义域：（1）； （2

7、）【思路分析】【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次方被开方数为非负数。【解题过程】（1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即。故函数的定义域为.当然也可表示为。（2）要使函数有意义，则，从而函数的定义域为。【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的的范围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并

8、集。例4. 已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435617解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得xI1，又由g（x）定义域可以解得xI2.则I1I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。解：又由于x24x3>0 *联立*、*两式可解得：例9. 若函数f（2x）的定义域是1，1，求f（log2x）的定义域。解：由f（2x）的定义域是1，1可知：212x2，所以f（x）的定义域为21，2，故log2x21，2，解得，故定义域为。三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值

9、的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、分离变量法例11. 求函数的值域。解：，因为，故y2，所以值域为y|y2。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例12. 求函数y2x24x的值域。解：y2x24x2（x22x1）22（x1）222，故值域为y|y2。说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如yaf2（x）bf（x）c。3、判别式法例13. 求函数的值域。解：可变形为

10、：（4y1）x2（5y2）x6y30，由0可解得：。说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故0。4、单调性法例14. 求函数，x4，5的值域。解：由于函数为增函数，故当x4时，ymin；当x5时，ymax，所以函数的值域为。5、换元法例15. 求函数的值域。解：令，则y2t24t2（t1）2

11、4，t0，故所求值域为y|y4。例3. 求下列函数的值域：（1）（2）（3）（4）【思路分析】【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域上的函数，其值域就是指集合；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】（1）将的值域为。（2），即所求函数的值域为或用换元法，令的值域为。（3）<方法一>函数的定义域为R。<方法二>。故所求函数的值域为（1，1。（4）<构造法>所以函数的值域为12，3。【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出所求函数的值域，有时还需要结

12、合函数的图象进行分析。【模拟试题】(答题时间：30分钟)一. 选择题1、函数yf（x）的值域是2，2，则函数yf（x1）的值域是（ ）A. 1，3 B. 3，1 C. 2，2 D. 1，1解函数y=f（x）的值域是-2，2，y=f（x）的最大值为2，最小值为-2又函数y=f（x+1）的图象是由y=f（x）向左平移1个单位而得函数y=f（x+1）最大值是2，最小值是-2所以函数y=f（x+1）的值域仍是-2，2故选C2、已知函数f（x）x22x，则函数f（x）在区间2，2上的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x

13、的函数，那么其解析式和定义域是（ ）A. y202x（x10） B.y202x（x<10）C.y202x（4x<10） D.y202x（5<x<10）解：Y=20-2X Y>0，即20-2X>0，X<10， 两边之和大于第三边， 2X>Y， 即2X>20-2X 4X>20 X>5。 本题定义域较难，很容易忽略X>5。54、二次函数yx24x4的定义域为a，b（a<b），值域也是a，b，则区间a，b是（ ）A. 0，4 B. 1，4 C. 1，3 D. 3，4解： a ，由于对称轴为x=2，当x=0或x=4时有最大值y

14、=4，x=2时有最小值y=05、函数yf（x2）的定义域是3，4，则函数yf（x5）的定义域是（ ）A. 0，1 B. 3，4 C. 5，6 D. 6，7解： yf（x2）的定义域是3，4，即 3x4 则3+2 x+24+2，所以5x+26 所以 y=f(x)的定义域为5,6 则5x+56，那么0x1 所以yf（x5）的定义域为0，16、函数的值域是（ ）解：判别式法7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（ ）二. 填空题8、若f（x）（xa）3对任意xR都有f（1x）f（1x），则f（2）f（2）；解：对任意xR，总有f（1+x）=-f（1-x），当x=0时，有f（1+0）=-

15、f（1-0），即f（1）=-f（1）f（1）=0又f（x）=（x+a）3，f（1）=（1+a）3故有（1+a）3=0，解得a=-1f（x）=（x-1）3f（2）+f（-2）=（2-1）3+（-2-1）3=13+（-3）3=-269、若函数的值域为，则其定义域为； 解： 2/(x-2)-1/3 => 1/32/(2-x)当x>2时,2/(2-x) 62-x => x-4定义域：-4,2)三. 解答题10、求函数的定义域。11、已知，若f（a）3，求a的值。12、已知函数f（x）满足2f（x）f（x）x24x，试求f（x）的表达式。 解：2f(-x)-f(x)=-x²-4x 4f(x)-2f(-x)=-2x²+8x 相加得 f(x)=-x²+4x/3习题讲解：1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案:C.【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.2.设函数则不等式的解集是（ ） A B C D 答案：A【解析】由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，故 ，解得【考点定位】本试题考查分段