量纲分析和相似原理

1、第九章量纲分析和相似原理1.单位和量纲2.量纲分析法3.流动相似原理4.模化实验1.单位和量纲单位：度量同一物理量的大小。如长度有 m、cm、mm， 时间有 h、min、s。量纲（因次）：物理量的种类。如长度用L，时间T,质量M，无论量的大小都用同一符号表示。基本量纲：相互独立的量纲，相互之间不能导出，而其它量的量纲可由基本量导出。一般取长度L、时间T、质量 M、温度1LT2L12L MT导出量纲：其它物理量的量纲可由基本量纲导出，例如速度量纲 ，面积 ，压强 量纲和谐原理：对所建立的物理方程，方程两边的量纲必须相同。例2211221222pVpVZZgggg方程中各项可同时用m、cm、mm但

2、量纲都是L。无量纲综合量：由n个物理量组合成的无量纲数称之。用 表示。例如： 表示无量纲综合量，解出有理数m可得 项。123qqqq、 、物理量 是量纲无关的量，则物理量 与它们的关系可表示成 1212312312nnmmmmnmmmnqqqqqqq qq 或2.量纲分析法量纲分析法是将物理现象所涉及的物理量组成无量纲综合量。利用 定理使无量纲综合量构成函数关系，该关系式反映了物理量之间的内在规律，并使自变量的个数减到最少。定理：设某个物理现象与n个物理量有关 q1,q2,qn，这n个物理量的函数关系为F(q1,q2,qn)=0。若这n个物理量的基本量纲为m个，则这n个物理量可组成（n-m）个

3、无量纲数1, 2, n-m，这些无量纲数也存在函数关系 F(1, 2, n-m)=0。例：不可压粘性流体在水平直管中作定常运动，其压力损失 与下列因素有关 ， 试用 定理确定 的规律。pp1）由题意假定函数关系式：7,3nm有七个变量 基本量纲三个 . . . . . . . . . .0pfV dlfpV dl 或 Vdl、 、 、 、 、2）写出无量纲方程：取基本量纲为长度L、时间T质量 M由 定理可知，可写出(n-m)=4 个无量纲量即无量纲方程为1234、12340f 3）取独立变量选直径 d、速度 V、密度为独立变量独立变量的量纲分别为： 13dLVLTML 1211pML TlLM

4、L TdL其它几个变量的量纲为：4）写出量纲方程 11111111111112311312abcabcaabcbpV dML TMLLTLMLT 利用量纲和谐原理，方程两边量纲应相等111111020310ababc 解得：111120abc 令：120112pVdpV 同理： 22222222222211311311abcabcaabcbV dML TMLLTLMLT 222221010310ababc 令：解得：222111abc 11122V dVd 3333333333331313abcabcaabcblV dLMLLTLMLT333001abc 解得 00133lV dld同理001

5、44V dd 5）组成无量纲函数关系式12342(,)0(,)0fplfVVd d d 或 22(,12 (,212 (,eeplfVVd d dpl VfgRddgfRd）或 令 22fpl Vhgdg达西公式3.流动相似原理在自然界中有些流动规律还不能用完整的理论去描述，必须通过实验去寻找这些规律。而实验所需的模型与实型不一定相同，需按一定的规律制作模型，才能将实验得到的规律换算到实型上。这些规律称为相似要求。一.几何相似：两流场几何相似，只要求一切对应的几何尺寸成同一比例，且对应的角度相等。pdpHmdmH几何比例常数mmllppdHccdH二.运动相似在几何相似的基础上各对应点的速度方

6、向相同，大小成同一比例。且流体质点经过对应途径所需的时间成同一比例。1122pmupmuucuuuc 速度比例常数1122pmttpmttcctt时间比例常数1pt1mt2pt2mt三.动力相似在几何相似和运动相似基础上还应满足动力相似。模型与实型对应点上作用着同姓质的力，这些力的方向相同，大小成同一比例。pppgpmmpmgmmmpppppgcpgpc 力相似系数故量流场相似，必须满足几何相似、运动相似、动力相似。其中几何相似是先决条件，而一旦动力相似，运动相似是可以自动满足的。实际上，两流场中要满足所有同名力成比例是很困难的，往往只要满足起主要作用的力成比例。当流场中主要是粘性力和惯性力起

7、主要作用1.雷诺相似准则(1)mmffff惯p惯粘p粘2duVfALdyL粘代入（1）3222LfmaLV Lt惯332222pmppmmpmmpmmppmpLLLLttVVLLLL化简即：两流场要保证粘性力相似，则雷诺数必须相等。反之成立。pppmmmmpemepL VL VLVRR2.弗汝德准则（重力相似准则）当两流场的惯性力与重力起主要作用，同名力的比为32223(2)pmmpffGGLfmaLLVtGmgL g惯惯惯代入（2）22322223pppmmmmmpppmrmpVVFLL VL VL gLggL g两重力相似的流场，弗汝德数Fr必须相等。反之，弗汝德数Fr相等的流场必是重力相

8、似流场。3. 斯特罗哈数准则 St对于非定常运动，必须满足斯特罗哈数相等.322tVLLtSLVVt局部惯性力惯性力pmm mp pLLV tV t4.马赫准则 M 数当两流场的惯性力和弹性力成比例时，应满足马赫数相等。2222222pmmpccMVVFc LcMfV LV弹性力惯性力22vvvdpFE AE LEcd弹性力可压缩流动应考虑马赫数相等5.欧拉准则数 Eu当两流场的惯性力与压力成比例时，应满足欧拉数相等。2222upLpEV LV压力惯性力2222ppmmmmppmmppppppVVVV 或 此准则不是决定性准则，一旦与速度有关的准则数满足后，Eu数自动满足。4.模化实验一.近似

9、相似： 在实际情况中，两流场不可能所有相似准则数全部满足，只可能让起主导作用的相似准则数满足。例如：在几何相似前提下，既要满足 Re数又要满足 Fr数，就有ppmmmpV LV L22pmmmppVVg Lg L和在同一地点，用同一种流体做实验 mpmpppmmpmpmggLLVVVLVL则有和要同时满足两种准则数，对原型和模型的几何尺寸要求不同。若采用不同介质的流体，可使两准则同时满足。如取：1031.6ppmmLL则 即即使配方得到，实验成本很高。因此，要分析什么力起主导作用，保证其相似准则相等，其次略去。 31.6pm实验用流体很难得到怎样判别哪些是决定性准则呢？可用 定理来确定。或由经

10、验决定。 有压管流、液压油流、低速绕流 Re 数为主。 明渠、水上飞行器、船舶阻力实验以 Fr数为主。二.自模区在有压管流的层流和充分紊流区域中，其速度分布相似，此时即使雷诺数不想等，在这两区域中，流动仍是相似的。在充分紊流区，即使雷诺数不相等，所得相等， 与 Re无关。只要满足几何相似，雷诺准则可自动满足。这种现象称自模区。在 Re2300 的层流区，无论 Re如何变化，管内速度分布始终是抛物线分布，运动分布始终能满足，故也是自模区。处于自模区，将使实验变得简单。例1：在设计高为1.5m，最大速度为30m/s 的汽车时，需确定其正面风阻，拟用风洞进行模型试验。 1）如风洞中最大风速为 45 m/s ,试求模型高度为多少？2）如设原型与模型的长度比为1.5:1，风洞中风速为 45m/s 时测得的模型阻力为1500N，试求汽车最大速度时正面风阻是多少？例2：跨音速飞机模型在变密度风洞中作模化实验。风洞实验的风速为360m/s，空气温度为40，压力为 。现用同样模型， 但空气温度变为 60