高二数学圆的方程例题解析 人教版

1、高二数学圆的方程 一. 本周教学内容: 圆的方程 教学目标掌握圆的标准方程、一般方程和参数方程。会根据具体条件写出圆的相应的方程,给出圆的方程能求出圆心和半径;会由圆的方程和直线方程讨论圆与直线的位置关系;会用几何、代数等方法判断直线与圆相交、相切、相离,会求圆的切线方程。二. 重点、难点: 1. 重点:圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和运用。2. 难点:直线和圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究与应用。 3. 能力训练:进一步培养学生用坐标法研究几何法的能力,同时利用几何知识简化解析法中的运算能力;培养学生运用设参数、消参数解决问题的能力。三. 教学过程: (一知识提要:(

2、10222.(圆的标准方程:x a y b r r -+-=> 20222.(圆的一般方程:x y D x Ey F +=(当时,方程表示圆,圆心,半径:14022222D E F D E +->-( r D E F=+-12422(当时,方程表示一个点,。24022222D E F D E +-=-( (当时,方程不表示任何图形。340222D E F +-<(30.c o s s i n 圆的参数方程:(为参数,x a r y b r r =+=+>【典型例题】例1. 求经过点A (3,2,圆心在直线y =2x 上且和直线y =2x +5相切的圆的方程。解析:已知条

3、件与圆心、半径有关 应设圆的方程为标准形式,求出(a ,b 和r (设:所求圆的方程为x a y b r -+-=222(依题意:322255222-+-=-+a b r b a r a b解得:或a b r a b r =4585524522所求圆的方程为:(x y x y - +- =-+-=458552452222或例2. 求过点P 解:设所求直 kx y k -+-=320kx y k x y -+-=+=320422与相切-+-=圆心(,到切线的距离等于003202kx y k 即:23215122=-+=k kk(-=-y x 35122512260x y -+=又点P (2,3在

4、圆x 2+y 2=4外 此圆的切线应有两条,即另一条为x =2 所求圆的切线方程为:5x -12y +26=0或x =2例3. 方程x 2+y 2+2kx +4y +3k +8=0表示一个圆,求实数k 的取值范围。 (探求:把方程配成标准式:x k y k k +=-222234 (k k k k 2340410->-+>,即: k k <->14或例4. 两圆x 2+y 2=4与x 2+y 2+4x -4y +4=0关于直线l 对称,则l 的方程为( D A x y B x y .+=+-=020 C x y D x y .-=-+=2020探求:把两圆化为标准形式:

5、结合图形及题意 (x y x y 22224224+=+-=, 两圆关于l 对称,即两圆的圆心关于l 对称 又OC 的中点A (-1,1在l 上,并且l OC 又 k OC =-1例5. (1132x y =+=-+sin (为参数,2212100x a t t y b t t t a b =+ =- 解:(为参数1121322x y =+<>=-+<>cos sin x y -=<>+=<>121322c o s s i n(<>+<>-+=121342222得:x y(为参数,且,2212100x a t t y b

6、t t t a b =+ =- 解:xa t t y bt t =+ <>=+ <>12111212<>=+ <>11421322222:x at t<>=-+ <>21421422222:y bt t<>-<>-=3412222:,即为所求普通方程。x ay b例6. (12,0 解法一:又圆的参数方程为(为参数x yx y 221644+=cos sin (P 44c o s s i n ,=+=+=x y 412226422cos cos sin sin (为参数(消去:x y -+=6422

7、(-+=所求轨迹方程为:M x y 6422动点M 的轨迹是圆心为(6,0,半径为2的圆 解法二:设M (x ,y ,P (x 1,y 1x x y y x y x x y y x y =+=+=-<>=<>+=<>1112121112121220216212122163 (<><><>-+=12321221622、代入:x y (-+=所求轨迹方程为:x y 6422动点M 的轨迹是圆心为(6,0,半径为2的圆例7. 求函数的最大值与最小值。f (sin cos =-12(探求:可以看成两点,连线的斜率,f P A (s

8、in cos sin =-121 而A 为定点,P 为求直线PA 解:f (可x 2 + y 2 = 1上动。过A点作圆的两条切线AP1 、AP2 ，则AP1 的斜率是最小的，AP2 的斜率为最大的。 设AP2 的斜率为k，则AP2 的方程为：y 1 = k ( x 2 ，kx y 2 k + 1 = 0，AP2 与圆x 2 + y 2 = 1相切。 圆心到切线的距离等于半径 1 d = 2k 1 k2 +1 =1 k = 4 或k =0 3 其中 k0 是 AP1 的斜率 4 AP2 的斜率为k = 3 4 f ( max = ，f ( min = 0 3 y x = 2 + cos （ 为

9、参数），求 的取值范围。 例 8. 曲线C的参数方程为 x y = sin 探求：把圆C化为普通方程：( x 2 + y 2 = 1 2 y = k，即y = kx x 问题转化为求 k 的范围。 设： y A O C B x x = 2 + cos （ 为参数） 解：Q y = sin ( x 2 + y 2 = 1 2 y = k，则y = kx x 过 O 作 OA 切C 于 A，OB 切C 于 B 设 Q k OA = 3 3 ，k OB = 3 3 用心 爱心 专心 122 号编辑 6 3 3 k 3 3 1. 点 M 在圆 ( x 5 + ( y 3 = 9 上， 则点 M 到直线 3x + 4 y 2 = 0 的最短距离为 2 2 （ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 2 2. 点 A（3，5）是圆 x 2 + y 2 4 x 8 y 80 = 0 的一弦的中点，则这条弦所在直线 的方程是_。 3.