高一,正余定理

1、解三角形例题解析一、知识梳理1.正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.3.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,S=Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos 在ABC中，熟记并会证明tanA+

2、tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°； (3)ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及=，可求出角C，再求b、c. (2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理=，求出另一边b的对角B，由C=-(A+B)，求出c

3、，再由=求出C，而通过=求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<ba>bsinA两解无解无解a=bsinA一解a<bsinA无解8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.二、例题讲解 一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1在ABC中，(1)已知a，b，B45°，求A、C、c；(2)已知sin Asin Bsin C(1)(1)，求最大角点拨(1)已知两边及

4、其中一边对角，先利用正弦定理求出角A，再求其余的量(2)先由sin Asin Bsin Cabc，求出abc，再由余弦定理求出最大角解(1)由正弦定理及已知条件有，得sin A，a>b，A>B45°，A60°或120°.当A60°时，C180°45°60°75°，c，当A120°时，C180°45°120°15°，c.(2)根据正弦定理可知abcsin Asin Bsin C(1)(1)，边c最大，即角C最大设a(1)k，b(1)k，ck，则cos C.

5、C(0，)，C.回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍变式训练1(1)ABC中，AB1，AC，C30°，求ABC的面积；(2)已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，S是ABC的面积若a4，b5，S5，求c的长度二、正、余弦定理在三角形中的应用例2在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长已知b2ac且a2c2acbc.(1)求A的大；(2)求的值点拨(1)利用cos A求解；(2)利用正弦定理对代数式进行转化解(1)b2ac且a2c2acbc，a2c

6、2b2bc，b2c2a2bc，cos A，A60°.(2)方法一在ABC中，由正弦定理得：sin B，b2ac，.sin B，sin Asin 60°.方法二在ABC中，由面积公式得：bcsin Aacsin Bb2ac，bcsin Ab2sin B，sin Asin 60°.回顾归纳(1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系(2)要注意利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式：sin(BC)sin A，cos(BC)cos A，tan(BC)tan A，si

7、ncos 等，进行三角变换的运算变式训练2在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos 2A.(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b、c的值.三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，BD交AC于E，AB=2（）求的值；（）求解：（）因为所以，（）在中，故由正弦定理得 故例4A、B、C是一条直路上的三点，ABBC1 km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60°方向求塔到直路的距离解如图所示，过C、B、P分别作CMl，BNl，PQl，垂足分

8、别为M、N、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=x.AB=BC，CM=2BN=2x，PC=2x.在PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC22PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x24x2·，解得x2=，过P作PDAC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离在PAC中，由于AC·PD=PA·PC·sin 75°，得PD，= (km)答塔到直路的距离为 km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：准确地理解题意；正确地作出图形(或准确地理解图形)；把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦

9、定理有顺序地解这些三角形；根据实际意义和精确度的要求给出答案(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为的方向沿直线前往B处救援，求sin 的值课堂小结：1正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题：(1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定2余弦定

10、理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解3正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据 考试时间45分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题10分，共60分。）1.在中，已知a=1、b=2，C=120°,则c=（ ） A、 3 B、 4 C、 D、 2.在ABC中，若ABC=123,则abc等于（ ）

11、(A)123(B)321 (C)21(D)123.若的三个内角满足，则（ ）（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.4.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120°，c=a，则（ ）A.ab B.ab C. ab D.a与b的大小关系不能确定5.在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（ ）（A） （B） （C） （D）6.在中，a=15,b=10,A=60°，则=（ ）A B C D 二、填空题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）7.在ABC中，若b = 1，c =，则a = 。8.已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .三、