正弦定理余弦定理解三角形

1、解三角形正弦定理（一）典型例题:1在ABC中，已知，则B等于（ ）A B C D2在ABC中，已知，则这样的三角形有_1_个3在ABC中，若,求的值解由条件同理可得练习: 一、 选择题1一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是，那么角所对的边的边长为（） 2在ABC中，若其外接圆半径为，则一定有（） 3在ABC中，则ABC一定是（）等腰三角形 直角三角形等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180°，AB或AB90°。故ABC为等腰三角形或直角三角形。二、填空题4在ABC中，已知且ABC，则_5如果，那么ABC是_等腰

2、三角形_三、解答题6在ABC中，若，面积ABC，求的值解由条件ABC 当B为锐角时，由当B为钝角时，由7在ABC中，分别为内角，的对边，若,求的值解 又 又 8在ABC中，求证：解：.111正弦定理（二）典型例题:1在ABC中，已知，则的值为 （ ） 2在ABC中，已知，则此三角形的最大边长为_答案：3ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程的根，求ABC的面积解 设两边夹角为,而方程的两根ABC 练习:一、 选择题1在ABC中，已知，则等于（ ） 2在ABC中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ( ). 3ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+

3、1)：2m, 则m的取值范围是（ ）（，）（，）（，） （，）二、填空题在中，已知，那么的形状是一定是等腰三角形_解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB 解法2：由题意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab， 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法1)，统一化为边，再判断(如解法2)在ABC中，已知，ABC，则_三、解答题已知方程的两根之积等于两根之和，且为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状解：由方程两根之积为，方程两根之和为， 由正弦定理，

4、得 即 三角形为等腰三角形7在ABC中，求sinB的值。解由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB由得即即（） 8、在,求（1） (2)若点解：（1）由由正弦定理知（2）， 由余弦定理知BDCA9、如图,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.（1）证明 ;（2）若AC=DC,求的值.解：(1)如图3， 即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即112余弦定理（一）典型例题:1在ABC中，已知，则ABC的最小角为（ ）A B 在ABC中，已知，则_3在ABC中，已知，求及面积解 由余弦定理，知又练习:一、 选择题1在ABC中，如果,则角等于（） 在ABC中，根据下列条

5、件解三角形，则其中有两个解的是（） 在ABC中，已知则角（） 二、填空题4已知锐角三角形的边长为1、3、，则的取值范围是_5、在ABC中，则ABC的最大内角的度数是120° 6在ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_三、解答题7在ABC中，已知,且=2, ,求的长.解：由正弦定理，得 又由余弦定理，得 入，得8已知锐角三角形ABC中，边为方程的两根,角A、B满足，求角C、边c及ABC。解 ，得 X1=, X 2= 由于ABC为锐角三角形，由余弦定理，得 ABC112余弦定理（二）典型例题:1在ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则ABC的形状

6、是（）A锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D非钝角三角形2、的三内角所对边的长分别为设向量,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D) 解：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。3.如图，在中，是边上一点，则.解：由余弦定理得可得，又夹角大小为，所以.练习:一、 选择题1在中，,分别是，的对边，且则等于 （ ） A B C D在ABC中，若，并有sinAsinBcosC,那么ABC是（）直角三角形 等边三角形 等腰三角形等腰直角三角形在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值为（） 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA解：设E为BC的

7、中点，连接DE，则DE/AB，且，设BEx在BDE中利用余弦定理可得：，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又 ，故，4如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加的长度决定解析：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2a2b2，ab>c新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形二、填空题ABC中，ABC，则_5. 在ABC中，已知,ABC,则_三、解

8、答题6在ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。解由余弦定理,知，7已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积解如图，连结，则四边形面积ABD+BCD=A+C=1800 sin= sin C=16 sin由余弦定理,知在ABC中，在CDB中,又120016sin113正、余弦定理的综合应用典型例题:例题在中，若，则的大小是_.解： Ûa:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小为.例题.在ABC中，满足条件，则_ ，ABC的面积等于_ 答案：；例题3在ABC中，A60°，b1，求的值。错解：A60°，b1，又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定

9、理，得。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。例题4. 在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值解 （）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 练习:一、 选择题在ABC中，有一边是另一边的倍，并且有一个角是，那么这个三角形（）一定是直角三角形 一定是钝角三角形可能是锐角三角形 一定不是锐角三角形点评：三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果是三角形的最大边，则有：三角形是锐角三角形；三角形是直角三角形；三角形是钝角三角形。在ABC中，角A、B

10、、C所对的边分别为，且，则的值为（）A B C D已知ABC中，（）成立的条件是（） 且 或二、填空题已知在ABC中，最大边和最小边的长是方程的两实根，那么边长等于_7_在ABC中，是其外接圆弧上一点，且，则的长是_5_三、解答题在ABC中，角A、B、C对边分别为，为ABC的面积，且有，（）求角的度数；（）若，求的值解 由二倍角公式，已知等式化简为或120°当时，由余弦定理,得当120°时，由余弦定理,得ABC中的三和面积满足，且，求面积的最大值。解由余弦定理,得 02当时，max =8在中，已知内角，边.设内角,面积为.(1) 求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：

11、（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值12 应用举例（一）典型例题:图1ABCD例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得CAB=30°，CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”210在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600

12、,则塔高为( )A米 B米 C米 D米A3在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.解 C、C解关于点B对称，设云高CE = x 则CD = x - h，CD = x + h，在RtACD中， 在RtACD中，, 解得 .4、如图，为了测量塔的高度，先在塔外选和塔脚在一直线上的三点、，测得塔的仰角分别是，求求的大小及塔的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，

13、建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=155.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，

14、M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。解： 方案一：需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理方案二：需要测量的数据有：点到点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理练习:一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成

15、75°的视角，则B、C间的距离是( )A.10海里 B.海里C. 5海里 D.5海里2海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )A.10海里 B.海里 C. 5海里 D.5海里3如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ACB=60°，BCD=45°，ADB=60°，ADC=30°，则AB的距离是（ ）.（A）20（B）20（C）40（D）204、甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米

16、的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.15分钟二、填空题5一树干被台风吹断折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为 6甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 三、解答题7如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45°，假设建筑物高50m

17、，求此山对于地平面的斜度q解：在ABC中，AB = 100m , ÐCAB = 15°, ÐACB = 45°-15° = 30°由正弦定理： BC = 200sin15° 在DBC中，CD = 50m , ÐCBD = 45°, ÐCDB = 90° + q, 由正弦定理： Þcosq =q = 42.94°北乙甲8如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到

18、达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结，由已知，北甲乙又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里解法二：如图，连结，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里9某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海

19、上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。解：设所求最大圆的半径为x，则在ABC中 又在ACD中：又在ACD中：12 应用举例（二）典型例题：例1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时（ ）A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里例2某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛

20、靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 小时 图3ABC北45°15°例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=180°45°15°=120°。根据余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28

21、×=21 n mile，BC=20×=15 n mile。根据正弦定理，得，又=120°，为锐角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏东arcsin的方向用h可以追上乙船。点评：（1）航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。 （2）在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解例4 已知ABC，B为B

22、的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180°sinADBsin（180°BDC）sinBDC练习：一、选择题1台风中心从A

23、地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为（ ）A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h2已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为、（）则A点离地面的高AB等于（ ）A B CD 3在ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围是（）AB CD二、填空题4我舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上

24、敌舰，则需要速度的大小为 14nmile/h 5在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_20（1+） m _三、解答题6如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量） 解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为1，F2与竖直方向的夹角为2，则有 （其中g为重力加速度）由式和式消去，得即.，由式知，式中 不合题意

25、，舍去又4cos2130，解得经检验，当时，不合题意，舍去.2m6综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.7海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏西60°的C处，俯角为60°，（1）求该船的速度；（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离是多少？（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？解:设AD=x，AC=y， 而在ABC中，即 得，代入得得，即此人还需走15km才能到达A城

26、.解三角形测试题一、选择题1.在ABC中，那么ABC一定是（ ）A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形解：由正弦定理，得即。2A或。或。故ABC为等腰三角形或直角三角形。2.ABC中，则SABC=（ ）ABCD3.在ABC中，一定成立的等式是（） AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinA D.cosB=bcosA4.若，则ABC为（）A等边三角形B等腰三角形C有一个内角为30°的直角三角形D有一个内角为30°的等腰三角形5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ）A90° B120°

27、; C135° D150°6.设A是ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（ ）Aa3 Ba1 C1a3 Da07.ABC中,A、B的对边分别为a,b，且A=60°，,那么满足条件的ABC（ ）A有一个解 B有两个解C无解D不能确定8.在ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ab = 10，A = 45°，B = 70° Ba = 60，c = 48，B = 100°Ca = 7，b = 5，A = 80° Da = 14，b = 16，A = 45°.在ABC中，则三角形最小的内角是（ ）A60°B45° C30° D以上都错.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）A1公里 Bsin10°公里 Ccos10°公里 Dcos20°公里二.填空题1.在ABC中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 1.在ABC中，a+c=2b，AC=60°，则sinB= .1.在ABC中，已知AB=l，C=50°，当B= 40 时，BC的长取得最大值. 14ABC的三个角A<B<C,且2