用分离常数法解高考题

1、用分离常数法解2014年高考题1 用分离常数法讨论方程根的个数题1 (2014年高考课标全国卷I理科第11题即文科第12题)已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )A. B. C. D.答案 C解 因为函数的零点不为0，所以可得本题的题干等价于“关于的方程有唯一实根，且该实根是正数，求的取值范围”，也等价于“关于的方程有唯一实根，且该实根是正数，求的取值范围”用导数容易作出曲线如图1所示：图1由图1可得答案C 题2 (2014年重庆卷文科第10题)已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.答案 A解 设，题意即曲线与直线有两个公共点因为

2、，由复合函数单调性的判别法则“同增异减”可得函数在上是减函数，在上均是增函数，从而可作出曲线的草图如图2所示，由此可得答案图2题3 (2014年高考江苏卷第13题)已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是 答案 解 作出函数的图象如图3所示：图3有；当且仅当时，；关于方程即在上有10个零点，即曲线与直线在上有10个交点因为函数的周期为3，所以直线与曲线有4个交点，得所求实数的取值范围是题4 (2014年高考天津卷理科第14题)已知函数f(x)|x23x|，xR若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_答案 (

3、0,1)(9,)解 因为不是原方程的根，所以设后可得本题等价于：若关于的方程恰有4个互异的实根，则实数a的取值范围为_ (1)作出对勾函数的图象如图4所示：图4 (2)再由平移可作出函数的图象如图5所示：图5 (3)作出函数的图象如图6所示：图6因为关于的方程的互异实根个数即两条曲线公共点的个数，所以由图6可得结论：当时，原方程互异实根的个数是0；当或时，原方程互异实根的个数是2；当或9时，原方程互异实根的个数是3；当或时，原方程互异实根的个数是4所以本题的答案是(0,1)(9,)题5 (2014年高考天津卷文科第14题)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围

4、为_答案 (1,2)简解 因为不是函数yf(x)a|x|的零点，所以可得本题等价于：若两条曲线恰有4个公共点，则实数a的取值范围为_同题4的解法，可作出曲线如图7所示：图7由图7可得结论：当时，原方程互异实根的个数是0；当或时，原方程互异实根的个数是3；当时，原方程互异实根的个数是6；当时，原方程互异实根的个数是5；当时，原方程互异实根的个数是4所以本题的答案是(1,2)题6 (2014年高考天津卷理科第20(1)题)设f(x)xaex(aR)，xR已知函数yf(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2，求a的取值范围解 题设关于的方程有两个零点用导数可得函数在上分别是增函数、减函数，且由

5、此可作出函数的图象如图8所示：图8所以所求答案为题7 (2014年高考课标全国卷II文科第21题)已知函数，曲线在点(0,2)处的切线与轴交点的横坐标为(1)求；(2)证明：当时，曲线与直线只有一个交点解 (1)(2)题意即证“当时，关于的方程即有唯一实根”设，得，所以函数在上均是减函数，在上是增函数由此可作出函数的图象如图9所示：图9由图9可得欲证成立题8 (2014年高考北京卷文科第20题)已知函数(1)求在区间上的最大值；(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围；(3)问过点分别存在几条直线与曲线相切？只需写出结论解 (1)(3)略(2)当点在曲线上即时：又当点是切点时，曲线过点

6、的切线是1条又当点不是切点时，可设切点为，得所以此时过点的切线是1条得过点存在2条直线与曲线相切，不合题意所以，即点不在曲线上可设切点为，得题意即这个一元三次方程也即关于的一元三次方程有三个实根用导数知识可作出函数的图象如图10所示：图10 由图10可得所求的取值范围是 题9 (2014年广东卷文科第21题)已知函数R) (1)求函数的单调区间；(2)当时，试讨论是否存在，使得解 (1)略(2)方程，即 所以 “当时，存在，使得”“当时，方程在时有解”“当时，关于的方程有解” 因为函数的值域是，所以“当时，存在，使得” 由此得本题的答案是：当时，当且仅当时，存在，使得注 由以上解法还可得下面的

7、结论：若R)，则(1)当且仅当时，关于的方程无解；(2)当且仅当时，关于的方程有唯一解；(3)当且仅当且时，关于的方程有且仅有两个解 题10 (2014年高考山东卷理科第20题)设函数为常数，是自然对数的底数)(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数在内存在两个极值点，求的取值范围解 (1) 当时，得，所以与同号，得函数的单调增区间、减区间分别是(2)由(1)的结论知，与同号设，得所以函数在(0,1),(1,2)上分别是减函数、增函数又因为，所以函数在(0,2)有两个零点设这两个零点分别是，还可证它们分别是函数的极小值点、极大值点所以所求的取值范围是2 用分离常数法求解恒成立、存在性问题 题

8、11 (2014年高考辽宁卷文科第12题)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )A B C D答案 C解 分三种情形讨论，并用分离常数法，可求得答案 题12 (2014年高考湖南卷理科第10题)已知函数的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 B解 题意即关于的方程也即有解易知函数是增函数(两个增函数之和是增函数)，所以题13 (2014年高考课标全国卷II理科第12题)设函数若存在的极值点满足，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案 C解 得Z)(还可得这样的一定是函数的极值点)满足，即Z满足，也即，还即，进而可得答案题14 (2014年高考

9、浙江卷理科第13题)当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是_答案 解 所给区域是以三点为顶点的三角形，所以“恒成立”即“恒成立”，由斜率的几何意义可得答案题15 (2014年高考江苏卷第19(2)题)已知函数，其中是自然对数的底数若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围解 设，得题设即恒成立可得，所以题设即恒成立，可得，得实数的取值范围题16 (2014年高考陕西卷文科第21题)设函数R(1)当为自然对数的底数)时，求的极小值；(2)讨论函数零点的个数；(3)若对任意恒成立，求的取值范围解 (1)略(2)用分离常数法可求得答案：当或时，函数零点的个数是1；当时，函数零点的个数是2；当时，函数零点的个数是0(3)题设即恒成立，也即函数是减函数用分离常数法可求得的取值范围是练习1.(2013年高考陕西卷理科第21(2)题)设x>0，讨论曲线公共点的个数 2.(2013年高考新课标卷I理科第21题)已知函数若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线(1)求的值；(2)若时，求的取值范围3.(2013年高考福建卷文科第22题)已知函数R，e为自然对数的底数)(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；(2)求函数的极值；(3)当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值答案：1.当时，有0个公共点；