第三节 高斯定理

1、第一章 静电场3 高斯定理（P70）1. 设一半径为5厘米的圆形平面，放在场强为300牛顿/库仑的匀强电场中，试计算平面法线与场强的夹角取下列数值时通过此平面的电通量：；。解：由可得： 2. 均匀电场与半径为的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。解：3. 如附图所示，在半径为和的两个同心球面上，分别均匀地分布电荷和，求： 、三个区域内的场强分布； 若，情况如何？画出此情形的曲线。解： 由高斯定理得：区域内，区域内，区域内， 当时，4. 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电的原子核（可以看成点电荷），外面是带负电的电子云。在正常状态（核外电子处在s态）下，电子云的电荷密度分布是

2、球对称的：式中为一常数（它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道的半径，称为玻尔半径），求原子内的电场分布。解：原子内的电荷分布具有球对称性，因而原子内的电场也是球对称分布的。由高斯定理可得 5. 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，垂直于地面向下，大小约为100牛顿/库仑；在离地面千米高的地方，也是垂直于地面向下的，大小约为25牛顿/库仑。 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度。 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上电荷的面密度。解： 设电荷的平均体密度为，取圆柱形高斯面如图（1）（侧面垂直底面、底面平行地面），上下底面处的场强分别为和，则通过高斯面的电场强度通量为高斯面包围的电

3、荷由高斯定理 设地面面电荷密度为。由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图（2）。由高斯定理6. 半径为的无穷长直圆筒面上均匀分布带电，沿轴线单位长度的电量为。求场强分布，并画曲线。解：电场分布具有轴对称性，作与圆筒共轴半径为、长为的圆柱形高斯面，由高斯定理可得当时，当时，7. 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为和，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为和。 求各区域内的场强分布； 若，情况如何？画出此情形的曲线。解： 由高斯定理可得当时， 当时，当时， 当时，代入中可得，8. 半径为的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为。求场强分布，并画曲线。解：电场分布具有轴对称

4、性，作与圆柱体共轴半径为、长为的圆柱形高斯面，由高斯定理可得当时，当时，9. 设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示：式中是到轴线的距离，是轴线上的值，是个常数（它是减少到处的半径）。求场强分布。解：作与圆柱体共轴半径为、长为的圆柱形高斯面，由高斯定理可得10. 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为，求各区域的场强分布。解：电荷面密度为的无限大均匀带电平面的场强为由场的叠加原理可得两带电平面间的场强为方向垂直带电平面由正电荷指向负电荷。两带电平面外侧的场强为可以用高斯定理求出同样的结果（作垂直于带电平面的原柱形高斯面）。11. 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度

5、都是，求各处的场强分布。解：由场的叠加原理和无限大均匀带电平面的场强公式可得两带电平面间的场强为两带电平面外侧的场强大小为方向垂直带电平面12. 三个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别是、。求下列情况各处的场强：；，；，；，。解：建立如图所示坐标轴（轴）。每个带电平面产生的场强均为（带电平面的左侧），（带电平面的右侧）则由场强叠加原理，三个无限大的均匀带电平面所分成的4个区域的场强分别为区：区：区：区：实际上无限大的均匀带电平面产生的电场是匀强电场，并且关于带电平面对称，因而无限大均匀带电平行平面组产生的电场在平行平面组外也是关于平面对称的，所以可以应用高斯定理求出无限大均匀带电平行

6、平面组的电场分布。上面的结果也可用高斯定理求出。 当时，4个区的场强分别为区：；区：；区：；区： 当、时，4个区的场强分别为区：；区：；区：；区： 当、时，4个区的场强分别为区：；区：；区：；区： 当、时，4个区的场强分别为区：；区：；区：；区：13. 一厚度为的无限大平板，平板体内均匀带电，电荷的体密度为，求板内、外场强的分布。解：如图，建立坐标轴。带电平板产生的场强是关于平面对称的，作底面面积为平行于平板、且关于坐标原点对称的圆柱形高斯面。由高斯定理可得在平板内，即时，则 在平板外，即时，则 考虑到电场的方向，平板外的场强可表示为14. 在半导体结附近总是堆积着正、负电荷，在区内有正电荷，

7、区内有负电荷，两区电荷的代数和为零。我们把结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触（见附图）。取坐标的原点在、区的交界面上，区的范围是，区的范围是。设两区内电荷体分布都是均匀的： （突变结模型）这里、是常数，且（两区电荷数量相等）。试证明电场的分布为区：区：并画出和随变化的曲线来。证明：因两区电荷数量相等，且可把结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，由高斯定理可知：结外的场强为零，电场只存在结内。对区、区分别作如图所示底面面积为、一个底面在结外及另一个底面过处的圆柱形高斯面、。由高斯定理可得区： 区： 和随变化的曲线如图：15. 如果在上题中电荷的体分布为 （线性缓变结模型）这里是常数，（为什么？），统一用表示。试证明