法向量的求法和其应用

1、平面法向量的求法及其应用引言：本节课介绍平面法向量的三种求法，并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性，特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高12分考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道 的立体几何题将会变得更加轻松。平面的法向量1、定义：如果a la ,那么向量a叫做平面a的法向量。平面a的法向量共有两大类(从方向上分)2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面 a的法向量n = (x, y,1)或n = (x,1,

2、z),或n = (1, y, z),在平面a内任找两个不共线的向量 2由。由门_1a，得门 = 0且门匕=0,由此得到关于 x, y的方程组，解此方程组即可方法二：任何一个x, y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。TAx+By+Cz+D=0 (A,B,C不同时为0),称为平面的一般方程。其法向量n = (A, B, C);若平面与3个坐标轴的xyz父点为R(a,0,0), P2(0,b,0), P3(0,0,c),如图所示，则平面方程为 工 -=1,称此方程为平面的截距式方程，把它化 abc为一般式即可求出它的法向量。ax b为一长度等于| a | b

3、 |sine，(8方法三(外积法)：设 2b为空间中两个不平行的非零向量，其外积为匕6两者交角，且00M冗)，而与皆垂直的向量。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由 胃的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为ax b的方向，aM b = - bM a。设 a = (x1, y1,z1),b =(x2, y2,z2),则：ab =1ylz1h2 z2X2Z2(注：1、二阶行列式：M = adcb； 2、适合右手定则。例 1、 已知，a=(2,1,0),b=(1,2,1),试求(1) ： aM b；( 2) ： bx a.XiX2Key： (1) a b =(1,-2,5);(2)b a =

4、(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A1B1C1D1中,.T T T求平面AEF的一个法向量n。key：法向量n =AF MAE =(1,2,2)平面法向量的应用1、求空间角f(1)、求线面角：如图 2-1,设n是平面口的法向量,AB是平面a的一条斜线， Awot ,则AB与平面a 所成的角为：图 2-1-1:ji二一一 arccos2T T n AB|n|AB|图 2-1-2:=：n,AB -一二arccos2T T n AB|n|AB| 2T Tsin 1 -| cos :二 n, AB |T T(2)、求面面角：设向量m, n分别是平面P的法向量，则二面角

5、-l -P的平面角为:T Tm n日= arccos （图 2-2）;|m| |n|T Tm n 一I-：m, n -二-arccos（图 2-3）,2-2中，m的方向对平面口而|m|n|两个平面的法向量方向选取合适 ，可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图 言向外，n的方向对平面P而言向内；在图2-3中，m的方向对平面口而言向内，n的方向对平面P而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”，满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个 半平面的法向量的夹角即为二面角 a -l - P的平面角。2、求空间距离(1)、异面直线之间距离方法指导：如图2-4,作直

6、线a、b的方向向量?、荒，求a、b的法向量n即此异面直线 a、b的公垂线的方向向量;T在直线a、b上各取一点 A、B,作向量 AB ；T T求向量AB在n上的射影d,则异面直线a、b间的距离为AT Td =LABnJ,其中 n _l a, n -L b, Ae a, B e b|n|(2)、点到平面的距离：方法指导：如图2-5，若点B为平面”外一点，点A为平面a内任一点，平面的法向量为n ,则点P到nIBA2-7aap的法向量。n是平面图2-8aa是a2-9a0m* a2-102-10 中n是平面n证明面面平行2-11高考真题新解12分)MDABB(2)、证明线面平行M是PB的中点的法向量，证

7、明两平面的法向量垂直的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直(3)、证明面面垂直a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线(1)、证明线面垂直P的法向量，证明两平面的法向量共线n|AB n方法指导：如图2-7两平行平面m是平面a的法向量3、证明2-9中，m向是平面a的法向量m向是平面的法向量已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB /DCAwu,Bwa。n是平面ot的法向量2-8中，m向是平面a的法向量m,n =0)m 二 am = 1 nPA _L 底面 ABCD，且 PA=AD=DC=1 AB=12|n|(3)、直线与平面间的距离：方法指导：如图2-6，直线a与

8、平面久之间的距离,|AB*n|d =-其中 Awo(,B|n|m图 2-11d =nD图 3-1 C(I )证明：面 PADXW PCD;(n)求AC与PB所成的角；(m)求面 AMC与面BMC所成二面角的大小.解:以A点为原点，以分别以AD , AB , AP为x轴,y轴，z轴,建立空间直角坐标系 A-xyz如图所示.T T T(I ).丫 AP =(0,0,1), AD =(1,0,0),设平面 PAD的法向量为 m=AP AD=(0,-1,0)又 DC =(0,1,0), 品=(1,0,1),设平面 PCD 的法向量为 7= DCm DP =(1,0,1)T T _ T TJ. m，n=

9、0, m _L n ,即平面 PAD _L平面 PCD。(II )； AC =(1,1,0) , PB=(0,2,_1),.=arccos=arccos( ).t t、 a，| m| | n|一 ，2、2、一 面AMC 与面BMC所成二面角的大小为 arccos（）.或冗-arccos- 332、（2006年云南省第一次统测19题）（本题满分12分）如图3-2,在长方体 ABCD- ABCD中，已知 AB= AA=a, BC= J2a, M 是 AD 的中点。(I)求证：AD/平面ABC(n)求证：平面AMCL平面ABD;(出)求点A到平面AMC勺距离。解：以D点为原点，分别以DA,DC,DD

10、为x轴,y轴,z轴，建立空间直-2坐标系 D-xyz如图所示.（1） 丁 BC =(J2a,Q0) , BX =(0,-a,a),设平面 AiBC 的法向量为 二=BCm BA1 = (Q J2a2, J2a2)T,f fT T又丫 AD =(、；2a,0,0)，二 nAD =0,，AD _L n ,即 ad平面 AiBC.一12-222 2 2 . 2 2、199n = BD1 BA1 =(0, -2a2,，2a2),(II ). MC =( -a,0,a) , MAi =(-a,a,0),设平面 AMC勺法向量为：m = MCMMA1二(a , a ,-a ),又丫 BDi =(-V2a,-a,a),BA1 =(0,a, a),设平面 ABD的法向量为：, m*n =0/m 1 n,即平面 AiMC _L平面 AiBDi.（III（设点A到平面AiMC勺距离为d,、=、2-2 2m = MC MA1 =(a , a ,2a2）是平面AiMC的法向量，T厂T T又 MA =(上2,0,0),，A点到平面AiMC勺距离为：d = | m J A 12,|m|用空间向量解决立体几何的“三步曲”（1）、建立空间直角坐标系（利用